1626435894-d8fc059aa7a13c20ed940af85260205a (844333), страница 34
Текст из файла (страница 34)
По мере возрастания значения р вероятность быстро убывает. Поэтому показатель степени в формуле (1) можно представить в виде ряда по р, ограничиваясь нулевым и квадратичным членами разложения. Расчет дает где Г1 — — Г— А(и) = 1т ( (!+уз) — = и з1п— 1 (5) В частности,для и = 3 А(3) =1,1«, А( — 3) =09 л, А( ) =А( — ) =л. Формула (5) применима прн выполнении двух условнй; большое значе- ктто нне показателя экспоненты — А(и) н малость всех других взанмодейст- иа внй по сравнению с днполь-днпольным на расстоянии 11о.
Прн фиксированных параметрах взаимодействия первое условие ограничивает величину дефекта резонанса снизу, а второе — сверху. Сечение передачн возбуждения в результате перехода между двумя термами получается интегрированием вероятности по прицельным параметрам н о казы в а ется ран ны м 2 твоа ( ккйо1 а = ехр ~ — А(и) — ~. кА( и) ~ иа Пля термических условий столкновений атомов среднего атомного веса н переходов с большими силами осцнлляторов значения к,ф не превышают 1 см '. Задача 4.14. Определить Я-матрицу перехоца прн столкновении атома, нахоляшегося в Р-состояния, с другим атомом, нмеюшнм замкнутую электронную оболочку.
Счнтать, что в области расстояний Я между ядрами, в которой совершается переход, Х вЂ” П-расшепленне терман квазнмолекулы Ь(1т), составленной нз сталкнваюшихся атомов, резко зависит от расстояния между ядрами (Ь'/тэ)Я >> 1 (г' — П-расшепленне терман — разность знергнй для состояний квазнмолекулы с нулевой н единичной проекциями момента на ось, соединяющую ядра) . 1тг Видно, что для днполь-днпольного взаимодействия переходы межцу П.термамн более вероятны, чем переходы между Х-термамн, поскольку Сд = 1А Рз, Сх =Р' (где Р— матричный элемент от оператора днпольного момента атома) .
Формула (6) позволяет оценить ширину резонансного пика в сечении передачи возбуждения, рассматриваемом как функция дефекта резонанса к. ШиРина кзФ по поРЯДкУ величины опРеДелаетса фоРмУлой Волновую функцию сталкиваюшихся частиц представим в виде ! Ф = (с»ф» + с»фу + с,ф,) ехр — !Ео! Х (Вуо + у! )»!! 2 ! ! = (соф„+ ср ф р + с, ф,) ехР— !Ео! — — У ! !Уо + !»! )»й' 2 Здесь ось х направлена вдаль асн, соединяюшей ядра, ось г перпендикулярна плоскости движения, а ось у лежит в плоскости движения и перпендикулярна оси х; волновые функции ф„, ф, и ф, соответствуют нулевой проекции момента Р-атома на оси х, у и г соответственно, а волновые функции ф„, фр соответствуют нулевой проекции момента атома на направление скорости и прицельного параметра.
При этом Ео — электронная энергия при бесконечном расстоянии между ядрами, а при конечном расстоянии К между ними волновые функции квазимолекулы удовлетворяют уравнениям Шредингера Нф. = (Ео + !о)ф., Нфу, = (Ео + И1 ) фу,, где !'о(Р»), ~'! (й) — потенциалы взаимодействия атомов для 2,. и П<остояний квазималекулы.
Подставим выражение дпя волновой функции квазимолекулы в уравне- дФ ние Шредингера ! — = НФ и воспользуемся указаннь!ми соотношениями. д! Получим !с„ф»+(с»фу+!с,ф, +!схф„+!руфу асаф» — В руфу — 0 с»ф., где»ь = !»Уо — !У!)/2. Используем соотношения между волновыми функ- циями ф„, ф, и ф„, фр, которые имеют вид = сот Вф„+ зш В - фр, ф» = — аш В . ф„+ созВ фр, ф„= создфх — зшВф., фр Б!л Вф» + саз О фу где В угол между вектарамн к (ась х) и т.
При этом траектории движения частиц считаем прямолинейными, так что система координат, построенная на векторах т и р, неподвижна в пространстве. Поэтому ф„= фр = Оп ф» О фу фу 0 ф„. С помошью этих соотношений получаем систему уравнений для коэффициентов: !с„= Ьс„+ !Осу, !с = — »зс — !О „, !с» = — Ес!. ! 73 УчитываЯ свЯзь междУ коэффициентами с„, с и с„, ср 1где с„= = с„соа В + с ПпВ, с = — с„ыпВ + срсоз В), перепишем зти уравнения в неподвижной системе координат: 1со = Ь саз 2 Ос„+ Ь яп 2 0ср, гср = Ь зв 2 В с„— Ь саа 2 В ср, 1с, = — Ьс,. Как следует из системы уравнений (1), если О р. гь, то система уравнений сводится к виду с„= с р = О, т.е.
