1626435584-7c6402f545ecf856225d6cf8d21519c9 (844233), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Доказательство. Наряду с решением у рассмотрим решение у, соответствующее возмущенной правой части А„у = ф; поскольку исследуется устойчивость только по правой части, то можно считать, что у ((а) = у ((а). % з1 тстопчивость Введем последовательность сеточных функций 1в (1), опреде- ленных при 1)1, следующими условиями: (1 ) = р ((о) т ч,(1 ) = 1е (1 ), т = 1, 2, ..., ) ф при Г .,~1(~, (51) !! <р при Эти функции определены так, что 1в„(0 =у(() при 1,((~( . Заметим, что в тех же обозначениях можно записать 1ио(1) = — д(1). Сравним функции 1а (1) и ю„„,(1). На слое Г„они совпадают по определению. Тогда из (50) и (51) следует, что П шн 1 (1,д~1) — ж1н (Гонт) П ~ Ят П Ч~ — ф П.
При г ==- г„,, зги функции удовлетворяют разностной схеме с однои и той же правой частью Ч, но с разными начальными данными на слое 1,, Позтому в силу определения (47) на по- следнем слое 1м будут выполняться неравенства Пт, ((и) — ю ((м) П~ КПю (1 ) — ю.(1 -) П~ятКПч — ФП. Отсюда при помощи неравенства треугольника получим м — ~ Пр(1 ) — У(1 ~) П =.= .'У, 'П т .,(г ) — ю (( ) П =о ~ ЯтМК П ф — ф П = Я ((л1 — 1о) К П ф — Ф П, т.
е. имеет место устойчивость по правой части, что и требовалось доказать. Следствие. Если неравенства (48) и (50) выполнены, то разностн я схема устойчива и по начальным Данным, и по правой части. Замечание. Теорема была доказана для конечного промежутка времени. В бесконечной по 1 области, если выполнено условие (50), можно доказать следующие достаточные признаки устойчивости по правой части: а) Если при переходе со слоя на слой ошибка начальных данных не возрастает (С =0), то схема устойчива по возмущениям правой части с конечным суммарным импульсом 1 (! Ьр(х, 1) ! с(хМ« .и. б) Если прн переходе со слоя на слой ошибка начальных данных убывает как (1 — Ст), С) О, то схема устойчива по отношению к постоянно действующим возмущениям ! б~р (х, 1) ! с" е.
3. Принцип максимума. Есть несколько способов исследования устойчивости разностных схем: принцип максимума, метод 316 уРАВнения В чхстных пРОизВОдных 1гл. !х разделения переменных, метод операторных неравенств и некоторые другие. Сейчас мы рассмотрим принцип максимума, который применяют к уравненинм переноса, а также к параболическим и эллиптическим уравнениям. Он позволяет доказывать устойчивость в 1~ 11,. Сформулируем признак устойчивости явных и неявных двуслойных линейных разностных схем.
Запишем двуслойную схему в следующем виде: Х а,у„„= У',()!у.э!+Ч„, А ! где суммирование на каждом слое производится по узлам шаблона около и-го узла. Коэффициенты ссь перенумеруем так, чтобы 1а0 ! = шах , 'аь ~. Тогда: а) схема равномерно устойчива по начальным данным, если (1+Ст)!сс0~~,У, '~аь~+.),'~()!~, С=сопз1. (53) А~о б) схема устой шва по правой час!пи, если выполнено (53) и ( ав ~ — ~~~ ! аь ) =» — -, и = сопз1 ) О.
(54) АЛ0 До к азат ел ь ство. а) Фиксируем правую часть (52) и внесем ошибку бу на исходном слое. Тогда ошибка бу на новом. слое удовлетворяет уравнению ,К аьбуа ь = ~ (1!6уа!.!. ь Отсюда для любого узла и следует неравенство ~а0, '~бу.!== Х ~аь! ~бу !А!+Х!Рс~ 16у,,!!. Применим это неравенство к узлу Л, в котором )6у„( достигает своего максимума; при этом в правой части заменим ~ бу„,в) и (бу„„!! их максимальными значениями, что только усилит неравенство.
