1626435900-2be340c6a244b99156a9dca9d508df44 (844337), страница 96
Текст из файла (страница 96)
Окончательный результат удобно записать в следующем виде: о(у,у) =, "" — 1и (рита), та в, = — ', з = — '. (42.36) формула (42.36) носит название формулы Бете. С помощью этой формулы эффективное сечение о(уу') выражается через силу оспиллятора электрического дипольного перехода. Поскольку параметр р стоит под логарифмом, сечение слабо зависит от величины р. При малых энергиях формула (42.36) неприменима.
В частности, у порога возбуждения (Е,=Е„,) (42.36) не обращается в нуль. Строго говоря, при малых энергиях неприменимы и общие формулы борновского приближения (42.25). Однако в отличие от (42.36) эти формулы дают по крайней мере качественно правильную зависимость сечения от энергии Е, и могут быть использованы для приближенных 576 [гл.
хт ВОЗБУЖДЕНИЕ АТОМОВ оценок. Ряд конкретных расчетов, выполненных в борновском приближении, показывает '), что для большого числа различных переходов сечения, выраженные в пороговых единицах (42.37) ведут себя сходным образом. Сечения возбуждения достигают максимального значения при х= 1 †: 2, причем величина а ,„ сравнит 21 тельно хорошо передается фактором па, —;, содержащимся в фортет муле (42.36).
Это позволяет предложить следующую эмпирическую формулу: атм где параметр с определяется положением максимума сечения с =х ,„, о ,„ =и (х ,„). Если величина х ,„ неизвестна, можно принять с = 1. В этом случае (42. 39) Согласно (42.38) при х((1 асгтх', при х=с о=о,„и прн х)) ! асуз —,. Приведем также выражение для усредненного по максвелловскому распределению произведения Оо ( ) =Уз„„* — и(ус') е- !О-' —, — 1+с*, У, см' 1 ы ку. у= кт =а"тат (7(х)=4,4х* (! — Уе Е,( — а))~1,8, я(~ ! и(х)=4,4г*, 1 г>) 1 (7(х)-4,4х Формула (42,38) не содержит логарифмического множителя и поэтому при больших скоростях отличается как от борновского приближения, так и от экспериментальных значений.
Этот недостаток можно устранить за счет небольшого усложнения формулы (42.39) т 21' х' а = па, —, 4С... )и (С,х), (42.40) т.т 1 ) Обсуждение результатов расчета сечений возбуждения различными арнблнженнымн методами см. в $44, 578 [гл. х~ возвтждвнив атомов энергиях †>) 1. Вместе с тем основной интерес для спектроскоЕо пистон представляет область сравнительно небольших энергий Е,= Е,„ . В втой области становятся существенными искажение падающей и рассеянной волны полем атома и возмущение атомных волновых функций внешним электроном (поляризация атома). В принципе оба эти эффекта можно учесть уже в рамках теории возмущений.
Выражение (42.3) для вероятности перехода соответствует первому приближению теории возмущений. Во втором приближении теории возмущений в общую формулу для вероятности перехода а,уг, — ай вместо матричного элемента У,,аа „а надо подставить Ьйа, *агав и ' Š— Е,+ — ' —— а а' 2т 2т В этом выражении сумма по а' означает суммирование по всем возможным состояниям атома (как дискретного, так и непрерывного спектра), волновые функции фа нормированы на 6-функцию б(д вой'). Запишем второй член (42.42) в развернутом виде Г Г,й) аии м-ач х У» а (и') е™'г(г г(г' (42.43) я выполним интегрирование по ~И'').
В результате получим Мч = Р ~ ~ е-'а ЧI,... (и) Оа (и, и ) ( жъ(г ) ет' пи пи', (42 44) и 2р =ь* 2. а' л* „ йа где Ом(г, и') — функция Грина (41.28) и — и" =Š— Еа -[- — 4',. 2т а' а 2т В случае упругого рассеяния в потенциальном поле У(г) (а, =а =и', Ет.гь(г) =У(г)) из (42.44) следует (41.34). Для удобства интерпретации формулы (42.44) выделим из суммы по а' два члена а' =а„ а' =а и обозначим их вклад в Я" через Л4',". Введем также обозначение ~ра —— — ) Она(г, и') Баа (и') е'"" гЬ". т 2рГ (42. 45) Согласно (41.31) <раа (~раеф представляют собой вторые члены разложения функций(41.31), описывающих упругое рассеяние в поле Ба»(г)(Сг,, (и)).
') См. Л. Ш нфф. Квантовая механика, ИЛ, 1957. $42] ПРИБЛИЖЕНИЕ БОРН« в случае упругого рассеяния а„=а в сумме по а' содержится лишь один член рассматриваемого типа а' =а„, поэтому М("+ Л4" =)( е («ж(1 (г) (е'"'+(р«) (]г = = ) (е'"+(р«,)а У,, (г) е(«'(2г, (42.47) Обозначим оставшуюся часть суммы по а' через М,"'. ]»Ля М',и имеем Л4(" = ~ е-(«ж]Г,, (г) е'«' (]г, (42,48) где Ъ"...(г)=+ )) ~ ) Уь, (г) О«(г, г') 77,т(г') е(«(г-г)()г'. (42.49) (а' ~ а„а) Таким образом, с точностью до членов третьего порядка малости М = М(о + Мни = ) (е(«" + ф ]" Уа а (г) (е(«' + ф ~ (]г -)- +) е («гЪ'а.а(г) е("'(]г, (42.50) М=Мн'+М("= ) е-(«ЖЦьа (г)(е(«'+ф«~~(]г-]- ~ е-(«агИ а (г) е(«г (]г (42 51) а,Фа а,=а Из выражений (42,50), (42.51) следует, что членом М'," описывается искажение падающей и рассеянной волн полем атома.