переходов в неподвижной системе координат нет. В другом предельном случае О «Ь отсутствуют переходы в подвижной системе координат, связанной с осью, соединяющей ядра. Если величина Ь(Я) резка зависит от Н, то за время, прн котором Ь(Я) В, т.е. происходит переход от одного предельного случая к другому, ось молекулы успевает повернуться на малый угол. Это обстоятельство сушественно упрощает задачу. Введем расстояние межцу ядрами Яо такое, что 44Фо) ОФо).
На расстоянии Яо расщепление между молекулярными термами оказывается сравнимым с кориолисавым взаимодействием. Введем также угол Оо между осью К, саелнниющей ядра, и направлением скорости т, при котором достигается зто расстояние между ядрами прн движении вдоль прямолинейной траектории ип Оо = р(Йо, р — прицельный параметр столкновения. Примем при г = —, что с„= со, ср = с, н с, = сз. Тогда, пренебрегая значением фазы )'Ь 1г «) В' 11 = В, - 1, находим, что прн Я >> Яо эти величины не изменяются. Перейдем при Оо ~. :В < л — Во в подвижную систему координат. Получим, что в ней согласно уравнению (1) амплитуды с„, с, с, изменяют лишь сваю фазу.
Перейдя прид =я — Оо в неподвижную систему координат, в которой отсутствуют переходыпри болыпнх г, получим дпя амплитуд вероятностей при г-р = со( — соз 2 Оо сот П вЂ” 1зш П) — с, яп 2 Оо сот Л, ср = со ял 2 Оо соа П + с1( — соз 2 Оо сои Л + 1 яп П), =с е 2 где П = 1 4ь 41г, причем интеграл берется по временной области, в ко~арой 174 Н < Ко. Таким обРазом, мы нашли 5-матРицУ пеРехода е): — сот 2 Оо сов Л вЂ” 1 а!и Л вЂ” аш 2 Оо соа Л 5 = йп20о соап — сов2оосовт!+1йпп 0 . (2) е — еч Задача 4.15. Определить сечение перехода атома водорода из 25-состояния в 2Р-состояние при столкновении с заряженной частицей.
Уровень 2Р,, лежит на Ьсса = 0,035 см ' ниже уровня 25..., а уровень 2Р „— найсот =0,330 ем ' выше уровня 25,„. В рассматриваемом случае разность энергий 25- и 2Р-уровней атома водорода мала по сравнению с разностью энергий для этих и других электронных состояний, так что при решении данной задачи можно ограничиться только рассмотрением данных состояний.
При больших прицельных параметрах соударения, при которых применима теория возмущений, вероятность перехода (см. задачу 3.11) составляет Р(Р) =,"- К3 — ' + К', — 'Р + .а тР Здесь К„(х) — функция Макдональда; индекс 0 относится к 25, -состоянию, индекс 1 — к 2Р, -состоянию, индекс 2 — к 2Р -состоянию. кт зю Матричный элемент от оператора дипольного момента 1!о, = с!/ „/3, 0оа = ч/2/3 ст', где с! — матричный элемент оператора дипольного момента, взятый между 2 з- и 2 Р-состояниями электрона: с = / — — — ! е-"" — е '!тгэг/г = 3,/3. '/2 2 2чб Вычислим вклад в сечение со стороны больших прицельных параметров при Р) Ро, где вероятность перехода мала (Р (Ро) (< 1).
Имеем и' = ! Р(Р)2ярс1Р = Ко Кс + са !б яг/ отаре /оэтРо \ IоэаРо + 8яс!' 07н 1блг/' 07о 8лс(' 07н 1п + !и — = — т 1и 9 о отаре 9 и оттРо 3 о шРо *) Если волновая фгнкция системы до столкновения равна Е, то согласно определенив Я.матрииы паоле столкновения она равна Юе. 175 где й со = й(оз, ~4)" у О 156 см '. При этом мы считали, что ш, з ро/о.ь 1, итак как ро > 'с(/и, то В случае, если прицельные параметры столкновения меньше р о, система уравненийтеориивозмушенийпредставнмав виде (см. формулу (3) задачи 4.9) !с„, = Х Ъ',„ьсн.
а Считая, что скорости столкновения меньше атомных (о ~ 1), так что ро > 1, запишем оператор взаимодействия в виде 1 1 гп и71т где п — единичный вектор, направленный по К. Лалее, при р ( ро взаимодействие удовлетворяет соотношениям с( с! от 2 2 Р Ро '" т.е. расщеплением между т- и Р-состояниями зпектрона можно пренебречь. Используя закон свободного относительного движения, получаем систему уравнений для амплитуд вероятностей: РРо, в!1!о с !с = аг + — — а!!, 71з " оз (2) РРо с !ат = — -с.
Кз огРо1 саа = — — с, )зз 2 Рос ас = з!и ро 2 Рос с=сот ро Это приближение дает нам нижнюю границу лля сечения, поскольку при его !76 с( Здесь Ро, = —, с' — амплитуда вероятности нахождения электрона т/З в 2 т-состоянии, ам ат — амплитуды вероятности пребывания атома в 2р-состоянии с нулевой проекцией момента на направление скорости и направление прицельного параметра соответственно, Я вЂ” расстояние между ядрами. Эту систему уравнений следует решить при следуюших начальных условиях: !с( — ») ! = 1, причем искомой величиной является !аг !'+!а~! !' при г = .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
