1626435584-7c6402f545ecf856225d6cf8d21519c9 (844233), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Она легко решается методом стрельбы, поскольку задача Коши для уравнения (91) хорошо обусловлена. Важной особенностью этой задачи является то, что правому краевому условию (92) удовлетворяет только одно определенное ).„из всего спектра исходной задачи (88). Поэтому стрельба всегда сходится именно к требующемуся собственному значению.
После нахождения фазы уравнение для амплитуды легко интегрируется в квадратурах к к()=к() «( — 1(к(«) и'«(«)+ а + («1 (Б) + Х вЂ” 1) з 1п Ч) ф] соз «р (т) Щ . Амплитуда определена с точностью до множителя и не меняет знака, как и должно быть по смыслу задачи. За меча н ие 1. Задача (88) может иметь и другие типы краевых условий. Если исходное краевое условие имеет вид и' (б) =-О, то для фазы надо взять условие «р(()) =- п(и — ",,), Несколько сложней асимптотическое условие и(со)=-0, возникающее в задаче на отрезке а=-х< ос; обычно в таких задачах выполняется р(~з)=«1(с«))=0.
Тогда нетрудно построить асимптотику решения и (х) ехр( — ]к — Хх) при х — )-со и получить отсюда асимптотическое краевое условие для фазы соз«р(х)+)~ — Р з(пч)(х)- 0 при х-)-+со. 284 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. ЧП[ Замечание 2. Фаза гр(х) может быть немонотонной функцией. Однако, если прн некотором х значение фазы гр(Х) =и/г, то гр'(х) =1; поэтому каждую линию гр=пй интегральная кривая пересекает лишь однажды, а немонотонность может проявляться только между этими линиями. При таком поведении интегральных кривых стрельба с использованием дихотомии надежно сходится к собственному значению, а при использовании метода Ньютона область сходимости нередко оказывается очень узкой.
За меча н ие 3. Для преодоления последнего недостатка предложена замена функций, несколько более сложная, чем (89), но зато делаюшая ~р (х) монотонной функцией. При этом стрельба с использованием метода Ньютона сходится за небольшое число итераций. 4. Разностный метод обычно используется в тех случаях, когда стрельба оказывается многопараметрической, илн если задача Коши для исходного дифференциального уравнения плохо обусловлена. Формулируется он так же, как для краевых задач.
Введем на 1а, Ь'1 сетку (х„, О ~ и ( [1[) и заменим в исходной задаче все производные некоторыми разностными соотношениями. Тогда вместо дифференциального уравнения и краевых условий получим систему алгебраических уравнений Г'А(хо х„.. хл', уо ц1 ° ° у~о' Л) =-О, О =- й- [[[-+ 1 (93) (для простоты записи мы ограничиваемся случаем одного собственного значения). Эта система содержит [1[+2 уравнения, и из нее надо определить такое же число неизвестных: )., у„д„..., уу. Возникают те же вопросы, что и в краевых задачах. Имеет ли алгебраическая система (93) решение? Если имеет, то как его фактически вычислить? Если разностиое решение найдено, то насколько оно близко к точному решению? Сейчас мы рассмотрим линейные задачи, для которых на эти вопросы ответить легче.
Пусть исходная задача является линейной и однородной относительно и (х), как, например, задача (88). Воспользуемся линейными разностными аппроксимациями производных. Тогда система (93) будет относительно ро линейной однородной, т. е. это будет алгебраическая задача на собственные значения матрицы. Так, для задачи (88) при простейших аппроксимациях на равномерной сетке получим систему 1 — — [[р„) у„, — (2 — [[о4„— Х[[') у„+ ~1+ - [[р„[ у„о, = О, ( -)- [ ! 1 1 = п~й[ — 1, (94) где уо = ум= О в силу краевых условий.
Эта система содержит [1[ — 1 уравнение; из иее надо определить Х, у„ у„ " , йА-и задачи на сонствгнные значения з з] Задача (94) имеет спектр собственных значений, состоящий из Ж вЂ” 1 числа (по порядку матрицы). Первые собственные значения являются приближениями к первым собственным значениям Х из дискретного спектра исходной задачи (88). Если разностная схема составлена так, что матрица алгебраической системы (93) является эрмитовой, то приближенные собственные значения будут вещественными.
