1626435584-7c6402f545ecf856225d6cf8d21519c9 (844233), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Отметим также, что при нелинейном краевом условии вида, например, и' (а) = п(и (а)) линейная комбинация (84) с произвольными коэффициентами ЕА уже не будет удовлетворять этому краевому условию. Поэтому метод Галеркина применим только к задачам с линейными (относительно и(х) и ее производных) краевыми условиями, хотя допустйм и нелинейный оператор А (и). 7. Разрывные коэффициенты.
Во всех предыдущих пунктах явно или неявно предполагалось, что правые части рассматриваемых дифференциальных уравнений непрерывны вместе с некоторым числом своих производных. Однако в задачах о слоистых средах коэффициенты уравнений (коэффициентами являются различные свойства вещества — плотность, теплопроводность, упругость и т. д,) обычно разрывны на границах раздела двух сред, т.
е. во внутренних точках (а, (2). Бегло рассмотрим, как переносятся на этот случай развитые выше методы. Сделаем это на примере уравнения ,—, ~й (х) -,—,"~ — д (х) и (х) = г (х). (86а) Сначала обсудим характер решения. Если д(х) нли Г(х) кусочно- непрерывны, то и" (х) также лишь кусочно-непрерывна. Очевидно, в точке разрыва аппроксимировать вторую производную разностным соотношением нельзя. Еще сложней случай разрыва 22(х) в некоторой точке Х.
При этом решение краевой задачи становится, вообще говоря, не единственным. Существует множество обобщенных решений, каждое из которых удовлетворяет своему условию согласования в точке х. Для выделения единственного решения требуется поставить в этой точке внутреннее краевое условие; оно выбирается из' физических соображений и должно входить в полную поста' новку задачи. Пусть, например, (86а) есть уравнение теплопроводности в стержне, составленном из разных материалов, а й (х) — коэффициент теплопроводности.
Тогда дополнительным условием будет непрерывность температуры и теплового потока йг = — яи„в точке соединения ( (х)1~ + 2 6 гк ( ) ~и ~. + . (866) Поэтому и в методе стрельбы, и в разностном методе все точки разрыва коэффициентов выбирают в качестве узлов сетки; такие сетки называют спечиалычыми. В методе стрельбы до прихода (для. определенности слева) в такую точку пользуются «левыми» значениями коэффициентов, ЖО ОИЫКНОВВННЫВ ДиООВРВНЦИЛЛЬНЫИ З ПЛВНДНИЯ 1ГЛ.
ЧШ Придя в эту точку, при помощи внутреннего краевого условия формируют новые начальные условия. Например, в задаче (86) это будут условия и (х+ О) = и (х — О), Затем продолжают численное интегрирование, пользуясь уже «правыми» .значениями коэффициентов. В разностном методе для точки разрыва вместо аппроксимации дифференциального уравнения (86а) можно записать аппроксимацию внутреннего краевого условия (86б), или можно составить такую разностную схему, которая применима во всех точках, включая точку х*).
В методе Галеркина систему функций гра(х) следует выбирать так, чтобы линейная комбинация (84) при любых значениях коэффициента с» удовлетворяла внутреннему краевому условию. ф 3. Задачи на собственные значения 1. Постановки задач. Задачи на собственные значения — это краевые задачи для системы р уравнений первого порядка и'(х) =у(~, и; Х„Х„..., Х,), и = (ит из ° ° . ир) У= Ут~ 1» ° ° ° Гр) в которых правые части зависят от параметров )о, значения которых неизвестны и должны быть определены из самой задачи; число дополнительных (краевых) условий соответственно равно р+ д. Функции и„(х), 1 =- й ~ р, и значения параметров Х„ 1 ~ г =- д, удовлетворяющие всем уравнениям и краевым условиям, называются собсптенными функциями и ссбстаснными значениями задачи.
Задачи на собственные значения часто встречаются в физике и технике е'). Например, определеняе собственных колебаний струны приводит к задаче для линейного уравнения второго порядка с одним параметром нх ~й (х) сх1+ йр (х) и (х) = 0, а собственных колебаний упругого стержня — к линейному уравнению четвертого порядка (краевые условия зависят от способа закрепления струны или стержня).
Дифференциальное уравнение ') Это так иазываемые консервативные схемы, способ построения которых будет изложен в следующих главах. *') Много примеров таких задач приведено в 1171. ЗАДАЧИ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ 281 второго порядка возникает при нахождении спектра атома водорода. Нахождение уровней энергии многоэлектронного атома в приближении Хартри — Фока приводит к задаче для системы нелинейных уравнений, в которой число функций и число параметров равно числу электронов атома. Исследование корректности постановки задачи на собственные значения еще более сложно, чем для краевых задач. Исследованы в основном линейные задачи с одним параметром. Однако в курсах теории колебаний и квантовой механики имеется немало примеров, из которых видно, что в зависимости от постановки задачи собственные значения могут существовать или не существовать, быть вещественными или комплексными; спектр собственных значений может быть дискретным, сплошным, состоящим из полос или являющимся комбинацией перечисленных случаев.