Тогда получим !а01шах ~бу, ( = шах ~бу„) ~х', !аь)+шах )бу, ! У', ) 1)с!, АУ-О ь или 11 бу ~~, ~ ~ аь , '— '~" ~ а, ) '! ~ 11 бу!1, .У',, ()! ~ А~0 / ! 3!7 эстопчивость Но в силу неравенства (53) ~ ! ~~)((1+Ст) 1ао ~ — ~ !ао1 =. (1+Со) (/ао! — ~Ч~ )ао )). о о-о о~о Поэтому Ц бу Ц, ~ (! + Ст) Ц бу Ц„ т.
е. выполнен признак (48). Первое утверждение доказано. б) Зафиксируем в (52) решение на исходном слое и внесем погрешность в правую часть. Тогда погрешность решения на новом слое удовлетворяет уравнению ~ аобу,ц.о = био. Отсюда следует неравенство ~ ао ~ ~ бу, ~ — ~ ~ ао ( ) б у„о ) + ! б(р„(. омо Аналогично предыдущему, выберем узел я и заменим справа все величины их максимумами. Легко получим, что Ц бу Ц, ~(1ао! — Х 1ао! ) ~ ~1 б р Ц.. ойдо Отсюда с учетом (54) следует, что ЦбуЦ,= „-Цбч Ц„ т, е. выполнено условие (50).
Второе утверждение доказано. 3 а м е ч а н н е 1. Доказательство непосредственно применимо к схемам с переменными (завнсящими от х, 1) коэффициентами. Его можно обобщить на некоторые квазнлинейиые схемы, в которых коэффициенты зависят от у. 3 а м е ч а н и е 2. Краевые, условия двуслойных линейных схем также имеют форму (52). Поэтому данный признак позволяет устанавливать устойчивость по краевым условиям.
Замечание 3. Принцип максимума дает достаточное условие устойчивости; невыполнение критериев (53) и (54) еще не означает неустойчивости схемы. Изложенным методом обычно удается доказать устойчивость только схем точности О (т), да и то не всех; для обоснования устойчивости схем более высокого порядка точности по т применяют другие методы. П р и м е р. Рассмотрим нестационарную краевую задачу для уравнения теплопроводцости с постоянным коэффициентом (15): и,=йи„„+~, и(0, 1)=р,(1), и(и, 1)=ро(1). з!в [Гл. [х УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ Г!РОИЗВОДНЫХ Запишем для нее неявную схему (16) — (17) на равномерной сетке: 1 (у — угл) =-йз (у — 2уя+ у«. )+'р Уз=[[!(!) Улг=йа(!).
Переписывая эту схему в форме (52), получим сев= — +- —,-, а х=сех=-,— е ~о=-; при 1~л()у' — 1; ! хя й 1 хо=1, Ро=О при и=О и п=й[; остальные коэффициенты равны нулю. Видно, что при любых соотношениях шагов по 1 и х условие (54) выполнено в регулярных узлах, а условие (53) — во всех узлах сетки. Следовательно, схема безусловно устойчива по начальным данным, правой части и краевым условиям. Для' эллиптических уравнений.
обычно дается другая формулировка принципв максимума. Кроме того, для нестзционзрных задач имеется ряд модификаций принципа мвксимумв: метод ро та единичной ошибки, метод индекса рззностной схемы и т. д. А[ы их рассматривать не будем. 4. Метод разделения переменных, Этот метод применяется для строгого обоснования многих линейных схем и нестрогого, но плодотворного исследования большинства нелинейных задач, возникающих в практике вычислений. При его помощи устанавливается устойчивость в [! [[[,.
