1626435584-7c6402f545ecf856225d6cf8d21519c9 (844233), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Если линейное дифференциальное уравнение имеет переменные коэффициенты или используется неравномерная сетка, то задача сводится к линейной разностной схеме с переменными коэффициентами. В этом случае уравнение (58) содержит' неустранимую зависимость от л.
Следовательно, множитель роста р« также зависит от п и его нельзя считать постоянным для данйой гармоники. «Заморозим» коэффициенты схемы, т. е. возьмем в качестве постоянных коэффициентов значения коэффициентов схемы в некотором узле и, и найдем р« из (58), Будем считать разностную схему устойчивой, если при любых а и а выполняется признак (59). Этот способ оказался очень эффективным приемом исследования устойчивости схем. В настоящее время он обоснован для многих классов параболических и эллиптических уравнений с гладкими коэффициентами (в ряде случаев достаточно непре- 321 устойчивость рывности коэффициентов) и для некоторых узких классов гиперболических уравнений.
В практике вычислений для любых уравнений с гладкими коэффициентами и решениями критерии устойчивости, полученные этим способом, хорошо согласуются с результатами численных расчетов. Однако способ «замороженных» коэффициентов применим нс всегда. Для ряда задач с разрывными, недифференцируемыми и даже кусочно-гладкими коэффициентами построены примеры '), в которых использование этого способа приводит к ошибочным заключениям. Л и н е а р и з а ц и я.
Сложные задачи математической физики приводят к нелинейным разностным схемам В, (у)+В«(у) = гр (61) где „« — нелинейные операторы, действующие на у и у как на функции пространственной переменной. Нарастание ошибок (пока эти ошибки малы) описывается линеаризованным уравнением бВ,(р) 6. + ВВ»(р) б~ (62) Обычно В и у являются И-мерными векторами; тогда 6В/бу является матрицей производных (дВ,/ду»).
Устойчивость уравнения (62), линейного относительно ошибок, можно исследовать способом «замороженных» коэффициентов. Уравнение для множителя роста д-й гармоники принимает вид (- р,—. + — ~е'«" =-О. бВ, 6В» й (63) бу бу Способ линеаризации при исследовании многих сложных разностных схем (например, схем, возникающих в задачах газодинамики) дает критерии устойчивости, хорошо подтверждаемые практикой численных расчетов. Однако он не является строго обоснованным и в некоторых случаях может привести к неверным результатам.
Метод разделения переменных можно строго обобщить на многие классы линейных схем с переменными коэффициентами (на неравномерных сетках), а также применять его для доказательства устойчивости по краевым условиям. Для этого надо вместо гармоник ехр((ах) использовать систему у«(х) собственных функций разнсстной задачи р«Ву«(х) =( — «А) у, (к) и соответствующие собственные значения р .
Однако точно найти спектр разностной схемы удается лишь в сравнительйо простых случаях, так что исследовать этим методом устойчивость схем для сложных задач математической физики удается не часто, ") См., например, 1331, стр. ЗВЗ.
322 уРАВнения В чАстных пРОизВОдных !Гл. 1Х 5. Метод энергетических неравенств. Метод основан на использовании энергетических норм, порождаемых самими разностными операторами. При его помощи доказана устойчивость и даны априорные оценки точности многих разностных схем с переменными коэффициентами, некоторых квазилииейных схем и т. д. Рассмотрим идею метода") на примере стационарной (не содержащей времени) разностной схемы Ад=гр, где разностный оператор А — линейный, самосопряженный и положительный. В этом случае сугцествует обратный оператор А-', который тоже является линейным, самосопряженным и положительным. При помощи положительного оператора можно ввести норму ))д|)л=(Ад, д))0 при д~О, (64) где (, ) — скалярное произведение на сетке; аналогично строится норма )) ))л-с, называемая негативной.
Проделаем цепочку преобразований: )) д ) ~лз = (Ад, д) = (гр А 'гр) = (А '1р, гр) = )) гр ))лз ем Отсюда вьпекает соотношение й д)),ч =)) гр)(л с, которое означает устойчивость по правой части. Пусть, например, оператор А = А„ является второй разностью, т. е, аналогом — дз,сйхз, а и(х) и ее производные достаточно быстро убывают при ~х)- со. Тогда непрерывный аналог нормы (64) есть (сеточное выражение не так наглядно, и мы его не при- водим) +о» +СО ц гг пл — ) ( — — ) и (х) гсх= ~ ( — ) г(х; как отмечалось в п, 2, эта норма сильней, чем )) ))с. Оператор А-' в этом случае является двойной суммой — аналогом двойного интеграла, и порожденная им норма равна +СО к +о» к 3 »Ои-.= ( ОНО ) с1 ) О1»1»с=) к. ( Оа»1).
СО СΠ— СО СΠ— СО Это слабая норма. Из приведенных рассуждений видно, что метод энергетических неравенств для ряда задач позволяет доказывать устойчивость при использовании сильных норм для решения д и слабых норм для правой части гр **). ") Подробное изложение метода см. в [30, 33]. *") В подобных случаях нередко удается доказать сходимость схем с более высоким порядкам точности, чем при использовании других методов. УСТОЙЧИВОСТЬ з 31 Т ео р ем а. Если операторы А и В са.мосапряженные, не зависят от номера слоя т, и выполняется условие в —,'-л)о, (66) то схема (65) усгпойчива по начальньгм данным в энергетической норме П ПА'. П У ПА' ПУПА' (67) Д о к а з а т е л ь с т в о. Для исследования устойчивости по начальным данным достаточно рассмотреть однородное уравнение (65).
