1626435584-7c6402f545ecf856225d6cf8d21519c9 (844233), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Независимыми переменными в физических задачах обычно являются время 1 и координаты г; бывают и другие переменные, например, скорости частиц е в задачах переноса. Решение требуется найти в некоторой области изменения независимых пере- 291 введзнив менных 6 (1, г, е, ...). Полная математическая постановка задачи содержит дифференциальное уравнение, а также дополнительные условия, позволяющие выделить единственное решение среди семейства решений дифференциального уравнения. Дополнительные условия обычно задаются на границе области 6.
Если одной из переменных является (, то чаще всего рассматривают области вида 6(1, г, ...)=д(г, ...)х[1„Т1, (2) т. е. решение ищут в некоторой пространственной области д (г, ...) на отрезке времени гь~1~Т. В этом случае дополнительные условия, заданные при 1= г„называют начальными, а дополнительные условия, заданные на границе Г(г) области а(г), — граничными или краевыми. Задачу, у которой имеются только начальные условия, называют задачей Коши. Например, для уравнения теплопроводности (1) в неограниченном пространстве можно поставить задачу с начальными условиями и (г, 1,) = )ь (г). (3) Если (ь (г) — кусочно-непрерывная ограниченная функция, то решение задачи (1), (3) единственно в классе ограниченных функций (при некоторых ограничениях на коэффициенты уравнения; см.
[401). Задачу с начальными и граничными условиями называют смешанной краевой задачей или неетаь(ионарной краевой задачей. Для уравнения (1) дополнительные условия такой задачи могут иметь, например, вид и(г, (ь)=)ь(г), г~д(г), и(г, 1)г=р,(г, 1), гь~.1=Т. (4) Для этого уравнения допустимы и другие граничные условия, например, содержащие нормальную производную решения. Встречаются задачи, в которых область 6(1, г) имеет другой вид.
Примером является задача с условиями на характеристиках (см. [401), возникающая при изучении процессов сушки, сорбции газов и многих других, При исследовании установившихся состояний или стационарных (не зависящих от времени) процессов в сплошной среде формулируются математические задачи, не зависящие от времени. Их решение ищется в области д (г), а дополнительные условия являются граничными.
Такие задачи называют краевыми. Мы ограничимся рассмотрением корректно поставленных задач, когда для некоторого класса начальных и граничных данных решение (в заданном классе функций) существует, единственно и непрерывно зависит от этих данных. Будем также предполагать, что решение непрерывно зависит от всех коэффициентов уравнения, 292 уРАВнения В чАстных пРОизВОдных !Гл. !х Для уравнений в частных производных существуют физически интересные задачи, являющиеся некорректно поставленными: обратные задачи теплопроводности, задачи на развитие неустойчивостей и другие. Так, рассмотренный в главе 1 пример Адамара связан с возникновением репей-тейлоровской неустойчивости, когда слой тяжелой жидкости налит поверх слоя легкой жидкости.
Но здесь мы такие задачи не будем рассматривать (см. (39! и приведенную там библиографию). В этой главе излагаются методы численного решения уравнений в частных производных и способы обоснования этих методов. Они применимы к широким классам уравнений и различным типам задач для них. Но примеры, иллюстрирующие изложение и конкретные применения этих методов, рассмотренные в главах Х вЂ” Х!! ), касаются наиболее распространенных и хорошо изученных задач для уравнений первого и второго порядков, линейных относительно производных.
Напомним классификацию таких уравнений. Они имеют следующий вид (для простоты мы ограничиваемся случаем двух переменных): (5) Аи„, + 2 Ви„я+ Сия + Ри + Еи, + Г = О. Коэффициенты уравнения (5), вообще говоря, зависят от и, х, у. Если коэффициенты не зависят от переменных, то это линейное уравнение с постоянными коэффициентами. Если Е линейно зависит от и, а остальные коэффициенты от и не зависят, то это линейное уравнение с переменными коэффициентами.
Если коэффициенты зависят от и, то уравнение (5) называется квазилинейным. Если А = В = — С = О, но Р~ 0 и Е=~:О, то уравнение (5) имеет первый порядок и называется уравнением переноса. Уравнения второго порядка классифицируются по знаку дискриминанта В' — ЛС: у гиперболических уравнений дискримииант положителен, у параболических — равен нулю, у эллиптических— отрицателен. Те физические процессы, которые описываются разными перечисленными здесь типами уравнений, существенно отличаются друг от друга. Соответственно полные постановки задач для этих типов уравнений имеют свои особенности, подробно рассмотренные в [401; мы будем кратко напоминать их в соответствующих главах. Заметим, что уравнение с переменными коэффициентами может иметь разный тнп в разных точках области б (х, у).
В практике вычислений встречается немало подобных задач, причем нередко— еще неисследованных теоретически. При этом сформулировать полную постановку задачи и обосновать се корректность зачастую бывает нелегко. 2. Точные методы решения. В курсах уравнений математической физики изложен ряд методов, позволяющих для некоторых классов задач найти точное решение (см. (40!). К таким методам $ 41 ВВЕДЕНИЕ относятся метод распространяющихся волн, метод разделения переменных, метод функций источника и другие.