рассмотрим применение метода к линейным двуслойным схемам, записанным в канонической грорд[е: В ~ " +Ау= гр, (55) где В, А — некоторые разностные операторы, действующие на у (или у) как функцию пространственной переменной. Например, для явной схемы (18) имеем й В=В, Ау„=,, (у„„2У„» у„,). йх При фиксированной правой части погрешность решения удовлетворяет однородному уравнению Вбу=( — А)бу.
(56) Будем искать для этого уравнения частное решение с разделяющимися переменными бу(х„, 1 )=р,,е"', [7=0, .+ 1, .+.2, ... (57) При этом бу=р бу, так что р есть л[ножитель роста г)-й гармоники при переходе со слоя на слой, Подставляя (57) в (56), устоичнвость 319 получим уравнение для определения р: р„Ведд' = ( — тА) едд'. (58) Будем считать, что схема (55) имеет постоянные коэффициенты и задана иа равномерной сетке. Тогда уравнение (58) после сокращения множителя ехр(!ух) не будет зависеть от координаты х (или ее индекса и).
Следовательно, величина рд не будет зависеть от х или 1. Признак устойчивости. Схема (55) с постоянными коэффи!(иент ми устойчива по начальным донным, если для все!( у выполняется неравенство ~рд! =.1+Ст, С=сонэ(. (59) Доказательство. Система функций ед" (О==у==6) — 1) полна и ортогональна на равномерной сетке (х„, О~я=-.Ж). Разложим -произвольную ошибку начальных данных бу (х, 1д) в ряд Фурье по этой системе (см.
гл. П, 9 2, п. 4): Ю вЂ” ! бу(х. (д) = .'У, 'а,е!" . д=а Поскольку для линейного уравнения (55) справедлив принцип суперпозиции, то метод разделения переменных дает для ошибки на слое 1„следующее выражение: и — 1 бу(х„,()= ", 'ар,е'дд, д=д Используя ортогональность гармоник, получаем отсюда и — ! ЦбУ(( ) ~~1,=У,У, 1Рд1"" (ад!д( д=д и — ! .~ гпах1рд !д Л! .У', (а (д = !пах (рд (дд'|! бу((д) !!р,. д=в При помощи условия (59) преобразуем это неравенство к виду 11 бу ((~) 11!, ~ (1+ Ст) 11 бу ((о) 11!, что совпадает с признаком (48). Утверждение доказано.
Замечание 1. Из признака устойчивости (59) и дополни- тельного условия (54) следует устойчивость схемы по правой части в 1! ф,, Замечание 2. Фактически константа С в (59) не должна быть большой, иначе устойчивость будет слабой (см. п. 2). Поэтому при проверке этого признака обычно полагают С=О. 320 УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 1гл 1х Признак неустойчивости.
Если хотя быдля одного д величину ~ р,1 нельзя мажврировать величиной 1+ Ст, то схема (55) неустойчиза. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть в начальных данных имеется ошибка вида ее« с данным д. Тогда к моменту (=тт она возрастет в р„"' раз, что по модулю больше величины (1+Ст)'" =- = (1+Ст)'!') С! при сколь угодно большом С. Неограниченный рост ошибки означает неустойчивость схемы. П р и м е р. Исследуем устойчивость явной схемы (18) для уравнения теплопроводности. Для этой схемы уравнение (58) принимает вид 1) ~9» ~~ ( М(»»+ь) 2е19»„+ей(»„— А)) 9 Отсюда вытекает, что множитель роста 4А« . чв р =1 — —,з(п» вЂ” '. 9 А» 2 Тогда условие (59) с учетом замечания 2 приобретает вид — 1=р«~.1.
Это неравенство выполняется для любого д, только если 2й lь'(1, илн т(2/, (60) Таким образом, явная схема (18) условно устойчива. Метод разделения переменных применим к многослойным линейным схемам с постоянными коэффициентами, в частности к схемам, аппроксимирующим задачи для дифференциальных уравнений второго порядка по времени (соответствующие примеры будут рассмотрены в главе ХП!). Сейчас остановимся на двух нестрогих обобщениях этого метода. Замораживание коэффициентов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
