1626435584-7c6402f545ecf856225d6cf8d21519c9 (844233), страница 65
Текст из файла (страница 65)
в нем де1 (дтсуд)г) ФО, то при не слишком плохом нулевом приближении итерации (97) быстро сходятся к разностному решению. Отметим, что для линейных задач на собственныс значения этот итерационный процесс совпадает с методом Дервюдье (см. главу У1, З 4, п. 2). Удовлетворительное нулевое приближение для итераций (97) можно найти приближенными методами (метод Галеркина, разложение по малому параметру и т. д.), а в прикладных задачах его нередко удается получить из качественных соображений.
Исключительно эффективна в таких задачах комплекемал оуганизаг(ил расчета, подробно описанная в Э 2, п. 5. Замечание !. Метод дополненного вектора особенно полезен для уравнений, у которых задача Коши плохо обусловлена: он подавляет такую неустойчивость. Замечание 2.
Метод легко переносится на более общие задачи вида А (и (х), )) =- О, где оператор А может быть интегродифферснциальпым (краевые условия предполагаются включенными в определение оператора). Вводя сетку х„и аппроксимируя разностными выражениями все производные и интегралы, входящие в оператор, получим алгебраическую систему (96) и решим ее итерационным процессом (97) *).
Замечание 3. Недостатком метода является то, что при неудачном выборе нулевого приближения итерации (97) могут не сойтись, или в задачах со спектром собственных значений итерации могут сойтись не к искомому собственному значению. Замечание 4. В методе дополненного вектора требуется решать систему линейных уравнений (97). Это легко делать, только если матрица системы целиком помещается в оперативной памяти ЭВМ (например, на БЭСМ-6 это будет при числе неизвестных Ж (160). Зто приводит к ограничению допустимого числа интервалов сетки.
Если требуется решить задачу для системы большого числа днфференни. альных уравнений (напрнмер, уравнения Хартрн — Фока для многозлектрон. ного атома), то даже при довольно грубой сетке число узловых значений *) Здесь обсуждается только вопрос о вычислении разносгного решения Вопрос о его сходимости к точному решению при А О надо рассматривать отдельно; он связан со свойствами оператора А и выбором аппроксимации. 286 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДНФФЕРЕНЦИАЛЪНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ.
УП1 всех функций будет велико, и метод дополненного вектора применять трудно. В подобных задачах успешно применяется так называемый нвлрврывныа аналог метода Ньютона, имеющий линейную сходимость итераций, но зато позволяющий оперировать с очень большим числом неизвестных. Этот метод является специальным вариантом метода последовательных приближений, организованным так, что итерации всегда сходятся. 6.
Метод Галеркина. Многие приближенные методы пригодны для нахождения собственных значений и собственных функций задач, у которых краевые условия линейны относительно функции и ее производных. Среди этих методов к наиболее простым вычислениям приводит метод Галеркнна. Метод формулируется почти так же, как для краевых задач. Ищем решение задачи А (и(х), Л) =1(х) в виде линейной комбинации отрезка полной системы функций рь(х), Й=-1: и и (х) — У, (х) = гРо (х) + 'У, 'сь1Рь (х), а ( х ==.
Ь, (98) а=1 выбранной так, чтобы удовлетворялись краевые условия. Потребуем, чтобы выполнялись условия ортогональности ь ~!А (у„(х), Л) — р(х)1грь(х)Их=0, 1=й(У. (99) а Эти условия образуют алгебраическую систему и уравнений с и + 1 неизвестным с„с„..., с„, Л. Недостающее уравнение надо полу.чить из одного из краевых условий. По тем же соображениям, что и в краевых задачах, удобнее пользоватьсЯ оРтогональными системами фУнкций 91ь (х).
В линейных задачах вычисления при этом заметно упрощаются. Пример. Рассмотрим задачу (95) и" (х)+Ли(х) =О, и(0) =и(1) =0 и воспользуемся полной системой многочленов грь(х) =ха(1 — х), которые заметно отличаются от точного решения зцдачи. Одним из дополнительных условий является условие нормировки реше- ния. Благодаря линейности задачи его можно формулировать разными способами; для удобства вычислений зададим его в форме у„(0) =1, что означает г,=1, Тогда, полагая п= 1 и 2, легко получим первые приближения п=1, Л' =10, у'(х)=х(1 — х), Л1 = 1 О, у' = х (1 — х), и=2, 11 Лн =21, ун =х(1 — х) — — — х'(1 — х).
