1626435584-7c6402f545ecf856225d6cf8d21519c9 (844233), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Например, если уравнение (9) рассматривается при г)0 на полупрямой х=-х„то следует задать ус- ловия УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ [Гл. !х Если уравнение в частных производных описывает сложный физический процесс, то автомодельные решения дают отдельные режимы протекания процесса и позволяют исследовать многие его особенности.
Поэтому автомодельные решения широко используются в современной физике (см. 1361). Автсяяодельность является частным случаеМ подобия. В теории подобия при помощи анализа физических размерностей коэффициентов уравнения ищутся такие преобразования, всех переменных и функций, относительно которых уравнение инвариантно. Например, уравнение (9) не изменится при таком преобразовании: (14) х-э.ах, 1-! а[, и-+а!т'и.
Если для уравнения известно преобразование подобия, то, найдя каким-либо способом одно частное решение, мы при помощи этого преобразования получим целое семейство решений. Это особенно ценно, если задача настолько сложна, что частные решения удается находить только трудоемкими численными методами. Разумеется, автомодельные решения или преобразования подобия существуют далеко не для всех классов уравнений, а лишь при некоторых видах коэффициентов уравнения и начальных и граничных условиях.
Однако многие важные физические задачи точно или приближенно удовлетворяют этим ограничениям. 4. Численные методы. Задачи для нелинейных уравнений с коэффициентами достаточно общего вида или даже линейные задачи, но в областях сложной формы, редко удается решить классическими методами. Основным способом решения таких задач являются численные методы. Среди ннх чаще всего применяют разностные методы благодаря их универсальности и наличи[о хорошо разработанной теории.
Для применения разностного метода в области изменения переменных 0 (», !) Вводят некоторую сетку. Все производные, входящие в уравнение и краевые условия, заменяют разностями (или другими алгебраическими комбинациями) значений функции и (», [) в узлах сетки. Получаю[циеся при этом алгебраические уравнения называют разностной схемой.
Решая полученную алгебраическую систему, найдем приближенное (разностное) решение в узлах сетки. Как и в главе у'!П, возникают вопросы: существует ли решение алгебраической системы и единственно ли оно; как это решение фактически'вычислить (за возможно меньшее число действий); при каких условиях это разностное решение стремится к точному и какова скорость сходимости? Есть еще два вопроса, которые для обыкновенных дифференциальных уравнений были несложными; как выбрать сетку и как составить разностиую схему на этой сетке? 291 ВВЕДЕНИЕ 4П Пример. Составим простейшие разностные схемы для одномерной задачи линейной теплопроводности на ограниченном отрезке и,=йи,„О<х<а, 0<(~Т, (15а) и(х, 0)=1з(х), и(0, з)=)зз(У), и(а, ()=)зз(1).
(15б) Решен ие ищется в области 6 =- 10 "= х .—.. а] м 10 == 1.=.. Т). Введем в б прямоугольную сетку (для простоты равномерную), образованную пересечением линий х„=аЬ, 0 и( У, и 1„=-тт, О~т(М; величины Ь, т являются шагами сетки по переменным х, 1 (рис. 46). Значения функции в узлах сетки будем обозначать и"„'=и(х„, („). 1 ш+1 л-у л+ п и-1 и им а] д1 Рис.
41. Рис. 46. Возьмем около узла (х„, г' ) конфигурацию узлов, изображенную на рис. 47, а, Заменим в уравнении (15а) производную и, разностным отношением (и„" ' — и„")тт, а производную и,а — отношением (и'„"+, '— 2и'„"+'+и„'" ' ',)/Ьз. Тогда дифференциальное уравнение приближенно заменится (анпроксимируется) разностной схемой е) — (у,",+' — у"„') =-„-, (у„1 ', — 2у„'"+'+у„" ~',), 1(п=-М вЂ” 1. (16) уз ' =)зт((мзт) ун =рз(1м,). (17) у',=р(х„), О-=.и==Я, Конфигурацию узлов, используемую для составления разностной схемы, называют итаблоном.
Для одной и той же задачи можно составить много разностных схем. Например, если для задачи (15) выбрать изображенный *) Напомним, что разностной схеме удовлетворяет разностное решение, которое мы обозначаем р~м. Число уравнений (16) меньше числа неизвестных у„"'+', 0 =и =М; недостающие уравнения выводятся из начальных и граничных данных (156): 298 УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ~гл. «х на рис. 47, б шаблон, то вместо (16) получим другую схему: — (у"'+ ' — у"') = — „, (у„"', — 2у«'+ у,"',), 1 ~ и ( Ж вЂ” 1. (18) Начальные и граничные условия для этой схемы можно записать в форме (17). В этой главе рассмотрены способы составления и исследования разностных схем, применимые для разных типов задач.
В следующих главах излагаются те разностные схемы, которые дают хорошие результаты при решении некоторых распространенных типов уравнений математической физики, возникающих в задачах переноса, теплопроводности и диффузии, акустики и газодинамики, стационарных электрических полей. Есть численные методы, близкие к разностным. Например, в методе прямых сетка вводится только для части переменных; эти переменные рассматриваются как дискретные, а одна переменная (обычно врел«я ' 1) остается непрерывной.
Производные по дискретным переменным заменяются рззностями. При этом уравнение в частных производных аппроксимируется дифференииально-разностнь«ми уравнениями, которые представляют собой систему большого числа обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод прямых оказывается в некоторых случаях удобным. Для некоторых важных классов задач развиты специальные численные методы, обычно основанные па каких-либо грубых физических моделях процессов.