Наиболее употребительными численными методами решения задач на собстйенные значения являются метод стрельбы и разностный метод, подробно рассмотренные ниже. Из приближенных методов упомянем методы Ритца и Галеркина. 2. Метод стрельбы. В задачах на собственные значения имеются естественные пристрелочные параметры — величины А,; поэтому такие задачи нередко решают методом стрельбы. Основные черты этого метода те же, что и для краевых задач; рассмот им детали метода на двух примерах. Г) ростейший пример — задача для одного уравнения первого порядка с одним параметром и двумя краевыми условиями и'(х)=7'(х, и; А), и(а)=а, и(б)=р.
(87) Если отбросить правое краевое условие и выбрать некоторое значение А, то (87) превратится в задачу Коши. Численно интегрируя ее, получим решение и(х; А), удовлетворяющее левому краевому условию и зависящее от параметра ).. Вообще говоря, и(6; А) ~ р, т. е. это решение не удовлетворяет правому краевому, условию. Тогда будем варьировать 7. до тех пор, пока не получим и(Ь; А)-р с требуемой точностью. Разумеется, при варьировании используют обычные методы нахождения корня алгебраического уравнения, как это было сделано в 2 2, п.
2. Другой пример — это классическая задача на собственные значения уравнения второго порядка при нулевых краевых условиях и" (х) + р (х) и' (х) + (Д+ д (х)1 и (х) = О, и (а) = и (а) = О. (88) Уравнение имеет второй порядок и содержит одно собственное значение; следовательно, задача требует трех дополнительных условий. Но в силу линейности и однородности решение определено с точностью до множителя; это и есть неявное задание третьего условия.
Формально третье условие здесь удобно задать в форме и'(а)=1 (что возможно, если р(а) и д(а) конечны). 282 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. УП! Тогда можно взять для исходного уравнения задачу Коши с начальными условиями и(а) =О, и' (а) =! и вести пристрелку парамет а Л до выполнения правого краевого условия. аметим, что линейность уравнения и краевых условий не упрощает стрельбу, ибо зависимость и(х; Л) от параметра все равно остается нелинейной.
Метод стрельбы удобно применять, если стрельба является однопараметрической, как это было в рассмотренных примерах. Если это требование не выполнено, то алгоритмы стрельбы сильно усложняются и становятся менее надежными; тогда выгодней использовать разностный метод. Метод стрельбы трудно применять также в том случае, если задача Коши плохо обусловлена. Тогда малая вариация Л может резко изменить решение и(х) и даже вывести его за пределы представимых на ЭВМ чисел.
При этом невозможно организовать процесс решения алгебраического уравнения типа и(о; Л) =О. Иногда, как и в краевых задачах, помогает смена направления интегрирования (но ее применяют только, если от этого не увеличивается число параметров пристрелки). 3. Фазовый метод. Классическая задача для уравнения вто-' рого порядка (88) имеет много важных физических приложений.
В частности, к этому уравнению приводит квантовомеханическая задача об уровнях энергии частицы, движущейся в заданном одномерном (например, сферически-симметричном) поле. В последнем случае задача Коши для уравнения (88) оказывается очень плохо обусловлениои: общее решение уравнения обращается в бесконечность на обоих концах отрезка (х =- О и х= со). Поэтому применять метод стрельбы трудно. Но эта задача настолько важна, что для нее разработаны специальные схемы. Рассмотрим одну из них †фазов метод.
Воспользуемся тем, что качественное поведение решения известно. Решение имеет осциллирующий характер, причем амплитуда может сильно зависеть от координаты. Введем амплитуду р и фазу гр решения при помощи соотношения и (х) = р (х) з[п ср (х). (89а) Это соотношение неоднозначно определяет амплитуду и фазу. Для определенности подчиним их дополнительному соотношению и' (х) = р (х) соз !р (х). (89б) Наглядный смысл его состоит в том, что если взять вектор с координатами и, и', т. е. перейти в фазовую плоскость, то р и !р будут амплитудой н фазой этого вектора. 283 зхдАчи нА соаственные знхчения Дифференцируя (89а) и (89б) и сравнивая их между собой, получим соотношения и" =р' соз «р — «р'рз(п«1), р'з(п «р = (1 — «р') р соз «1).
Исключая при помощи этих соотношений и формул (89) функцию и(х) и ее производные из уравнения (88), после несложных преобразований расщепим (88) на уравнения для амплитуды и фазы: р' (х) =- — р (х) (р (х) соз «р (х) + [д (х) + Х вЂ” 1] з(п «р (х) ) соз «р (х), (90) «р' (х) = соз' ч) (х)+ р (х) з(п «р (х) соз «р (х) + [А+ «) (х)] з(п' «р (х). (91) Граничные условия (88) при этом естественно приписываются фазе. Если надо найти решение, соответствующее квантовому числу л, т. е. имеющее л полуволн на [а, 6], то следует положить «р(а) =-О, «р(б) =гп. (92) Таким образом, мы получили задачу на собственные значения (91) — (92) только для уравнения фазы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
