1626435894-d8fc059aa7a13c20ed940af85260205a (844333), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Полученную систему'уравнений будем решать приближенным способом, считая а! = О. Получаем вычислении мы пренебрегаем переходом в состояние с нулевой проекцией момента па направление скорости. Имеем в данном случае 2 с1 8 лг7э 0 7 и ою;„= 2 л ( р с(р йпэ + —, !л о риз/3 8 лба 0,76 и 1п 3 и' отс! (3) Верхнюю границу цля сечения получим, если будем рассчитывать вероятность перехода по теории возмушений, а там, где подсчитанная таким способом вероятность больше единицы, заменим ее единицей. Получим 8 лг)~ 0,7 и 8 лг) 0,98 иэ атх=лра Зит оэрс Зи' оэд (4) 8 лг7т /0,87 итз! 144 л а = 1п~ 77 = — !п(4,6 10' е), Зи оэг7 е где е — энергия заряженной частицы, выраженная в атомных единицах. Задача 4.16. Определить вероятность перезарядки отрицательного иона на положительном при медленных столкновениях в случае, когда валентный электрон отрицательного иона находится в з-состоянии и энергия связи электрона достаточно мала.
Поскольку уровень энергии валентного электрона отрицательного иона расположен достаточно высоко, то переход его возможен во много связанных состояний в поле положительного иона (рис. 4.2). В соответствии с этим спектр электрона а поле положительного иона можно считать непрерывным, а данный процесс расс, ~атривать как подбарьерный переход электрона из поля атома в состояния непрсрыаного спектра. Поэтому наша задача сводится к вычислению вероятности просачивания валентного электрона атрицтыельного иона сквозь барьер. Волновая функция валентнога электрона отрицательного иона на больших расстояниях г от ядра имеет асимптотический вид (см.
приложение 2) А Ф = е х/4 лг Это выражение представлено дпя таких расстояний от ядра г, где поле 177 где величина рс определена иэ соотношения Р(ре) = 4 с(э/ (и~ роз) = 1. Как видно, в полученных выражениях, которые являются нижней и верхней границами для сечения перехода, различие определяется множителем под логарифмом, который во втором случае на 30% больше, чем в первом. Поскольку этн сечения получены в предположении, что выражение пад логарифмам велика, такое расхождение несущественно, т.е. каждый иэ полученных результатов близок к сечению перехода, которое представимо в виде льнеас алел арена и алине Р и с. 4.2.
Разрез поверхности потенциальной энергии валентного электрона в случае взаимодействия положительного и отрицательного ионов положительного иона еше не искажает волновую функцию электрона. Далее оно будет использовано как граничное условие. Наша цель — определить волновую функцию электрона в области действия поля атома и положительного иона и на основании этого найти скорость просачивания электрона сквозь барьер. Волновая функция электрона в рассматриваемой области координат удовлетворяет уравнению Шредингера: — — — йг = — — — — 'р, (2) где г — расстояние от электрона до ядра отрицательного иона, г — К— от электрона до положительною иона.
Данное уравнение разделяется в эллиптических координатах; (г — К)+г (г — К| — г л=, Ф() = ХИ)УИ), (3) Я Я д дХ ~ те~у' К ~~з 1) +~К~ сз дз + Р ад ад ~ 4 г (4) дУ 1 Кзтз К +~~ я, + з+ лз .0 у=О. дл дп 'ь 4 2 При этом, поскольку расстояние между ядрами велико, просачивание электрона совершается в основном вблизи оси, соединяюшей ядра, и нас интересует решение уравнения Шредингера в этой области. В окрестности оси ($ = 1) волновая функция электрона вблизи ядра отрицательного г78 $ — 1 иона имеетвид (1) о = 2;/ Ф 1 1 — л А К7 Ф = — ехр~ — — (1 — л) — — Д вЂ” 1) . ( — ) ь/я (5) Подставляя зто выражение в уравнения (4), находим коне~виту разделения этих уравнений; ят7т К 22 = + тт7 4 2 УРавнение (4) Дли У(П) имеет точкУ повоРота 1 + Ле = !6 1172 так что слева от точки Пе зта функция изменяется по зкспоненциальному закону, справа от нее — осциллирует.
В области применимости квазиклассического решения — не оченьблизкок точке поворота — волновая функция у(Л) имеет вид (В ч ехр( ) |р !саул), /!р! /Т-~' л < ло, у(п) = (6) где В = — ехр — Ртт + х/2г1/ Р ч/я 2 1п(ч/х + /! +х) /(х) = ч/Т+ х Вероятность просачивания электрона через барьер в единицу времени равна 179 Сшивая квазиклассическое решение (6) Лдя У(п) слева от точки поворота с асимптотическнм решением для у(л) в области л, где оба приближения справедливы, находим величину коэффициента В: 2ВзХ(е) 1 = В то для вероятности перехода в единицу времени получаем Г = яВ'77 нли, используя найденное ранее выражение дпя В, имеем А /В у Г(Я) =, ехр~ — 2 В у + ~/8ВР~ — / .
