1626435584-7c6402f545ecf856225d6cf8d21519c9 (844233), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Методом разделения переменных можно доказать необходимость условия (14). Рассматривая отдельную гармонику ехр (гдх) и подставляя в (9) величины м ~Р„=О, д„=ее", д„.,=ес! — 1, У„=Рту„ легко получим множитель роста этой гармоники: р, — 1 — с — „' (1 — е-!РА) (15) Из описанного алгоритма видно, что для каждой из схем (9) — (12) разпостное решение при любых ~„существует и един- ственно. Поэтому для доказательства сходимости остается иссле- довать аппроксимацию и устойчивость схем. Заметим, что краевое условие и (О, !) = 9,(1) для всех схем аппроксимируется точно; поэтому устойчивости по нему не требуется.
Схема (9). Исследуем ее погрешность аппроксимации. Пусть начальные и граничные данные дважды непрерывно дифференци- руемы и удовлетворяют условиям согласования типа (б) с р=2, а правая часть 1(х, () имеет непрерывные первые производные. Тогда решение и (х, 1) дважды непрерывно дифференцируемо; разложим его по формуле Тейлора в узле (х„, 1„): 1 и» = пи+ тиг+ з т ии 1 и„,=и„— Ьи,„+ — Й и,, 1 1 Грс=1с+-~-~) — -З-Ч .
ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ $ е) Если гт > Ь, то для тех гармоник, у которых соэ с)Ь = — 1, множитель роста равен т. е. амплитуды этих гармоник неограниченно нарастают при т- О. Устойчивости нет, что и требовалось доказать. Непосредственно видно, что дополнительное условие устойчи. вости по правой части (9.54) выполняется, причем к=!. Поэтому схема устойчива по правой части в З ~1, при выполнении условия (14). Тогда из теорем о сходимости следует, что если решение и (х, 1) непрерывно вместе со своими вторыми производными, то схема (9) при выполнении условия Куранта (14) сходится в з ~~, со скоростью 0(т+Ь), т. е. с первым порядком точности.
С х е м а (10) исследуется аналогично; при исследовании аппроксимации разлозкеиие по формуле Тейлора удобнее вести. около узла (х„„( + т). На дважды непрерывно дифференцируемых решениях эта схема при выполнении условия устойчивости ст =-Ь (16) обеспечивает сходимость со скоростью 0(т+Ь). Схема (11) безусловно устойчива и на дважды непрерывно дифферепцируемых решениях сходится со скоростью 0(т+Ь). Схема (12) симметричная, и при исследовании ее аппроксимации целесообразно разлагать и (х, () по формуле Тейлора около Ь центра ячейки (хе — —, 1,„+ — ). Тогда после довольно громоздких выкладок определяем невязку: ф = — т', 24 им+ -а ии„.) — Ь' ~, а иы„+ э4 и„е,) = 0 (тт+ Ь'), (17) Схема имеет второй порядок аппроксимации, если решение и (х, () триждв~ непрерывно дифференцируемо.
Устойчивость схемы (12) при помощи принципа максимума установить не удается. Однако можно провести исследование методом разделения переменных. Для гармоники ехр (Цх) нетрудно получить выражение для множителя роста. Полагая в (12) ср„=О, у„=ехр((дх„), у=рту, наидем , (А.+ст)+(А — ст) егяи р,=е ге (Ь+ст)+(Ь вЂ” ст) е Ми Отсюда видно, что 'о ~=1 для любой гармоники при любых соотношениях шагов. Следовательно, схема равномерно устойчива по начальным данным в 1~ !(п, причем устойчивость безусловная. З4О УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА [гл. х Дополнительный критерий устойчивости по правой части (9.54) после умножения на т принимает для схемы (12) следующий вид: 1+-„— — )! — — ~)н, н=сопз!)О.
Убедимся, что для я=2 это неравенство выполняется при любых т и й. В самом деле, если ст -й, то левая часть неравенства равна 2. Если же ст-»й, то левая часть неравенства равна (2стФ)) 2. Поскольку критерий выполнен, то схема безусловно устойчива по правой части. Из сказанного выше следует, что на трижды непрерывно дифференцируемых решениях и (х, [) схема (12) безусловно сходится в норме [! [[0 со скоростью О (т'+ й'). Судя по результатам численных расчетов, схема обеспечивает второй порядок точности и в [! [[,. Замечание 2. Схемы бегущего счета сходятся на решениях меньшей гладкости и даже на разрывных решениях (разумеется, не равномерно, а в среднем). Например, теоретический анализ и примеры численных расчетов 165, 66) показали, что схема (1!) сходится на кусочно-непрерывных решениях в [! [[, с погрешГр постыл 0((т+й)нгл). Любопытно, что порядок точности оказался не целым! 3 а м е ч а н и е 3.
Схемы бегущего счета очевидным образом обобщаются на случай неравномерной сетки. Например, схему (9) можно записать следующим образом: — (у„— у„)+' — "܄— у„,)=гр„, й,=х„— к„,. (19) и Критерии устойчивости (14) и (16) принимают при этом соответственно вид: т~ ппп(й„/с„) и т - [пах(й„/с„). (20) л л Интересно сравнить схемы (9) — (12) между собой. Схема (12) имеет второй порядок точности и на достаточно гладких решениях при не слишком больших шагах т и й дает лучшие результаты на примерах-тестах. Но на разрывных решениях или для быстропеременных решений на грубой сетке она оказывается плохой; в этих случаях удовлетворительные результаты дают схемы (9) — (11).
