1626435584-7c6402f545ecf856225d6cf8d21519c9 (844233), страница 68
Текст из файла (страница 68)
и краевых задач тре- 6 г1 АППРОКСИМАЦИЯ буется свой шаблон. В следующих главах сформулированы (на основе свойств решаемых уравнений) некоторые общие соображения, которые позволяют подбирать шаблоны, пригодные для построения хороших разностпых схем. Существуют разностные схеиы, вообще не имеющие шаблона (пример такой схемы будет приведен в главе ХЬ Но логическая структура таких схем сложна, что вызывает заметное увеличение объема программ и времени счета на ЭВМ. Поэтому такие схемы мало употребительны. 2. Явные и неявные схемы. Обсудим вопрос о фактическом вычислении разностного решения. Ббльшая часть физических проблем приводит к уравнениям, содержащим время в качестве одной из переменных.
Для таких уравнений ставится обычно смешанная краевая задача, типичным случаем которой является (18). К подобным задачам применяют послойный алгоритм вычислений. Рассмотрим его на примере схем (18) и (1б). В схеме (18) на исходном слое т = 0 решение известно в силу начального условия. Положим аг=О в уравнениях (18). Тогда при каждом значении индекса и уравнение содержит только одно неизвестноеу1; отсюда можно определить у„' при 1-..=п:=)зу — 1.
Значения уо и ум определяются из краевых условий (17). Таким образом, значения решения на первом слое вычислены. По ним аналогичным образом вычисляется решение на втором слое и т. д. Схема (18) в каждом уравнении содержит только одно значение функции на следующем слое; это значение нетрудно явно выразить через известные значения функции на данном слое. Поэтому такие схемы' называются явными.
Схема (1б) содержит в каждом уравнении несколько неизвестных значений функции на новом слое; подобные схемы называются неявными. Для фактического вычисления решения перепишем схему (1б) с учетом краевого условия (17) в следующей уГ+'=р (1 ° ) ум+'=рг(1 ь). На каждом слое схема (19) представляет собой систему линейных уравнений для определения величин у,",'+'; правые части этих уравнений известны, поскольку содержат значения решения с предыдущего слоя.
Матрица линейной системы трехдиагональна, и решение можно вычислить алгебраической прогонкой. Рассмотренный сейчас алгоритм достаточно типичен. Он используется во многих неявных разностпых схемах для одномерных и многомерных задач. Дальше мы будем вместо индекса времени т часто применять сокращенные обозначения: и(х„, г ) =и„, и(х„, У„ьт) = й„, и(х„, („з)= й,. (20) 1гл. !х уРАВнения В чАстных пРонзВодных В этих обозначениях разностная схема (18) примет вид 1 — (у„— у„) = —, (у„+! — 2у„+ у„,). 3. Невязка.
Рассмотрим операторное уравнение общего вида (не обязательно линейное): Аи=), или Аи — р=О. (21) Заменяя оператор А разностным оператором Аю правую часть р — некоторой сеточной функцией 4рэ, а точное решение и— разностным решением у, запишем разностную схему: ААу=ЮА или ААу — р„=О. (22) Если подставить точное решение и в соотношение (22), то решение, вообще говоря, не будет удовлетворять этому соотношению: ААИ вЂ” грА~О. Величину 2Р = грА — А,и = (А и — р) — (А„и — 4рА) (23) Поскольку в данном случае 1 = 4рА =- О, то 2р„= (Аи — ААи)„= = д)) — Й (дх2' — — (и„— и„)+ух (и„,! — 2и„+и„!). Разложим решение по формуле Тейлора около узла (х„, ! ), предполагая существование непрерывных четвертых производных по х и вторых по й 2 и„=и4+ти! (х„, г~)+йт ии (х~, 9~), и„а!=и ~!!и~(х, Г~)+--6~и~~(х„, 1 ) ~ 1 .+.
! 2 ! 4 .+. е-и и „,. (х„, 1,„)+ 2~Ь И,„,У (Е„х„г„), (24) где ! <6„<г „х„,<2„2<х„<$„44<х„„!. Подставляя эти разложения в выражение невязки и пренебрегая, в силу непре- называют нввязкой. Невязку обычно оценивают при помощи разложения в ряд Тейлора. Например, найдем невязку явной разностной схемы (18) для уравнения теплопроводности (15а). Запишем это уравнение в каноническом виде: !д д21 Аиж( — — й — и=О.
