1626435584-7c6402f545ecf856225d6cf8d21519c9 (844233), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Пример. Применим метод Пикара к задаче Коши для урав- нения (3), решение которого не выражается через элементарные функции и'(х) =х'+и' и(0) =О. В этом случае квадратуры (9) вычисляются точно, и мы легко получаем 1 1 / 1 уз(х) О уз(х) 3 у (х) 3 !1+ 2! ) 3 у (х) хз! 1 + хз+ хз + хы ~ з — 3 ~ 2!' 693 19845 и т.
д. Видно, что при х==. 1 эти приближения быстро сходятся и позволяют вычислить решение с высокой точностью, 242 ОВЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1ГЛ. УИ! 4. Метод малого параметра. Достаточно простыми оказываются вычисления методом малого параметра, предложенным Пуанкаре в 1892 г. Пусть правая часть уравнения и'=1(х, и; А) зависит от параметра и известно частное решение уе(х) при некотором значении параметра )ь=ле. Будем искать решение в виде ряда и (х) =,У, (г ге) у» (х) »=о (1 1) Подставляя этот ряд в исходное уравнение и разлагая ((х, и; )) по формуле Тейлора по степеням (Х вЂ” Х,), получим для опреде- ления у„(х) линейные уравнения у,', (х) = а„ (х) у» (х) + и„ (х), и = 1, 2, 3, ... (1 2) Здесь коэффициенты а„(х) выражаются через производные 1(Х, И; "г) ПРИ и=-до(Х), А=).„а ФУНКЦИИ О„(Х) ВЫРажавтСЯ ЧЕРЕЗ уе(х), 0 й(п.
Тем самым нахождение у„(х) сводится к квадратурам. Достаточным условием сходимости ряда (11) является аналитичность 1(х, и; А) по всем аргументам. При практическом применении метода малого параметра специально вводят в правую часть уравнения (7) параметр так, чтобы при некотором его значении легко находилось частное решение; после этого действуют по описанной схеме.
Например, для уравнения (3) можно прибавить к правой части член Аиэ, положив, таким образом, 7" (х, и; А) =хе+(!+Х) и'! тогда при 1 Х„= — 1 сразу видно частное решение у, (х) = - - х'+ с, где постоянная с определяется из начального условия. Метод малого параметра естественно переносится на уравнения высоких поря;1ков или на системы уравнений. При этом Из этого примера видно, что метод Пикара выгодно применять, если интегралы (9) удается вычислить через элементарные функции. Если же правая часть уравнения (7) более сложна, так что эти интегралы приходится находить численными методами, то метод Пикара становится не слишком удобным.
Метод Пикара легко обобщается на системы уравнений способом, описанным в п. 2. Однако на практике чем выше порядок системы, тем реже удается точно вычислять интегралы в (9), что ограничивает применение метода в этом случае. Имеется много других приближенных методов. Например, С.
А. Чаплыгин предложил метод, являющийся обобщением алгебраического метода Ньютона на случай дифференциальных уравнений. другой способ обогэденнй метода Ньютона предложил Л. В. Канторович в 1948 г, В обоих этих методах, так же как и в методе Пикара, итерации выполняются при помощи квадратур. Однако квалратуры в них имеют гораздо более сложный вид, чем (9), и редко берутся в элементарных функциях. Поэтому эти методы почти не применяют. 243 зддхсга коши вместо цепочки последовательно решаемых линейных уравнений (12) возникают цепочки систем линейных дифференциальных уравнений.
Однако все выкладки становятея существенно более громоздкими. 5. Метод ломаных. Это простейший численный метод. В практике вычислений он употребляется очень редко из-за невысокой точности. Но на его примере удобно пояснить способы построения и исследования численных методов. Рассмотрим задачу Коши (7) и выберем на отрезке 1$, Х1 некоторую сетку (х„, О.«.=л~ггг) значений аргумента так, чтобы выполнялись соотношения $ =хо(хг (хз(...
(хм =Х (сетка может быть неравномерной). Разлагая репгение и(х) па формуле Тейлора на интервале сетки х„.:х~х„ег и обозначая и(х„) =и„, получим 1 и„, =ил+А„и„'+-й lг,',и„'+ ..., Ь„=х„ег — х„. (13) Стоящие в правой части производные можно найти, дифференцируя уравнение (7) требуемое число раз: и'=7'(х, и), и"=„— 7'(х, и) =7„+Цл (14) и т. д.
В принципе, если 7(х, и) имеет гг-е непрерывные производные по совокупности аргументов, то в разложении (13) можно удержать члены вплоть до О (иезг). Однако использовать для расчетов формулу (13) с большим числом членов невыгодно. Во-первых, даже при сравнительно простой правой части выражения для производных могут оказаться громоздкими. Во-вторых, если правая часть известна лишь приближенно, то находить ее производные нежелательно. В простейшем случае, подставляя (14) в (13) и ограничиваясь только первым членом разложения, получим схехгу ломаных"): у„„=у„+й„~(х„, у„), гг„=х„„— х„. (15) 11оскольку при такой замене можно найти только приближенные значения искомой функции в узлах, то будем обозначать эти значения через у„в отличие от точных значений и„=-и(х„).
Для численного расчета по схеме ломаных достаточно задать начальное значение гго=тг. Затем по формуле (15) последовательно вычисляем величины у„у„..., уи. Геометрическая интерпретация этой схемы дана на рис. 41, где изображено поле интегральных кривых. Использование только первого члена формулы Тейлора означает движение не по интегральной кривой, а по касательной к ней. На каждом шаге мы ') Она была предложена Эйлером н называется также схемой Эйлера. 244 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ !ГЛ.