Схемы (9) — (11) имеют первый порядок точности. Первые две из них условно устойчивы, что неудобно при Численных расчетах. Схема (11) безусловно устойчива и очень надежна в расчете; однако по точности она уступает схемам (9) и (10), в чем нетрудно убедиться, сравнив невязки этих схем. ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ 341 Дальше мы увидим, что схемы (9) и (10) можно объединить в единую явно-неявную схему, безусловно устойчивую и превосходящую схему (11) по точности.
3. Геометрическая интерпретация устойчивости. Ограничимся устойчивостью по начальным данным. Рассмотрим однородное уравнение (3) с ((х, 1) =О, общее решение которого имеет вид и (х, 1) = ~р(х — с1), т. е. переносится по характеристикам х — сг = сопз1 без изменения. Рассмотрим схему (9)-- с шаблоном, изображенЖг-~ ным на рис. 60 (см. так- 4 же рис. 56).
Построим характеристику, проходящую через искомый узел (х„, 1„„,); она обозначена стрелкой на рис. 60. Эта характеристика пересекает исходный слой 1„в точке х = х„— сг. Схему (9) без правой части можно интерпретировать следующим образом. Линейно интерполируя разностное решение между узлами исходного слоя, найдем Рис, 60 — — + (1 ст ~ (31) Затем найденное значение перенесем без изменения по характеристике в искомый узел, т. е.
положим д„=д(х). Если выполнено условие устойчивости схемы стаей, то х„, ( =х~х„; в противном случае х(х„,. Иными словами, схема (9) устойчива, если д„вычисляется по ранее найденным значениям д прн помощи интерполяции (рис. 60, а); схема неустойчива, если используется экстраполяция (рис. 60, б). Причина этого состоит в том, что при точной постановке задачи в узел (х„, с „) приходят возмущения только из точки х исходного слоя 1 . Если Р„, 01 точка х лежит вне отрезка (х„ „ х„1„ то, сохраняя непрерывность и гладкость решения, можно сильно изменить его на этом отрезке (на слое 1„), не меняя значения и(х, 1 ).
Значение й„ =- и (х, ( ) при этом сохраняется, а значение д„ сильно изменяется, поскольку опо вычисляется по изменившимся значениям д„, д„,. Значит, д„ не может сходиться к й„. Схемы (1О) и (11) тоже можно интерпретировать как линейную интерполяцию по двум уже вычисленным значениям, с последующим переносом по характеристике.
В частности, безусловная устойчивость схемы (11) связана с тем, что приходящая в искомый узел характеристика (стрелка на рис. 61) при любых т и й пересекает отрезок, соединяющий исходные узлы (пунктир на рисунке). 1гл. х УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА В противном случае воспользуемся схемой (10): — (у„, — у„,) + —" (у„— у„,) = <р„при с„г > Ь„., (22б) Очевидно, явно-неявная схема (22) безусловно устойчива, причем ее невязка меньше, чем у безусловно устойчивой схемы (11). Схему (22) обычно применяют в тех случаях, когда точное решение является недостаточно гладким или быстропеременным. Сх ем а без ш а бл о на.
Проведем через искомый узел (х„, г .,) характеристику и определим точку ее пересечения с исходным слоем х=х„— ст. Найдем на исходном слое такую пару узлов х, х ..„между которыми заключена точка х. Определим у (х) линейной интерполяцией по значениям др, урм.' хр., — х х-хр Д (Х) = Др+ Др„м Хр ~ Х (Хрсп (23) ХРЫ ХР ХР 1 — ХР Перенесем вычисленное значение по характеристике в искомый узел, т. е. положим у„=у(х). Очевидно, схема (23) абсолютно устойчива; но по точности и удобству вычислений она уступает схеме (22) и поэтому редко применяется. В схеме (23) положение узлов р, р+1 относительно узла и не фиксировано.
Если скорость с(х, 1) переменив или сетка х„ неравномерна, то и — р будет непостоянной величиной. Таким образом, эта схема не имеет шаблона. Схема (12) интерпретируется тоже как интерполяция, но не двухточечная линейная, а трехточечная квадратичная (что, естественно, приводит к более высокому порядку точности). Какую бы сторону ячейки на рис. 59 ни пересекала приходяшая в узел (х„, 1 .„) характеристика — горизонтальную или вертикальную, эта сторона связывает узлы с ранее вычисленными значениями у; поэтому экстраполяции здесь нет, что приводит к безусловной устойчивости схемы (12). Таким образом, прослеживая положение характеристик, нетрудно так выбрать шаблон и составить на нем разностную схему, чтобы схема была устойчива. Приведем несколько примеров.
Явно-неявная схема. Будем считать, что шаги по времени т =1 .,— 1„и по пространству Л„=х„„— х„не постоянны, а коэффициент с(х, 1) уравнения (3) переменный. Приступая к вычислению у„, проверим критерий Куранта (!4) в данной ячейке. Если он выполнен, то проведем вычисления по схеме (9): — (у„— у,)+ — '" (у„— у„,) = Рр„при с„т -= Ь„,. (22а) л-1 линеиное уРАВнение Случай с(0, В этом случае наклон характеристик на плоскости (х, 1) отрицателен; характеристики зеркально отражены относительно вертикали по сравнению со случаем с- О. Соответственно меняется постановка задачи: для отрезка 0 == х — а граничное условие теперь должно задаваться справа, при х =а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