Полагая ср=О и умножая (65) слева на А'г'В ', получим А'г'":в+ А'гаВ'Ау = О. ") Более подробно о свойствах операторов см„ например, в (20). Для конкретной реализации этого метода надо проверить, обладает ли оператор А требуемыми сволствами, определить скалярное произведение на сетке, построить сеточный оператор А-' и проверить аппроксимацию в П ПА- .
Все эти действия связаны обычно с громоздкими вычислениями. 6. Операторные неравенства. Общая теория устойчивости разностных схем, основанная на установлении неравенств между разностными операторами, образующими схему, построена А. А. Самарским (см. [30, 33)). Она позволяет для многих классов линейных схем получить необходимые и достаточные условия устойчивости и априорные оценки точности. Рассмотрим одно из таких условий устойчивости.
Напомним некоторые свойства операторов, отображающих гильбертово пространство Н в себя "). Оператор А называется неотриг(ательньгм (А ~0), если (Ах, х) ~0 для любого ненулевого х — Н, называется положительным (А)0) при (Ах, х))0 и положительно определенным при (Ах, х) = в(х, х), в) О. Неравенство А твВ понимается в. том смысле, что А — В= О. Оператор А называют самосопряженным, если (Ах, у) =(х, Ау) для любых х, уенН.
Квадратным корнем из самосопряженного неотрицательного оператора А называют такой оператор В, что В В=А; его обозначают А'Г', он существует и является само- сопряженным и неотрицательным. Исследуем устойчивость двуслойной линейной разностной схемы, записанной в канонической форме: в — ","+Ау= р. (65) !ГЛ.
1Х уРАВнения В ЧАстных ПРОизВОдных Полагая т! = А1~'у и замечая, что Ар = А111Ч, преобразуем это уравнение в явную разностную схему: 1!=5Ч, 5=Š— тАН'В 'Ац' где Š— единичный оператор; оператор 5 является самосопряженным. Перепишем неравенство (66) в следующем виде: 0<В '.( — А'. Умножая его слева и справа па положительный оператор Апз, получим О< ЕАНЗВ-'Ап'= 2Е. Вычитая это неравенство из Е, получим — Е «= Š— 1А 1~ВВ-1А 1~В = 5 < Е. Это означает, что !!Ч!!' =(Ч Ч)=(5Ч 5Ч) ~(Ч Ч) =!! Ч !!4 (68) Норма !!.!!1, просто связана с энергетической нормой: !! Ч !!1, — (Ч, Ч) — (Л 11'У А н-'д) — (ЛУ У) — !! У !!А (69) Из (68) и (69) следует (67), что и требовалось доказать.
3 а меч а н н е. При доказательстве не требовалось постоянства коэффициентов схемы (65). Тем самым, признак устойчивости (66) справедлив для разностных схем с переменными коэффициентами. В этом параграфе излагалась техника исследования устойчивости уже составленной схемы. А как надо составлять схему, чтобы она была устойчивой? Некоторые математические способы построения устойчивых схем были предложены Л.
А. Самарским в (30). Высказывались идеи о рассмотрении разностных схем как некорректных задач с дискретными переменными и регуляризации их по А. Н. Тихонову. Для ряда конкретных задач на основании физических аналогий (скорости распространения возмущений) можно предсказать, будет ли схема устойчива и как ее надо составить, чтобы она была устойчива. В следующих главах будет приведено много таких примеров.
$4. Сходимость П Основная теорема. В этом параграфе мы рассмотрим задачу, для дифференциального уравнения с граничными условиями Аи(х)=)(к), хепО, йи(х)=)А(х), хепГ, (?О) $41 сходимость которая на сетке, состоящей из множества регулярных узлов в»» и множества нерегулярных узлов у„, аппроксимирована разност- ной схемой А,у(х) = <р(х), хан»»», )7»у(х) =)((х), хан у».
(71) разностное решение имеет порядок точности р, если 1~у(х) — и (х) в„„=О(й») при й-~О. (73) Анализируя сходимость схемы ломаных (8.15) для обыкновенного дифференциального уравнения, мы видели, что погрешность решения вызвана погрешностью начальных данных и погрешностью аппроксимации, усиливающимися (или ослабляющимися) в ходе расчета. Интуитивно ясно, что для хорошей точности расчета достаточно, чтобы эти погрешности были малы и в ходе расчета не сильно возрастали. Строго говоря, в любых расчетах присутствуют ошибки округления; поэтому при й»-0 надо одновременно увеличивать количество десятичных знаков, удерживаемое в расчете.
Но в современных ЭВМ относительная ошибка округления на одну операцию не превышает 10-", т. е. пренебрежимо мала по сравнению с ошибками аппроксимации при тех шагах й, которые фактически используются. Поэтому в большинстве случаев ошибками округления можно пренебречь. Определение. Разностная схема (71) корректна, если ее решение существует и единственно при любых входных данных ~р и 7, принадлежащих заданным классам функций, и схема устойчива. Строго говоря, для нелинейных схем разностное решение может быть не единственным нли существовать не при всяких входных данных.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
