1626435584-7c6402f545ecf856225d6cf8d21519c9 (844233), страница 75
Текст из файла (страница 75)
5. При дохазательстве теоремы в й 3, п. 2 использовано определение равномерной устойчивости (48) для пикейных схем; обобщить зто определение и доказательство теоремы на случай нелинейных схем. 6. Доказать утверждения, сделанные в замечании к теореме из 9 3, п. 2. 7. Доказать замечание ! об устойчивости по правой части в $3, п.
4. 8. Доказать утверждение, сделанное в замечании 4 к теореме 1 из 4 4, п. 2, и дать для йелннейных схем априорную оценку точности типа (79). 9. Обобщить теорему 2 нз 9 4, п. 2 на случай разного порядка аппроксимации по различным переменным. ГЛАВА Х УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА В главе Х рассмотрены основные разностные схемы для простейше о уравнения в частных производных — уравнения переноса. В б 1 построены схемы бегущего счета для линейного уравнения переноса, как одномерного, так и многомерного.
На их примере дана геометрическая интерпретания устойчивости разностных схем и введены понятия монотонности, аппроксиманионной вязкости и первого дифференпиальвого приближения разностных схем, полезные при канве~ванном анализе разностных решений. В б 2 рассмотрено простейшее квазилинейное уравнение переноса и исследованы качественные особенности его решений, Введено понятие консервативности разностных схем и взложен метод псевдовязкости; на нх основе построены схемы для решения данной задачи.
$ 1. Линейное уравнение 1. Задачи и решения. Существует много задач о распространении частиц в веществе: определение нейтронных потоков в реакторе, теплопроводности в газах, обусловленной диффузией атомов и электронов, и т. д. Такие задачи приводят к уравнению переноса, которое может быть интегро-дифференциальным. Например, основное уравнение кинетической теории газов — уравнение Больцмана имеет следующий вид: дт +нг д + г'д ~, ) (и'и! игиг) г(огггнп (1) дог ! иг=иг(г, ом г'), и,'=иг(г'„и,', 1). Здесь и,— функция распределения гьго сорта частиц; оиа зависят от времени, координаты и скорости частицы.
Интегральный член в (1) описывает столкновения частиц. Решение нелинейных интегро-дифференциальных уравнений типа (1) очень сложно и выходит за пределы нашего курса. й(ы ограничимся изучением только линейного дифференциального уравнения переноса: —."+с(х, 1)йгас(и=)(х, 1), х=(х„х„..., х,), (2) линейное уРАВяение где с — вектор скорости переноса.
Как будет видно в дальнейшем, для этого уравнения многомерность не вносит принципиальных осложнений. Все основные идеи можно пояснить на одномерном уравнении ди ди дг +сд — „=~(х, (), (3) где скорость с будем считать постоянной, если специально не оговорено противное. Если в уравнении (3) правая часть г" = О, то общее решение этого уравнения имеет вид бегущей волны: и (х, () =ч (х — с1) (4) (отсюда видно, что с есть скорость переноса).
Для определенности положим с) О, тогда волна бежит слева направо. Вид решения (4) подсказывает, как можно корректно поставить полную задачу для уравнения (3). Смешанная задача Коши. Зададим начальные и граничные данные на отрезках, показанных на рис. 55 жирными линиями: и(х, 0)=р,(х), О~х:=-а, и (О 1) = рэ (1) 0 =-" 1 (.Т. (5) с л Тогда решение задачи (3), (5) однозначно определено в области 6=(О~х~а]х х(О«=.(==Т).
Если начальные и граничные данные непрерывны вместе со своимн р-ми производными, причем выполнены условия согласования в точке стыка кусков границы (для случая ((х, () =0 они имеют следующий вид: (6) и Г(х, () непрерывна вместе с (р — 1)-ми производными, то решение и(х, () непрерывно в 6 вместе с р-ми производными.
3 а д а ч а К о ш и. Зададим начальные данные на полубесконечной прямой: и(х, О) =-р(х) при — со(х= а. Тогда решение однозначно определено в области 6 = ( — оо ( х ~ й) х (О ==- г ( С+оо), Гладкость решения соответствует гладкости начальных данных р(х) и правой части Г (х, (). Характеристики уравнения (3) имеют внд х — с(=-сопя( и при постоянной скорости с являются прямыми линиями. Решение (4) однородного уравнения (3) постоянно вдоль такой линии; поэтому говорят, что начальные и граничные условия переносятся по характеристикам. УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА [ГЛ.
