1626435584-7c6402f545ecf856225d6cf8d21519c9 (844233), страница 58
Текст из файла (страница 58)
У'Р У'Р Это соотношение явно разрешается, давая такую специальную схему: улл = ~УР, ь !!2 —" + + . (39а) г Ул )'грл+ !/2 У ( 1 Рл+ !/2) 1' Рл+ !!2+ У 2Е (" )! Р + !М) Если можно считать 6)г р (<1, то схема (39а) упрощается: Ул ЛРлл-!М Улм (39б) Схемы (39а) и (39б) дают неплохие результаты даже в тех случаях, когда условие устойчивости прогонки нарушено, а точное решение задачи (38) имеет полюсы. Прн использовании третьего способа обычно удается построить схемы первого или второго порядка точности, но с малым остаточным членом (точнее, мала по величине комбинация производных, входящая множителем в остаточный член); схемы более высокого порядка точности построить этим путем трудно.
Первый и второй способы позволяют использовать схемы Рунге— Кутта высокого порядка точности, но остаточный член при этом будет не очень мал, ибо решения и (х) и о (х) на большом отрезке изменения аргумента могут заметно отличаться, и правые части уравнений (36) или (3?) становятся большими.
Однако первый и второй способы также можно применить к одному интервалу сетки; на этом пути можно построить специальные схемы высокого порядка точности с малым остаточным членом. Заметим, что все эти способы по существу эквивалентны специально подобранным нелинейным интерполяциям искомого решения. Упомянем ч е т в е р т ы й с п о с о б, заключающийся в построении так называемых точных разпостных схем, которым точно удовлетворяет решение исходной задачи.
Коэффициенты таких ЗАДАЧА КОШИ %0 схем обычно являются функционалами от коэффициентов исходного уравнения (и могут зависеть также от искомого решения). Но техника построения точных схем более сложна, и мы их не будем рассматривать, отсылая читателя к монографии [30]. 1О. Особые точки. Решение может иметь в отдельных точках отрезка интегрирования особенности, обусловленные обращением в бесконечность правой части ~(х, и) или какой-нибудь ее производной. Сначала рассмотрим случай, когда начальная точка х=х, является особой.
Есть три основных способа численного интегрирования таких решений. Рассмотрим их на примере задачи и'(х) = +и'(х), и(0) =О, 2Ух (40) где правая часть в начальной точке обращается в бесконечность; очевидно, начинать интегрирование по схеме Рунге — Кутта любого порядка точности при этом невозможно. Первый способ — это цайти такую замену переменных, которая преобразует уравнеяие к виду, не имеющему особенностей.
Для задачи (40) достаточно сделать замену аргумента х=(з; тогда эта задача принимает вид ~1и и — = 1+ 2ги', и (0) = О, который допускает применение стандартных численных методов. Второй способ — построить в небольшой окрестности особой точки приближеиное решение, выраженное через элементарные (или другие легко вычисляющиеся) функции. Например, выбирая нулевое приближение р, (х) = 0 и применяя к задаче (40) метод Пикара; получг(м р, (х) = ) х, Отступим от особой точки на конечное расстояние в некоторую точку х, и вычислим в ней решение с требуемой точностью на основе найденного приближения.
Точка х, уже ие особая; ее можно считать первым узлом разностной сетки и вести из нее интегрирование стандартными численными методами. Следует помнить, что если точка х, лежит близко к х„ то правая часть уравнения или ее производные еще велики в этой точке и стандартные численные методы дают заметную погрешность вблизи точки х,. Поэтому желательно выбирать точку х, подальше от х,. Но тогда, чтобы вычислить и (х,) с нужной точностью, необходимо строить достаточно хорошее приближенное решение: например, брать высокие приблигкения метода Пикара. 288 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1ГЧ УИ1 Третий способ — составить для данной задачи специальную схему, позволяющую вести численное интегрирование непосредственно от особой точки. Например, проинтегрируем уравнение (40) по одному интервалу сетки, и первое слагаемое в подынтегральном выражении проинтегрируем точно, а второе — по формуле прямоугольников с использованием левого конца интервала; тогда получим ле! Гт Г и. =р.+ ~ ~ —.-+р'6)1 $= ~ 2)г$ -у„+(3/х„,,— )Гх,)+(хлы — х,) п1.
(41) Это явная схема, напоминающая схему ломаных (15). Она построена по образцу схем первого порядка точности. Но имеет ли эта схема на самом деле точность 0(гг) — заранее не очевидно, ибо производные н(заной части уравнения (40) не ограничены; этот вопрос требует дополнительного исследования. Если решение имеет особенности во внутренних точках отрезка интегрирования, то при этом обычно нельзя сказать заранее, в каких именно точках: правая часть 1(х, и) зависит от решения, которое нам не известно. В этом случае целесообразно применять третий способ — составлять специальные схемы, не теряющие своей применимости вблизи особых точек. Примером является схема (39), позволяющая вести сквозной расчет даже при наличии у решения особенностей типа полюсов.