4 7Яз 2 (7) В пределс Я 'Г~/2 << 1 это дает Г(Я) = — ехр( — — К'7 ), 47Вт 'х 3 (8) что совпадает с вероятностью распада отрицательного иона в единицу вре. мени в постоянном электрическом поле с напряженностью 1/Я г Дпя больших Я тэ, когда Я уз/2 э. 1, получим А Г(Я) = ехр(-27К).
4 'уВэ (9) На основании полученных результатов вычислим вероятность перезарядки при соупарении положительного и отрицательного ионов. Вероятность перезарядки Р(р, г) к моменту времени г при столкновении с положительным ионом с прицельным параметром р удовлетворяет уравнению йР(р, г) = Г11 — Р(р, г)), Вг (10) откуда имеем Р(Р) = 1 — ехр1 — )' Г(Я)Вг). (11) Задача 4.17. При условиях задачи 4.16 найти зависимость сечения нерезонансной перезарядки отрицательного иона на положительном ионе от скорости столкновения. рассмотрим сначала случай, когда упругое рассеяние ионов не влияет нЪ рассматриваемый процесс. При нахождении искомой зависимости при медленных столкновениях частиц мы используем факт резкой зависимости где — (Ф т7Ф* — Ф' 17 Ф) 2 плотность потока электрона через поверхность Я, перпендикулярную оси, соединяюшей ядра. Поскольку вблизи оси г75 = рг)рг1чт= (Рт/2) (1 — П~) $ д~ с(те, а плотность электронного потока справа от точки поворота равна частоты просачивания электрона сквозь барьер от расстояния между ионами.
Сечение перезарядки согласно результату задачи 4.16 равно опер = (" 2лрт1р(1 -- е ~), Г(р) = Г Т(рт)г(д о Используем также резкую зависимость функции Г(р) от прицельно~о параметра столкновения р. Введем прицельный параметр соударения ро такой, что Р(ро) Р. 1, а дпя значения р, соседних с Ра (О < Р— Ро)ро < 1) Р (р) < 1. Разобьем интеграл для сечения перезарядки на две час~и: Ро а = л )' рыр + л )' р бр (1 — ехр ( — Р(р))). В первом интеграле мы пренебрегли экспонентой, второй интеграл ввиду отмеченной зависимости функции о" (р) сходится в малой области измене- ниЯ Р вблизи точки Ра.
В малой окРестности точки Ра фУнкцию Р'(Р) можно представи~ь в виде Р"(р) = Р(ра)Е (Р Ро>, где е(!и Р(р) юро > 1. пр Ро Вычисления дают 2 лро ' с~х 2 лро Р(Ро) опер = лРо + У вЂ” (1 — е ") = лРо + !С+ 1и оп(Ро)) (2) Сд о х Оэ Здесь С = 0,577 — постоянная Эйлера.
С точностью до членов порядка 1/апра < 1 представим сечение перезарядки в виде опер = лАо Р'(ооэо) = е = О 5б ° (3) Выражение (3) характеризует слабую зависимость сечения перезарядки от скорости столкновения. В частности, в области Яоу~ < 1, где действие положительного иона эквивалентно действию постоянного электрического поля, для сечения перехода имеем Зл но Р Э пер 27' где 3,9А )(2 2/2 ау 181 При малых скоростях столкновения сечение рассматриваемого процесса определяется кулоновским притяжением сталкиваюшихся частиц. Для учета искривления траектории при столкновении воспользуемся полученным выше результатом — расстояние наибольшего сближения ионов 11О, опреде.
ляюшее сечение процесса, слабо зависит от скорости столкновения. Связь между расстоянием наибольшего сближения ионов АО и соответствуюшим ему прицельным параметром столкновения р ддя кулоновского взаимодействия ионов будет определяться соотношением 2 1 + О, те о тесе где е — кинетическая энергия ионов в системе центра инерций. Отсюда получаем для сечения перезарядки: 2 ЯЛО и =яр =л11 +— лер О е (4) ~л «~лг 1сл= е ла, 2 где а — амплитуда нахождения электрона в отрицательном ионе, 2,'2„— потенциал обменного взаимодействия отрицательного и положительного ионов, отвечаюший переходу электрона на данный высоковозбужденный уровень атома, Оэ„— разность энергий дпя этих состояний.
Решая это уравнение по теории возмушеннй (а = 1), получим ь Ал 1.~'л е 2 шлр 1 Р (р)=,à — е ' " Йг = —, — Ьл(Р)ехр ~- 2 ~, (1) — 2 ар~ 182 Как видно, при больших энергиях столкновения (е л. 1/ЛО) сечение перезарядки отрицательного иона на положительном ионе слабо зависит от энергии столкновения; при малых энергиях столкновения (е ь 1/ВО) сечение перезарядки обратно пропорционально энергии столкновения. Задача 4.18. В рамках теории возмушений получить выражение для вероятности перезарядки отрицательного иона на положительном ионе при заданном прицельном параметре столкновения.
Вероятность перезарядки в рассматриваемом случае складывается из парциальных вероятностей перехода электрона на отдельные высоковозбужденные уровни в поле положительного иона. Поскольку таких уровней много, то в данной постановке задача эквивалентна рассмотренной в предыдуших задачах квазинепрерывной модели, когда данный процесс представляется как переход электрона в квазинепрерывный спектр. Соответственно и результаты обоих подходов в области выполнения отвечаюших нм критериев применимости должны совпадать.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