Х Решение неоднородного уравнения (3) меняется вдоль характеристик. Это изменение легко найти, если перейти к новым координатам, связанным с характеристиками: $=х — с(, т)=х+сй (7) При их помощи уравнение (3) преобразуется к виду 2со — — 'Р(в, Ч) 'Р(в Ч) =7('+й ' о )' (8) Следовательно, вдоль характеристики Я=соне( решение и можно найти, интегрируя по и обыкновенное дифференциальное уравнение (8), в котором $ играет роль параметра. Так можно определить решение в любой точке области 6, поскольку при с=сонэ( характеристики покрывают всю область.
Этот способ построения точного решения легко обобщается на уравнение с переменным коэффициентом с(х, 1). Он показывает, что для корректной постановки задачи необходимо, чтобы через любую точку области 6 проходила одна и только одна характеристика. Это выполняется, если функция с(х, () непрерывна во всей области 6+ Г, Сохранение монотонности является важным свойством однородного уравнения переноса, Если для него поставлена задача Коши с монотонными начальными данными и(х, 0)=р(х), — сю(х( а, то в любой момент т профиль и (х, () тоже будет монотонным ").
Монотонность сохраняется и в смешанной задаче Коши, если граничное значение и (О, 0 тоже монотонно зависит от г и согласовано с начальными данными. В уравнении переноса монотонность является тривиальным следствием из вида общего решения (4). Однако во многих уравнениях начальная монотонность решения сохраняется, хотя общее решение не имеет вида одной бегущей волны. При определенных условиях это имеет место даже в задачах теплопроводности и газодинамики. Поэтому монотонность — достаточно общее и важное свойство многих уравнений.
2. Схемы бегущего счета. Эти схемы предназначены для решения смен~анной задачи Коши (3), (5). Они легко обобщаются на случай любого числа измерений. Схемы бегущего счета являются наиболее простыми и позволяют численно решать даже очень сложные задачи переноса с хорошей точностью при умеренном объеме вычислений. Рассмотрим задачу (3), (5) и построим в области 6=(0(х( ~а)х[0 (.= Т) прямоугольную сетку, для простоты равномерную с шагами тз и т. Выберем четыре шаблона, изображен- *) Профилея (по х„) называют завнсвыость фупкппп с (хь ..., х, 0 от одной нз пространственных переменных х„. линейнов углвнение ные на рис.
56 — 59. Составим на трехточечных шаблонах (рис. 56 — 58) простейшие схемы с использованием односторонних производных: — (Ул — Ул)+у (Уп Ул-1) =<Рп (9) Ч'п — 1 (Хл Ги+ я ) 2 ' 1 с * (Ул-г У -г)+ 1 (Уп Уп-и) =срл, —;(У.— Ул)+ '„(У.— У.- ) =Р., (11) (10) а на четырехточечпом шаблоне (рис. 59) — схему с симметризованными производными: 1 с (ул+ ул -г ул ул-1) +91 (ул+уп уп г ул — и) ~сп' (1~) пг П-7 П Рис. 58.
Рис. 59 Рис. 55 Рис. 57 Организация расчета по этим схемам очень проста. Хотя формально схема (9) является явной, а остальные грив неявными, фактически ири расчете смешанной задачи Коши они ведут себя, как явные. В самом деле, во всех четырех схемах значение ул явно выражается через значения ул „ул, ул г (или любые два из них). Значение решения на нулевом слое уп = и, (хл) известно из начального условия. На следующем (первом) слое значение уп=р,(1,) в силу граничного условия, и можно вычислить у,; зная уин можно вычислить у.„затем уп Так последовательно вычисляются слева направо все у„первого слоя. Затем, зная решение на первом слое, точно так же вычисляем его на втором слое, на третьем и т.
д. За меч ан не 1. Явная схема (9) пригодна для решения задачи Коши па полубесконечной (или бесконечной) прямой; неявные схемы бегущего счета к такой задаче неприменимы. Правда, в практике численных расчетов задача Коши для уравнения переноса в неограниченной области почти не встречается, Правую часть мы для определенности выбираем в центре ячейки, соответствующей шаблону, хотя возможен и другой выбор.
гпы ззв 1гл. х УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА Отсюда легко определим невязку схемы (9): lди ди ! Г! с Ф. = ~ — + с — — ~~ — ! — (й. — и.) + — (и. — и.,) — !Р.1 = — А = — Я,— ии)+ -'-(с脄— 1,) =0(т+Ь). (13) При сделанных предположениях схема (9) имеет аппроксимацию в 1! !!, с первым порядком. Устойчивость исследуем прп помощи принципа максимума. Критерий равномерной устойчивости по начальным данным (9,53) с константой С=О принимает вид -'-=-'+~-'---' ~ Он выполняется только при так называемом условии Куранта: ст~ й. (14) Таким образом, схема (9) является условно устойчивой в 1!.11,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