11. Сгущение сетки. Как получить требуемую точность расчета? Априорные оценки точности для этого мало полезны. Во-первых, остаточные члены выражаются через производные решения, которое до начала расчета не известно. Во-вторых, априорные оценки обычно являются мажорантными и могут во много раз превосходить фактическую ошибку расчета. Имеются стандартные программы численного интегрирования дифференциальных урввнений с твк ивзыввемым «эвтоматическим выбором швгзм В них каждый шаг выбирается так, чтобы виосимзя на нем погрешность не превышала зздвнной величины. Но при этом не учитывается, что эза погрешность в ходе дальнейших расчетов умножается нв величину типа экспоненты в (18), т. е.
может сильно возрасти. Кроме того, общее число шагов заранее не определено. -В результате фактическая точность расчета по подобным прогрвммвм обычно неизвестна. Поэтому основным практическим приемом является апостериорная оценка точности. Для ее получения расчет проводят на двух или более сгущающихся сетках и применяют правило Рунге нлн Рунге — Ромберга (см. главу Н!, и. 3), Напомним, в чем оно заключается. Вспомним априорную оценку погрешности схемы ломаных (18). Запишем ее, опуская первое слагаемое, связанное с неточным 259 зхдачл кОши заданием .начальных данных: (42) здесь Й(х) есть некоторая функция, значение которой в каждом узле сетки дает величину шага, Для схем более высокого порядка точности р остаточный член имеет айалогичную структуру, но содержитйг(х) и соответствующие производные решения или правой части )(х, и).
Если сетка равномерная, Й(х) =Й=сопз(, то остаточный член типа (43) для схемы р-го порядка точности пропорционален Йх. Поэтому при сгущении равномерной сетки применима оценка точности по Рунге. Если имеются численные решения на двух сетках у(х; Й) и у(х; гй), где г) 1, то погрешность решения на сетке с меньшим шагом составляет у(х; а) — у(х; ха) (43) Вместо оценки точности можно погрешность (43) прибавить к численному решению, уточнив его: Й) + у(х; а) — у(х; ха) хг 1 (44) но тогда вопрос о погрешности уточненного решения остается открытым. Приведенное рассуждение справедливо и в том случае, если сетки с разным числом узлов не равномерны, но их можно описать функпиями Й(х), отношение которых есть Й~ (х) /Йп(х) =г =- = сопз(. Это выполняется, например, для квазиравномерных сеток (описанных в главе П!, п.
4). При выводе оценок типа (18) старшими членами формулы Тейлора (13) пренебрегают. Если их учесть (считая правую часть уравнения непрерывно дифференцируемой достаточное число раз), то погрешность выразится суммой, где последующие слагаемые содержат более высокие степени Й(х) и соответствующие производные.
В этом случае можно уточнять численное решение по правилу Ромберга или по рекуррептному правилу Рунге, используя расчеты на Й различных сетках. Применение этих правил эквивалентно построению некоторой схемы более высокого порядка точности д =-р+Й вЂ” 1, где р — порядок точности исходной схемы. Разумеется, фактически получить точность 0(Йх) можно только для д раз непрерывно дифференцируемых решений и(х).
Правило Рунге применимо для сеток с любым отношением шагов г. Но используют его преимущественна для целого г, когда все узлы менее подробной сетки являются узлами более 2ао ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ !ГЛ. Ч!и подробной; особенно удобно сгущать сетки вдвое (рис. 44). При этом как для равномерных, так и для квазиравномерных сеток условие совпадения узлов выаолняется. В тех узлах, которые явля!отея общими для нескольких сеток, можно уточнить у(х) непосредственно по правилу Рунге (44).
Так, в и-м узле можно увеличить порядок точности на двойку, в (и+ 2)-м — на единицу, а в (и+ 1)-м — нельзя увеличить (рис. 44). Разумеется, если 4лгхl мы не уточняем решение, а лишь оцениваем погреш- ~А!х! ность, то достаточно найти ее по формуле (43) только Агх! в части узлов. Однако можно уточнить функцию во всех узлах самой подробной сетки, если немного усложнить вычисления. Например, для двух нижних сеток на рис.
44 это делается так. Используем совпадающие узлы сеток для определения поправок к значениям функции Л =(у(х; и) — у(х; гЕ!))/(гг — 1), т=и, и+2. (45а) Значение поправок в остальных узлах найдем простейшей интерполяцией. Для равномерных или квазиравномерных сеток можно положить ! з (!)!л+ б ) ° (456) Затем вычислим уточненные значения у(х; 6)=у(х„; 6)+Л„, т=и, и+1, и+2. (45в) Этот способ легко обобщается на произвольное число сеток.
Такое уточнение выгодно для специальных схем трет!!его типа, имеющих невысокий порядок точности; выполнить уточнение обыче!о проще, чем составить специальную схему высокого порядка точности. Примеры применения правила Рунге даны в таблице 18 (п. 5) и таблице 19 (п. 6), содержащих численное решение задачи и' = х'+ !!', 0 =. х ~ 1, и (0) = О. В таблице 18 интегрирование выполнено по схеме ломаных (15), и для уточнения использованы сетки с и=-1 и г!=0,5; видно, что, несмотря на плоху!о точность исходной схемы, уточненное решение не сильно отличается от искомого. В таблице 19 уточ. нано численное решение, найденное по неплохой схеме Рунге— Кутта второго порядка точности (22); это уточнение уже близко к искомому решению, несмотря на очень грубую сетку.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