Например, для простейшей задачи теплопроводности и!=да „, О==х~а, 0~(, й=сопз()0, и(0, ()=и(а, ()=О, и(х, 0)=14(х), (б) где функция р(х) кусочно-непрерывна, методом разделения пере- менных решение представляется в виде ряда и(х, () = ~1 а„е 44'"мима!п —, а (?а) Таким образом, получено явное выражение решения через начальные данные.
Подставляя (7б) в (?а) и меняя порядок интегрирования и суммирования, выразим решение через начальные данные и функцию источника и(х, !) =~ 6(х, $, ())4(Ц44е, о (8а) где функция источника равна Г4(Х, О, !) =-2- У Е- о!!Два!П вЂ” 4!ОХ З!и — ""~ . и хм а а (8б) Для задачи Коши на бесконечной прямой выражение для функции источника имеет следующий вид (см. 140)): — -4*-1!Ч44! 1 (8в) 2 г' а!4! Точные методы позволяют получить явное выражение решения через начальные данные, что облегчает дальнейшие действия с решением. Например, выражения (7) — (8) позволяют многое сказать о качественном поведении решения. В самом деле, в формуле (7а) пространственные гармоники з4п (пах/а) множатся на величины ехр ( — лоп''е(?а'), затухающие при возрастании времени; это затухание тем быстрей, чем больше номер гармоники. Но чем меньше амплитуды высоких гармоник, где величины а„являются коэффициентами Фурье начальных данных а„= — ~ р(х) юп — дх.
2 Г . Еех (7б) о 294 (гл. |х ивхвнеиия в частных пгоизводных тем более плавно меняется функция. Следовательно, с течением времени решение задачи (6) должно сглаживаться. Наоборот, при движении в обратную сторону по времени амплитуды высоких гармоник возрастают тем быстрей, чем больше а; прн п-э.
со скорость роста гармоник неограниченно увеличивается. Отсюда легко понять, что обратная задача теплопроводности неустойчива. Заметим, что функция источника на бесконечной прямой положительна: б, (х, $, () ) 0 при г О. Следовательно, если в решение (8а) с бесконечными пределами интегрирования подставить начальные данные вида р (х) ) О на (а, Ь|, р (х) = О вне (а, Ь), то при г')О решение будет отлично от нуля в любой точке бесконечной прямой.
Это означает, что в случае линейной теплопроводности скорость распространения тепла бесконечна. Таким образом, точные методы очень полезны. Однако они применимы в основном к линейным задачам в областях простой формы (прямоугольник, круг и т. п.), когда дифференциальное уравнение и краевые условия линейны относительно и(г, () н ее производных. При этом выкладки удается довести до конца обычно лишь для уравнений с постоянными или кусочно-постоянными коэффициентами. 3. Автомодельность и подобие. Лля уравнений в частных производных существуют такие частные решения, когда и(х, Г) является функцией одной переменной $, роль которой играет некоторая комбинация независимых переменных х, г'. Такие решения называются автомодельными. Построим пример автомодсльпого решения. Рассмотрим одномерное уравнение теплопроводности, в котором коэффициент теплопроводности зависит от температуры по степенному закону ди(х, 4) д (~ ди(х 01 й(и) =й и", йе)0, т)0.
(9) и(х, () =Г(9), $=х — с(. При подстановке такого решения уравнение (9) преобразуется в обыкновенное дифференциальное уравнение д / дг'', с — — + — ~Йе('" — ) = О. (! 0) Такая зависимость часто встречается в физических задачах; например, коэффициент электронной теплопроводности плазмы приблизительно пропорционален ими. Будем искать частное решение уравнения (9), имеющее вид бегущей волны ВВЕДЕНИЕ зп Однократное интегрирование этого уравнения дает соотношение 1 $) + — ' 1'" ($) — —.
= сопз1. (11) с се Если функция 1($) обращается в нуль хотя бы в одной точке $р, то константа в правой части (11) равна нулю и соотношение (11) нетрудно проинтегрировать еще раз: Доопределим решение при к)5„полагая ) ф =О, что удовлетворяет уравнению (9). Таким образом, получим искомое решение и (х, 0 = ~ — (х, — х+ сг)1 и(х, г) =О, х(х,+с(, (12) х)х,+с(. и(х, 0) =О, х= х„ и(хм () =~~ — ", 1)", (=О. (13) ~ иа Автомодельное решение (12) представляет собой температурную волну, бегущую с постоянной скоростью по нулевоРис. 45. му фону температуры (рис. 45). Скорость движения волны с определяется скоростью роста температуры на границе (13). Точка х=хи+сс является фронтом волны.
Профиль температуры всюду непрерывен, но на фронте он имеет вертикальную касательную (ди/дх)„-=оа, и производная в этой точке терпит разрыв. Автомодельные решения довольно часто удается найти для линейных и квазплинейных уравнений или систем уравнений, коэффициенты которых зависят от переменных х, г и решения и по степенным законам. Для построения решения надо «угадатьи подходящую комбинацию независимых переменных и описанным выше приемом свести уравнение в частных производрых к обыкновенному дифференциальному уравнению. Выразить решение этого уравнения через элементарные функции, подобно (12), удается далеко не всегда, но найти это решение численным интегрированием несравненно проще, чем численно решить исходное уравнение в частных производных. Чтобы это решение могло существовать, начальные и граничные условия должны быть с ним согласованы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