13 Первое собственное значение определилось с хорошей точностью, второе — с много худшей. ЗАДАЧИ Методом Галеркина можно довольно хорошо находить наименьшие собственные значения. Но точность определения собственных функций обычно заметно хуже. Обоснование метода Галеркина сложно. В частном случае, если дифференциальный оператор А линеек и однороден относительно и (х), система (99) является задачей на определение собственных значений матрицы. Для задачи Штурма †Лиувил метод Галеркина приводит к тем же самым алгебраическим уравнениям, что и метод Ритца (сходнмость которого в задачах Штурма — Лиувилля доказана). ЗАДА ЧР! 1.
Доказать теорему о сходимости метода Пикара, сформулированную в$!,п.з. 2. Вывести оценку (!О) скорости сходимостн метода Пикара. 3. В методе малого параметра вывести формулы для коэффициентов сел и функций о„(х) в уравнениях (12). 4. Найтй првближенное решение уравнения (3) методом малого пара. метра. 5. Для системы двух уравнений (25) написать схемы Рунге — Кутта второго порядка точности, аналогичные (22) и (23). 6. Для уравнения химического распада (34) составить схемы Рунге — Кутта второго и четвертого порядка точности и выяснить ограничения на шаг в этих схемах, следующие из положительности решения. 7. Составить для уравнения хил~ического распада (34) спецвальную схему интегрирования по третьему способу из $ 1, п. 8.
8. Вычисляя в (4!) ингеграл от второго слагаемого по формуле трапеций, получить неявную специальную схему; исследовать ее точность и найти ограничение на шаг сетки. 9. Написать формулы метода стрельбы применительно к краевой задаче (46) для одного дифференциального уравнения второго порядка. 1О. Составить формулы метода Ньютона для нахождения корне уравнения (62б), возникающего прн решении краевой задачи (60) методом стрельбы. 11. Решить краевую задачу (69) мегодоч Галеркина, выбрав ортогональную систему функций фь (х)= ми 2ях; сравнить результат с примером, приведенным в42,п.б. 12.
Для итерационного процесса при решении задачи на собственные значения (87) баллистическим методом составить а) формулы методр секущих, б) формулы метода Ньютона. 13. Для задачи на собственные значення (93) найти разностным методом при А!=2 и А!=4 первую собственную функцию и уточнить ее-по правилу Рунге; ответ сравнить с точным решением. ГЛАВА 1Х УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ В главе 1Х рассмотрены методы численного решения задач для уравнений в частных производных.
В 1 1 обсуждены некоторые постановки задач н дан обзор методов, которыми решаются подобные задачи. Остальные параграфы содержат изложение основ наиболее широко применяемого и хорошо изученного метода — разностного. В $ 2 рассмотрены способы построения разностных схем и введено понятие аппроксимации. В 1 3 даны методы исследования устойчивости разностных схем.
В 1 4 доказаны основные теоремы о сходимости разностного решения к точному. В 1. Введение 1. О постановках задач. Движение систем малого числа частиц математически описывают, как правило, обыкновенными дифференциальными уравнениями. Если же число частиц очень велико, то следить за движением отдельных частиц практически невозможно. При этом удобнее рассматривать систему частиц как сплошную среду, характеризуя ее состояние средними величинами: плотностью, температурой в данной точке и т.
д. Математические модели сплошной среды приводят к уравнениям в частных производных, которым удовлетворяют упомянутые средние величины. Например, изменение температуры в неподвижном теле описывается уравнением теплопроводности с(и, Г, 1) — -=Йц[Й(и, Г, 1) ягас( и1+у(и, Г, 1), (1) где и — температура, с в теплоемкость, Й вЂ” коэффициент теплопроводности и д — плотность источников тепла. К уравнениям в частных производных приводят задачи газодинамики, теплопроводности, переноса излучения, распространения нейтронов, теории упругости, электромагнитных полей, процессов переноса в газах, квантовой механики и многие другие.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