Так, для задач многомерной газодинамики разработан метод частиц в ячейке; для задач разреженной плазмы предложен метод «водяного мешка» и ряд других (см. 16)); в задачах переноса нейтронов комбинируют разностный метод с разложением угловой части функции распределения частиц по сферическим гармоникам и т. д. Численные методы позволяют решить сложнейшие задачи для систем многомерных уравнений. Однако для сложных задач численные методы очень трудоемки и рассчитаны на использование мощных ЭВМ. В этих случаях даже вывод разностной схемы, составление программы и ее отладка могут занимать несколько месяцев, а разработка математической модели или новых типов разностных схем нередко требует нескольких лет. Поэтому численные методы целесообразно использовать в сочетании с аналитическими методами.
Например, ищут такие упрощенные постановки задачи или частные случаи, когда можно найти точные или автомодельные решения и преобразования подобия. Прн помощи преобразования подобия по каждому найденному численному решению строят семейство решений. Все это позволяет с меньшими затратами труда провести детальное исследование исходной задачи, 299 АППРОКСИМАЦИЯ з з1 5 2. Аппроксимация 1. Сетка н шаблон. Для большинства разностных схем узлы сетки лежат на пересечении некоторых прямых линий (в многомерных задачах — гиперплоскостей), проведенных либо в естественной системе координат, либо в специально подобранной по форме области 6. Для двумерных задач в прямоугольной области 6 наиболее часто употребляют прямоугольную сетку (см. рис.
46), которую мы ввели при составлении схем (16) и (18). Заметно реже используют лг треугольную (рис. 48) или шестиугольную сетку. Для трехмерных задач наиболее употребительна сетка из прямоугольных параллелепипедов (рис. 49); другие виды сеток, например из прямоугольных трехгранных призм (рис. 50), используются редко. Существуют некоторые разностные схемы, например, для задач двумерной и трехмерной газодинамики, где узлы сетки расположены неупорядоченно. Но такие схемы сколько.наоудь заметного распространения не получили. Если одна из переменных имеет физический смысл времени г, то сетку обычно строят так, чтобы среди ее линий (или гиперплоскостей) были линии г'=г .
Совокупность узлов сетки, лежагцих на такой линии или гиперплоскости, называют слоем. Рис, 49. Рис. 50. На каждом слое выделяют направления — линии, вдоль которых меняется только одна пространственная координата. Например, для переменных х, у, 1 есть направление х ((=сопз1, у=сопз1) и направление у (1=сопз1, х=сопз1). Если область 6(х, 1) имеет форму прямоугольника, то часть узлов прямоугольной сетки естественно ложится на границу области (см. рис. 46); эти узлы называются граничнымн, а остальные узлы — внутренними.
Начальные и краевые условия, наложенные на решение на границе Г(6), можно в этом случае УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ !гл. зх считать заданными в граничных узлах сетки. Именно так было сделано при выводе соотношений (!7) в примере из З 1, п. 4. В случае двух пространственных переменных х, у граница области 6 (х, у) нередко бывает ломаной линией. Для таких областей всегда можно ввести такую треугольную сетку, чтобы естественные узлы сетки (пересечения линий сетки) легли на границу (см.
рис. 48). Иногда удается добиться этого, используя прямоугольную сетку. Если граница Г (6) криволинейная, то естественные узлы сстки на границу могут пе попадать (рис. 51). В этом случае можно взять точки пе. рессчеиня линий сетки с границей в качестве дополнительных узлов; тогда краевые условия следует задавать в этих узлах. Можно сделать иначе: границу Г (6) приближенно заменить ломаной, проходящей через ближайшие к границе естественные узлы (жирная линия на рис. 51); тогда краевые условия, заданные на Г(6), надо каким-либо образом перенести на эту ломаную. Если область о является кругом !кольцом), цилиндром или шаром, то часто переходят к системам координат, связанных с видом области: полярным, цилин. дрическим или сферическим.
Если в таких координатах ввести прнмоугольную сетну, то естественные узлы сетки лягут на границу. Иногда для построения хороюей сетки в областях сложной формы прибегают к конформному отобра. жению па квадрат, в котороч введена прямоугольная сетка. Составляя разностные схемы (15) н (18), мы использовали во всех внутренних точках области однотипную разностную аппроксимацию производных. Иными словами, при написании каждого разностного уравнения около некоторого узла сетки бралось одно н то же количество узлов, образующее строго определенную конфигурацию.
Эту конфигурацию узлов называют шаблоном данной разностной схемы (см. рнс. 47). Узлы, в которых разностная схема записана на шаблоне, называются регулярными, а остальные узлы — нерегулярными. Нерегулярными являются обычно граничные узлы, а иногда также лежащие вблизи границы узлы (такие, что взятый около этого узла шаблон выходит за границу области).
Так, в примере из 1, п. 4 нерегулярными были граничные узлы, и в них разностная схема имела нестандартную форму (17). Составление разностной схемы начинается с выбора шаблона. Ц)аблон не всегда определяет разностную схему однозначно, но существенно влияет на ее свойства; например, далее мы увидим, что на шаблонс рис. 47, б нельзя составить хорошей схемы для задачи (15). Для каждого типа уравнений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