71П заново находим касательную; следовательно, траектория движежения будет ломаной линией. Исследуем сходимость метода ломаных, предполагая правую часть 1(х, и) непрерывной и ограниченной вместе со своими первыми производными: !1 ( =- М„~ 1„! ( М„~ 1л , '~ М, (отсюда следуе~, что )ил~~М,=М,+ + М,МО). Рассмотрим погрешность приближенного решения гл =у„— ил. Вычитая (15) из (13), получим соотношение, связывающее погрешности в соседних узлах сетки: Ук г„„=г„+Ь„[((х„, ул)— ! ! — ! (хл, и„)) — -- ллси„" = =г.
(1+А!').— -2 йси." (16) г'г Рис. 4! (члены более высокого порядка малости здесь спущены). Последовательно применяя рекуррентное соотношение (!6), выразим погрешность на произвольном шаге через погрешность начальных данных т — ! кл — ! т — 2 =ЕО П (1+Ю -2 — ~! )2„'и" и (1 1 ь!л) (1у) л=О А=-л Ф ! Отсюда нетрудно дать асимптотическую оценку погрешности. Заметим, что при малых шагах сетки т — ! П (1+)21О)„= П ехр (й|,)„= л О л О 1-т — ! Гт-1 =ехр~.У', (!!(„)„~=ехр~ ~ 1„(т, и(т))!(т л=О кк причем в качестве верхнего предела интеграла можно взять х, ибо ошибка при атом остается в пределах общей точности преобразований.
Аналогично преобразуя второй член (17), получим !к ! к !кт *. = ., -! () !. к ) - -,' 5 к к ! ! ! ! -~()' !. кк~ а ! кк К к Здесь й(х) — непрерывная функция, дающая в каждом узле хл величину шага л„; в качестве такой функции можно выбрать линейный сплайн. 245 ЗАДАЧА КОШИ ~е„',(М(х ) шах й„=О(шахй„), О<а<а (19а) где "а рл ррр р--; ( р "р р»р(1 'р.,рр)~р„'Рр' 'р. ррррр Таким образом, при й — 0 ггрибргиокенное решение сходится к точному равномерно (на ограниченном отрезке! х — ха! ==а) с первым порядком точиостгг. 3 а меч а н не !.
Оценка погрешности (19) является мажорантной. Для функций со знакопеременными производными эта оценка может быть сильно завышена по сравнению с асимптотической оценкой (18). Замечание 2. Экспоненцнальный член в оценке (18) характеризует расхождение интегральных кривых (см. рис. 41); если он очень велик, то исходная задача 1(оши плохо обусловлена. П р и м е р. Проинтегрируем по схеме Эйлера задачу Коши для уравнения (3): и'(х)=ха+и', О.==х=-1, и(0)=0.
В таблипе 18 даны численные решения у(х), полученные на сетках с шагами й=-1, '!а и гр4, столбик у(х) будет пояснен в п. 10. Приведено также точное решение и (х), вычисленное методом Пикара (см. пример в п. 3). Видно„что схема Эйлера для получения удовлетворительной точности требует гораздо более малого шага, чем использонанный здесь. Таблица 18 Рассмотрим структуру погрешности (18). Первое слагаемое справа связано с погрешностью начального значения е,=у,— и„ которая умножается на ограниченную (благодаря ограниченности производных) величину. Начальное значение можно задать точно и считать, что еа — -О. Остановимся на втором слагаемом.
Оно обусловлено тем членом формулы Тейлора (13), который был отброшен при выводе схемы ломаных (1б). Оценим это слагаемое сверху; заменяя все функции под интегралами их модулями и вынося шахй(х) за знак интеграла, получим ЗАДАЧА КОШИ Ограничимся только написанными членами, так как уже они обеспечивают четвертый порядок точности. Для вычисления решения в следующей точке запишем дифференциальное уравнение в интегральной форме "л., и илп,=ил+ ~ 7(х, и(х))ггх=и„+ ~ Г(х)г(х (29) кп кл и подставим в него интерполяционный многочлен (28). Получим формулу Адамса для переменного шага ! у =у.+й.Г(х.)+--й",Г(х., х.,)+ + — й'„(2йл+Зй„,) Г(хл, хл.
„хл,) + + 1!2 ййп (Зйл+ 8йлйп -!+ 4йлйл-г+ 6Еп г+ 6йп — гйк-г) х хГ(х„, хл „хл „хл,), где йл=хл„— хл. (30) Эта формула имеет четвертый порядок точности. Если отбросить последнее слагаемое, получим формулу третьего порядка точности. Аналогично получаются формулы низших порядков. Формула первого порядка совпадает со схемой ломаных. Чаще пользуются менее громоздким вариантом формулы (30), рассчитанным на постояиный шаг интегрирования.
Вместо разделенных разностей вводят конечные разности ААГл пл = р(Г (хл, хл „..,, хл р), приблизительно равные р-й производной в точке (хл+х„р)/2, и получают у г=у +йГл+ и й'Ь'Г„+ТййлЛ'Г„+-ц-)гА'Г„. (31) Остаточный член этой формулы равен (251/750) йлГгч(х). Метод без изменений переносится на системы уравнений первого порядка типа (25). Чтобы начать расчет методом Адамса, недостаточно знать у(х,).
Для начала расчета по формуле (30) надо знать величину решения в четырех точках х„, х„ х„ х, (а при формуле р-го порядка точности — в р точках). Поэтому надо вычислить недостающие значения у„каким-либо другим методом — методом Рунге — Кутта, или разложением по формуле Тейлора (13) — (14) с достаточно большим числом членов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
