1626435584-7c6402f545ecf856225d6cf8d21519c9 (844233), страница 74
Текст из файла (страница 74)
1, имеет погрешность аппроксимации (25): !!»р!1„. ~ 1;-й!!' 1)и„»»,1!1, + — т !)и,Д,. ззо УРАВНЕНИЯ и ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ [гл. !х решения (71) имеет следующую асимптотику: у (х) — и (х) = (гР2 (х) + о (йР) при (г — ~ О, х еп а!А+ ук. (84) Д о к а з а те л ь ство. Пользуясь линейностью операторов, нетрудно установить следующее равенство: А л 1(г-Р (у — и) — 21 = — й-Р (А и — А А и+ <р — () — гр+ (А г — А А в); аналогичные равенства записываются для граничных условий. При й- О правые части всех этих равенств стремятся по норме к нулю: последняя скобка — на основании предположения об аппроксимации на функции г (х), а остальные члены — согласно условию (82).
Тогда, благодаря устойчивости разностных операторов А„, ЙАА, выражение в квадратных скобках в левой'части этих равенств стремится по норме к рен[ению задачи (71) с нулевой правой частью, которое тождественно равно нулю. Теорема доказана. Замечание 1. Теорему можно обобщить на случай многих переменных, даже если порядок аппроксимации по разным переменным неодинаковый. В случае двух переменных возможна следующая асимптотика погрешности: у(х, 1) — и(х, 1)=тгвг(х, 1)+й"г,(х, 1)+о(те+йР), (85) или иная, в зависимости от характера аппроксимации.
Теорема 2 обосновывает использование метода Рунге для апостериорной асимптотической оценки погрешности или для уточнения результата. Например, явная схема (18) для уравнения и, = йи„., имеет /! г 1 иевязку (26), равную ф (х, 1) = ~ — (г(г' — — й'т 'и„„„. (х, (). Поскольку решение этого уравнения дифференцируемо лю5ое число раз, то легко проверить выполнение условий теоремы 2 и определить погрешность: у(х' 1) гг(х' 1) ~ 12 2 )з(х, 1)+от+Й ), (86) где 2 удовлетворяет уравнению 2,— йв„„=и,„„, и соответствующим начальным и граничным условиям. Возьмем сетку ыг с шагами Ь и т и сгущенную сетку вн с шагами Л(г и т(г' (обычно полагают г=-2). На второй сетке погрешность по каждой переменной, как видно из (86), уменьшается в г' раз.
Обозначая разиостные решения на этих сетках соответственно. через у' и у", определим погрешность (см. гл. 1И, п. 3 и гл. Ъ'П!, 2 1, п. 11): зн = уи — и г — (у' — уп). 1 гз ЗЗ( сходимость Зту ~~~р~шнос~~ можно использовать для оценки точное~~ разностного решения, а можно вычесть ее из разностного решения, тем самым уточнив его. Замечание 2.
Если функция й(х) такова, что к ней самой применима теорема 2, то можно использовать рекуррентный метод Рунге, несколько раз сгущая сетку. Изложенная в этой главе теория разностных схем применима к разностным схемам, аппроксимирующим корректно поставленные задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений в частных производных и интегральных уравнений. Теория переносится на решение уравнений в частных производных методом прямых. Хотя в большинстве формулировок фигурировало только одно уравнение и одна переменная, но теория очевидным образом обобщается на системы уравнений или случай многих переменных.
Теория разностных схем применяется также для доказательства существования решения точной задачи (70) и установления его свойств. В качестве примера приведем без доказательства одно утверждение: Те о р ем а 3. Если для задачи (70) существует хотя бы одна корректная разностная схема (71), аппроксимирующая задачу на функциях и(х) ~ы У, то решение и(х) задачи (70) в классе У существует и единственно. Если правые части ср(х), Х(х) непрерывны равномерно по IЬ то и(х) непрерывно зависит от ) (х) р (х).
3. Сравнение схем на тестах. Для любой задачи даже на фиксированных сетке и шаблоне можно составить много разностпых схем. Естественно, возникает вопрос: какую из схем использовать при решении реальной задачи? Как правило, традиционпых оценок сходимости и точности для ответа недостаточно. Зто связано с несовершенством теоретических методов исследования схем. 1) Для большинства нелинейных задач (например, газодинамических) нет доказательства сходимости или хотя бы устойчивости разностных схем.