Собственные значения и собственные векторы линейной системы (93) вычисляют методами, описанными в главе Ч[. Поскольку во многих приложениях матрица системы трехдиагональиая (реже — пятидиагональная), а нужны только несколько первых собственных. значений, то выгодно применять метод Дервюдье (см. главу У1, ч 4, п. 2). При небольшом числе интервалов сетки удобно также находить корни характеристического много- члена методом парабол, вычисляя сам многочлен по рекуррентиым соотношениям (см. главу Ч[, 9 1, п. 4).
Сходи масть разностного решения к точному при Ь-~-О хорошо исследована только для задач Штурма — Лиувилля *) — ( й (х) †, 1 + [).г (х) — д (х)1 и (х) = О, и (а) = и (Ь) = О. Оказывается, что простейшая схема (94) дает не очень хорошие, а при разрывных коэффициентах — даже неверные результаты. Следует составлять консервативные разностные схемы (они будут подробно рассмотрены в главах Х и Х1). Если коэффициенты уравнения непрерывны вместе со своими вторыми производными, то простейшие консервативные схемы обеспечивают равномерную сходимость у„к и(х) с погрешностью 0(6а).
Так называемая наилучшая консервативная схема обеспечивает погрешность 0(6а) даже при коэффициентах, кусочно-непрерывных со своими вторыми производными, если выбраны специальныг разностные,сетки (в которых эти точки разрыва являются узлами). П р и лз е р. Рассмотрим частный случай задачи Штурма — Лиувилля ин (х) + Ли (х) = О, и (О) = и (1) =- О. (95) Точное решение этой задачи есть )с =пенза, и (х) = а[пптх, т=[, 2, ...; оно нужно для сравнения с численными расчетами. Простейшей разностпой схемой для этой задачи является схема (94), в которой надо положить р„=-4„=0. Эта схема имеет второй порядок точности. Выполняя расчеты для сеток с числом интервалов М = 2, 3, 4, приближенно определим три первых собственных значения.
") Это исследование и доказательства приведенных ниже утверждений см. в [301, 286 овыкнованныя диээвгвнциальныв ииавивння 1гл. чш Они представлены в таблице 22 вместе с точными значениями Х„. Из таблицы видно, что с малой погрешностью определяются только те собственные значения, номер которых заметно меньше о'.
При сгущении сетки приближенные значения быстро стремятся к точным. Очень эффективным оказывается уточнение по правилу Рунге — Ромберга, также приведенное в таблице; уточнение ) по двум сеткам дает неплохую точность, а уточнение Х, по трем сеткам — отличную. Таблица 22 На этом примере хорошо видно, что сочетание схемы невысокого (обычно второго) порядка точности с правилом Рунге выгодно: оно обеспечивает высокую точность расчета при несложном алгоритме. Схемы высокого порядка точности обычно довольно громоздки, и организация расчета по ним сложнее. 5. Метод дополненного вектора.
Для разностного метода, особенно в случае сложных нелинейных задач, важным и трудным является вопрос о фактическом вычислении разностного решения, ибо алгебраическая система (93) имеет заведомо высокий порядок. Для многих задач удобно находить зто решение методом дополненного вектора. Изложим этот метод. Заметим сначала, что метод стрельбы (и многие конкретные разностные алгоритмы) можно схематически описать следующим образом.
Выбирается некоторое приближение Х">; затем вычисляется соответствующее ему приближение у'" (х). По этой функции находится новое приближение )."> и т. д. При этом собственное значение и собственная функция считаются элемензами разных метрических пространств. Будем рассуждать иначе. Разностную собственную функцию у=(у„р, ..., ун) можно считать вектором в (У+!)-мерном пространстве. Увеличивая размерность пространства на единицу, рассмотрим собственное значение как новую компоненту этого вектора, уна,= — )..
Новый вектор $'=-(уа, у„..., ун, ун.,) назовем дополненным. Относительно компонент дополненного вектора алгебраическая система (93) перепишется в каноническом виде Ра(Уа Уа Ун Ун а)=0 0---;й(У+1 (96) Эта система нелинейна, даже если исходная задача была линейной относительно и (х), как в примере (88). 287 ЗАДАЧИ НА СОЬСТВЕННЪ!Е ЗНАЧЕНИЯ Решать систему (96) будел| методом Ньютона. Линеаризуя (96), получим на каждой итерации систему уравнений Аг-Ьг Р г~ь(к"')банг' = — Е (х'го), ()=(с=й +1, (97) р=о аур линейную относительно приращений неизвестных бргз1 = у|мыл — у|о. Р Р Р Если искомое решение алгебраической системы (96) не особенное, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