'!дГ дх~) зоз АППРОКСИМАЦИЯ рывности производных, отличием величин $„и.„ В от х„, 1, найдем т Ааи 'фи = ! — 2 пя + -!и ихххх) = О (т+й ). (25) Таким образом, невязка (25) стремится к нулю при т — «О и й-«0. Выражение (25) дает невязку только в регулярных узлах схемы (18). Сравнивая (! 7) и (15б), легко получим невязку в нерегулярных узлах ф,=иРА = О. Замечание 1. Решение задачи теплопроводности с постоянным коэффициентом (15) в области 6=(0<х(а) к(0(! Т) непрерывно дифференцируемо бесконечное число раз. Однако учет пятых и более высоких производных в разложениях (24) прибавляет к невязке (25) только члены более высокого порядка малости по т и г!, т. е., по существу, не меняет вида невязки. За ме чан и е 2. Пусть по каким-либо причинам решение исходной задачи дифференцируемо небольшое число раз; например, в задачах с переменным коэффициентом теплопроводности, гладким, но не имеющим второй производной, решение имеет лишь третьи непрерывные производные.
Тогда в разложении (24) последними будут члены !-Й'иих, Я„+„(„,))6, не точно компенсирующие друг друга. Это приведет к появлению в невязке (25) члена типа йиххх= 0()!), т. е. невязка будет иметь меньший порядок малости, чем для четырежды непрерывно дифференцируемых решений. 3 а м е ч а н и е 3. Преобразуем выражение невязки с учетом того, что входящая в него функция и(х, !) есть точное решение исходного уравнения и для нее выполняются соотношения э аи ил= — (йи,х) = й -З(~Д =Й'и„„„. Подставляя это выражение в (25), получим 7! 1 Ири = ! !З йй и х ) ( хххх)и.
(26) Если выбрать шаги по пространству и времена так, чтобы т = = й'Г(бй), то главный член невязки обратится в нуль и останутся только члены более высокого порядка малости по т и 1! (которые мы опускали). Этот прием применяется при построении разностных схем повышенной точности. 4. Методы составления схем. Есть три основных способа составления разностных схем на заданном шаблоне: метод разностной аппроксимации, интегро-интерполяционный метод и метод неопределенных коэффициентов. Метод разностной аппроксимации заключается в том, что каждая производная, входящая в дифференциальное уравнение и краевые условия, заменяется каким-либо разностным УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 1гл.
1х выражением (включающим только узлы шаблона), Именно так были составлены схемы (16) и (18). Зтот метод очень прост и в дополнительных пояснениях не нуждается. Метод разностной аппроксимации позволяет легко составить схему первого илн второго порядка аппроксимации на прямоугольной сетке для уравнений с непрерывными (и достаточно гладкими) коэффициентами. Однако этот метод трудно нли даже невозможно применять в более сложных случаях: для уравнений с разрывными коэффициентами, на не прямоугольных сетках, для уравнений высокого порядка на неравномерных сетках и т.
д. Схемы повышенной точности в этом методе составляют, исследуя выражение невязки аналогично замечанию 3 в и. 3. Интегро интер пол яц ионный метод, один из вариантов которого называется методом баланса, наиболее надежен и применим во всех случаях. л л- — „лг — л, В этом методе после выбора шаб- г лона область 6 (г', () разбивают на ячейки, определенным образом связанные с шаблоном. Дифференциальное уравнение интегрируют по ячейке и по формулам т+г и — х 1 ! 1 Рис. 52. векторного анализа приводят к интегральной форме, соответствующей физическому закону сохранения. Приближенно вычисляя полученные интегралы по каким-либо квадратурным формулам, составляют разностную схему. Например, для уравнения теплопроводности с переменным коэффициентом иг = (1гик)к выберем шаблон, изображенный на рис.
52 (см. также рис. 47, а), и сопоставим ему ячейку, показанную пунктиром. Обозначая средние точки интервалов сетки полуцелыми индексами, выполним интегрирование по ячейке: ст+1 «и+!12 0 = ~ Ж ~ с(х(и, — (йи„),1 = Чп ки 112 'л ~- Пг сп+1 (й — и) СУХ вЂ” ~ ((Йи„)и+112 — (Йи„)и 112~ й. 1п ки — 112 (Ул — Уп) (Хп+ 1~2 — Хи — 1э) = т 1(пУ к)п+ 112 — ((гУк)л — 1121 Заменяя в правой части производные разностями и учитывая, Зто соотношение является точным. В правой части приближенно вычислим первый интеграл по формуле средних, а второй — по формуле правых прямоугольников.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