Соображения об их устойчивости и сходимости основаны на анализе линеаризованных задач. 2) Оценки точности схем являются асимптотическими при стремлении шага к нулю. Но быстродействие и память современных ЭВМ не настолько велики, чтобы можно было относительно сложные реальные задачи считать достаточно малым шагом. Например, для трехмерной задачи сетка из 27000 узлов, соответствующая оперативной памяти ЗВМ БЭСМ-6, содержит всего 30 интервалов по каждой переменной. Реально может оказаться, что схема первого порядка точности на грубых сетках даст более точный результат, чем схема второго порядка точности, хотя на подробных сетках соотношение будет обратным.
УРАВНВНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ~гл. !х 3) Обычно априорные оценки точности схем далеки от оптимальных. Они бывают завышены в десятки и сотни раз, и только в исключительных случаях удается получить неулучшаемые оценки. Но даже эти неулучшаемые оценки относятся к достаточно широкому классу решений, а для конкретного решения могут быть сильно завышены. 4) Даже наличие доказательства сходимости разиостпой схемы не гарантирует хорошего качества полученного по схеме решения. Сходимость в гильбертовой норме обеспечивает передачу только некоторых интегральных характеристик решения.
Сходимость в чебышевской норме обеспечивает хорошее качество решения лишь при достаточной подробной сетке. В расчетах на грубых сетках при сходящейся схеме нередко возникает «разболткагн делающая результаты расчета фактически неприемлемыми. Большой опыт численных расчетов показывает, что, помимо аппроксимации и устойчивости, разностные схемы должны удовлетворять добавочным критериям, обеспечивающим передачу некоторых качественных свойств решения. Хорошо известным критерием является консервативность схем или, в более общей форме, инвариантность'разностных уравнений относительно определенной группы преобразований. Другие употребительные критерии — это аппрокснмационная вязкость схем илн диссипативность первого дифференциального приближения и монотонность схем.
Вероятно, в дальнейшем будет создана достаточно строгая качественная теория разностных схем, позволяющая ответить на многие вопросы. Но даже после создания такой теории важным элементом работы останется экспериментальное исследование схем, т. е, проверка их на небольшой системе тестов. Тестом может служить задача, которая содержит специфические трудности данного класса задач и точное решение которой известно, Это решение может задаваться формулой или находиться численно; в качестве тестов нередко используют автомодельные решения. Для проверки схемы следует провести серию из трех или более расчетов задачи-теста с последовательным сгущением сеток и сравнить разностное решение с точным.
Точность схемы оценивают по норме погрешности разностного решения. Для более полного изучения схемы проверяют сходимость в разных нормах (обычно в С и Е.,). При этом обязательно сравнивают фактическую скорость убывания погрешности при й-~-0 с теоретическим порядком точности схемы. Возможны случаи, когда ожидаемый теоретический порядок точности не совпадает с фактическим. О чем это может свидетельствовать? Отметим некоторые типичные ситуации.
а) Метод теоретического исследования был строгим, а фактический порядок точности ниже теоретического. Возможны две причины. 1) Численный расчет был неправильным; например, ЗлдАЧИ программа для ЭВМ содержала ошибки. 2) При теоретическом анализе аппроксимация определялась на функциях более гладких, чем использованное в качестве теста решение и(х, !).
б) Метод теоретического исследования был строгим, а фактический порядок точности выше теоретического. Это означает, что теоретическое исследование бьио недостаточно полным. Может быть, при доказательстве устойчивости использовались более сильные нормы для правых частей, чем в действительности необходимо; или погрешность аппроксимации определялась не на решении данной задачи, а на заметно более широком классе функций. в) Метод исследования был нестрогим; например, устойчивость нелинейной схемы изучалась методом разделения переменных.
В этом случае теоретическое исследование вообще не дает ответа, а лишь позволяет сделать довольно вероятный прогноз. Сравнение же на тестах позволяет установить здесь точный характер сходимости, правда, только на отдельных примерах. Исследовать надо не только разиостные схемы, ио и сетки. Разные классы задач предъявляют разные требования к сеткам. Но лишь в отдельных случаях эти требования удается четко сформулировать; например, если точное решение имеет разрыв или другую особенность, то желательно совместить с ней узел сетки. В остальных же случаях приходится сравнивать сетки тоже на тестах. Зачастуто удачный выбор сетки повышает точность расчета не меньше, чем усовершенствование разностной схемы.
ЗАДАЧИ 1. Для уравнения (9) найти автомодельное решенве вида и(х, ()=)Д), я=х)А н соответствующие ему начальные и граничные условия. 2, Найти выражения невязка для случая, рассмотренного в й 1, п. 3, замечание 3. 3. Вывести разностную схему (29) и найти ее невязку. 4. Определить невязку ревностного краевогб условия (ЗЗ) и сравнить ее с (32).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