Член М, (л) можно интерпретировать как результат возмущения атомных волновых функций, что эквивалентно введению дополнительного потенциала Р;„ (г), который носит название поляризацнонного. Рассмотрим подробнее выражение (42.49). Предположим, что основной вклад в М(' дают такие значения Й', для которых Еа, — Еж)) — (7«, — 7«т). В этом случае в интеграле по (]» в (42,43) Р можно пренебречь членом — (7««вЂ ))' ) в знаменателе, после чего йл 2т уа нн (г-г) ) аа а' (42.
52) формулой (42.52) определяется функция Грина в адиабатнческом приближении. Подставляя это выражение в (42.49) вместо О» (г, г',)) В случае неупругого рассеяния с точностью до членов третьего порядка малости Мл) -]-М(м = ) (е «'+ф«)а У... (е «'+(р+) ()г, (42 46) возьяждение атомов [гл. ш и интегрируя по е(г', находим и,, (г) и... (г) а' а а' (42.53) Подставим в качестве взаимодействия (У в (42.53) выражение (42.8), положим И= л (нейтральный атом) и рассмотрим, какой вид принимает потенциал (42.53) при больших значениях г >) г;: (I- — — + е' '%' ~ — + — ', соа 3.г [ = — —, 1), (42.54) Г где ).) = — е~ г;соя 3, — проекция дипольного момента атома на ! направление г. Следовательно, при г>> г; Ь;,, (г) а а! а' (42. 55) В случае упругого рассеяния этим выражением описывается добавка к энергии атома, обусловленная квадратичным штарк-эффектом е г в постоянном электрическом гюле кг = — †, †, т.
е. квазистатнче- Г' Г ская поляризуемость атома. В общем случае (42.49) потенциал Ъ;,,(г) зависит от Ф„ т. е. от скорости возмущающей частицы. Выше, в 8 28 было гюказано, что квадратичный штарк-эффект в переменном поле хорошо описывается квазистатической теорией только в том случае, если поле мало меняется за времена поридка Ь[ Е,, — Е,[ '. Ниже мы еще вернемся к обсуждению свойств поляризационного потенциала. 5. Учет обмена. Всюду выше при рассмотрении рассеяния электронов атомами мы пренебрегали обменным взаимодействием. В принципе соответствующее обобщение метода Бориа не представляет труда.
Достаточно к матричному элементу прямого взаимодействия добавить соответствующий обменный член. Полученное таким образом приближение называется приближением Бориа †Оппенгейме. Вид обменного члена зависит от структуры электронных оболочек атома (см. Я 16 — 18). Для простейшего случая однозлектронного атома матричный элемент взаимодействия М с учетом обмена имеет вид М= ~ е-!е г ф,,(г,) И(г,г,)ф, (г,) епм г)г,г)г, + + ( — 1)з ) е-'е" ф,, (г,) У (г,г,) ф, (г,) ены! дг, дг„(42.
56) где 5 — полный спин атомного и внешнего электронов. В случае многоэлектронного атома при написании матричного элемента М 581 $ 42) ПРИБЛИЖЕНИЕ БОРИА можно воспользоваться формулами 8 18. Вычисление обменного члена в (42.56) связано со значительно большими трудностями, чем вычисление прямого. В первую очередь это связано с невозможностью выполнения в общем виде интегрирования по г)г, (ср. с (42.9)). Поэтому обменный член нельзя представить в виде простой суммы по мультипольным взаимодействиям.
Вместе с тем расчеты, проведенные для ряда простых случаев, показывают, что учет обменного члена в рамках борновского приближения в области малых энергий приводит не к улучшению, а наоборот, к существенному ухудшению результатов; сплошь и рядом сечении в максимуме на порядок и более превосходят экспериментальные значения, причем в большинстве случаев парциальные сечения оказываются больше максимально допустимых (ср. (41.61)), 6.
Переходы в состояния непрерывного спектра. Ионизация атомов н тройная рекомбинацня. Формулу Борна нетрудно обобщить на тот случай, когда одно из состояний атома, начальное или конечное, является состоянием непрерывного спектра. Переход атома из состояния дискретного спектра в состояние непрерывного спектра означает ионнзацию атома. Обратный процесс носит название тройной рекомбинации. Этот процесс состоит в захвате электрона ионом при одновременном рассеянии на этой системе какой-либо третьей частицы '). Начнем с рассмотрения процесса ионизация. Пусть атом переходит из состояния дискретного спектра а в состояние непрерывного спектра а'А, где а' есть совокупность квантовых чисел, характеризующих состояние атомного остатка.
Для эффективного сечения этого процесса нетрудно получить г)оь аж= — — "е-'га-епгс7,г,а (г) ггг~ ггв г(О', (42.57) где йгй г хгйг йгйг — = — +Е,— Е; — — ~. 2р — 2р а а' 2р Эффективное сечение процесса тройной рекомбинации, в результате которого атом переходит нз состояния непрерывного спектра айт в состояние дискретного спектра а', определяется формулой доата, ь = —, — ~ ) е" ~гь а 'Ч/аьт; а'(г') г(г ~ г (42.58) где ягй г йгйг, ягйг — = — + — + Š— Еаь 2р 2т 2р а г) Присутствие третьей частицы необходимо для выполнення законов сохранения энергии и импульса, [гл. ю возвкждвнив атомов 582 Сравним формулы (42.57), (42.58) для процесса ионизации ал — а'й й' и обратного ему процесса тройной рекомбинации. Выполнив в (42.58) замену а а' и й й', находим гл [па»; а'»г»' ~п«'»г»', а» Л» Л»1гО «'ЧО' «*Д0 (42.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
