1626435584-7c6402f545ecf856225d6cf8d21519c9 (844233), страница 51

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 51)

(55) а Очевидно, он равен нулю при А у(х) =((х) и положителен, если Ау(х)~~(х) на сколь угодно малом, ио конечном интервале Лх. Таким образом, найдя функцию у(х), на которой функционал (55) достигает своего абсолютного минимума, мы получим решение уравнения (54). Заметим, что этот функционал ограничен снизу на любом множестве функций и непрерывно зависит от Ау(х). Описанный способ решения операторных уравнений называется методом наименьших квадратов. Если задача (54) некорректно поставлена (например, неустойчива по правой части), то наиболее употребительным общим методом регуляризации является замена исходной задачи иа задачу минимизации функционала Л.

Н. Тихонова: ь М(у(х),а!=г)(Ау(х) — г(х))'р(х) дх+аь! !у(х)1= гпш, а~О, (56) й где так называемый стабилизатор й [у(х)1 — специально подобранный положительный функционал, обладающий свойствами нормы; он несколько напоминает штрафную функцию. В главе Х!Ч будет показано, что для стабилизаторов типа ьь (у(х)! = ~ (р (х) уь (х)+ д(х) у" (х)) Нх, р(х),у (х) ~0, (57) О решение задачи (56) непрерывно зависит от г(х), причем при правильном подборе а оно одновременно достаточно близко в чебышевской норме к решению у(х) уравнения (54).

Уравнение (54) может привести и к другим функционалам. Пусть оператор А аддитивен, положителен и симметричен, так что (у, Ау))0 при у4=0 и (г, Ау) =(Ах, у), где под скалярным произведением подразумевается интеграл от произведения функций. Рассмотрим функционал Ф (у (х) ! = (у, Ау) — 2 (у,~), (58) где (у, г) = ~ у (х) г (х) дх.

а Покажем, что задача на минимум этого функционала эквивалентна задаче решения операторного уравнения (54). минимизация функционала %и В самом деле, запишем произвольную функцию у(х) в следующем виде: у(х) =у (х)+),г (х). (59) Подставляя это выражение в правую часть формулы (58), получим Ф (у (х)] = Ф [у (х)]+ 2Х (г, Ау — () + ).з (г, А г).

(бО) Если р (х) есть решение уравнения (54), то второе слагаемое в правой части (60) обращается в нуль; последний же член в правой части неотрицателен благодаря положительности оператора А. Значит, Ф[у]=[п[Ф[у], т. е. функционал (58) достигает минимума на решении операторного уравнения (54). Наоборот, если у(х) в представлении (59) есть функция, на которой функционал (58) достигает минимума, то первая вариация функционала на этой функции равна нулю.

Следовательно, (г[ФУг[))к=о=О, каково бы ни было г(х). Применяя это условие к (бО) и одновременно полагая г(х) =Ау(х) — ((х), получим (Ад — ), Ау — )) =О, Классическим примером применения описанного приема является краевая задача — — [ р (х) — [ + о (х) у (х) =7 (х), У Г бу1 йх ~ бх! р (х) ) О, Ч (х) ) О, у ( — оо) =у (+ со) = О. (61) Интегриронанием по частям легко убедиться в симметричности и положительности дифференциального оператора и получить следующее выражение для функционала (68): +ОЭ гэ [у(х)[= ] ]р(х) ~---~ +Ч(х)уз(х) — 2[(х)у(х)~г[х.

(62) г'ау 'Л Отметим, что оператор А включает в себя не только дифференциальное (или интегральное) уравнение, но также краевые условия, если последние имеются. Краевые условия должны некоторым образом войти в функционал, соответственно изменив его вид. Например, для задачи на ограниченном о~резке с краевыми условиями третьего рода — „— ~ р (х) „— ~+Ч (х) у (х) =((х), р(х), Ч(х) Э» О, (63а) аеу (а)-[-ссгу' (а) =сг, [[еу (Ь)+[[ту' (Ь) = 6, (63б) что выполняется только при Ау (х) =((х). Это означает, что функция, иа которой функционал (58) достигает минимума, является решением операторного уравнения (54). Утверждение доказано. поиск минимума [гл.

цм надо мивимнэировать в классе достаточно гладких функций функционал Ф [у (х)] = ~ ) р (х) ( — ') + д (х) ую (х) — 2) (х) у (х)~ ах+ ю + — [2ар [а) — ссюую (о)] + — [[)аюую [Ь) — 2[)у (Ь)]. (64) р (а) р (Ь) сют рт От функцнй, миннмиэиручоьцих этот функционал, уже не надо требовать удовлетворения краевым условиям — они автоматически будут им удовлетворять. В теоретической физике встречаются функционалы более сложные, чем квадратичные. Например, в статистической модели атома Томаса — Ферми при температуре абсолютного нуля энергия выражается через электронную плотность следующим образом: [ ( )1= ~ ю[ ) )Олю "'р н(П) — —,'р(П)+-"2 р~") ~ ~~я ~Д.

(~6) р Поскольку при нулевой температуре и заданном объеме энергия минимальна, то нахождение электронной плотности сводится к задаче на условный экстремум для этого функционала (дополнительное условие заключается в том, что полное число электронов равно заряду ядра). К еще более сложным функционалам приводят задачи. оптпимального управления, в которых ищется минимум функционала Ф[у (х)1, причем функция у(х) является решением задачи'Коши для дифференциального уравнения -„-=Р(х, у(х), и(х)), у(0) =у,. Трели буется найти такую управляющую функцию и(х), при которой заданный функционал минимален.

К задачам оптимального управления относится, например, определение оптимального режима расхода горючего и(ю) при запуске ракеты, приводящего к максимальной высоте подъема Ф при заданном начальном количестве горючего. 2. Метод пробных функций. Общая схема численного решения заключается в сведении задачи (53) к поиску минимума функции многих переменных. Рассмотрим класс к'„пробных функций заданного вида о„(х; а) =па(х; а„а„..., а„), содержащих и свободных параметров и принадлежащих множеству У„.

На этом классе функций рассматриваемый функционал будет функцией п переменных — свободных параметров: Ф [п„(х; а)] = г"„(а) = г"„(а„а„..., а„); (66) численное нахождение минимума функции многих переменных было подробно рассмотрено в предыдущих параграфах. Найдя 227 МИНИМИЗАЦИЯ ФУНКЦИОНАЛА минимум функции г"„(а) и соответствующие ему значения параметров и, мы определим функцию о„(х; а), на которой функционал достигает своего минимума в классе У„. Можно ли считать найденную функцию о„(х; а) приближенным значением искомого решения у (х)? Чтобы выяснить это, рассмотрим предельныя переход н-а- со.

Построим бесконечную последовательность классов функций У„(принадлежащих заданному множеству У) с увеличивающимся числом параметров так, чтобы каждая функция предыдущего класса получалась из функции последующего класса фиксированием некоторого значения последнего параметра: о„,(х; а„а„..., а„,) =о„(х; ам аь, ..., а„,, а„). (67) Тогда каждый класс У„вложен в классы с ббльшим индексом. Если обозначить через Ф„минимум функционала на этом классе Ф„=Ф[о„(х; а)1= 1пЕФ[о„(х; а)1, Уа (68) то Ф, = Ф, '=- Ф,.= ... ) Ф = 1п1 Ф [у (х)1.

Ф[у(х)1=')7'(х, у(х), у'(х), ..., у'е'(х)) дх, (69) а где 7' — непрерывная функция всех своих аргументов. Их можно рассматривать в пространстве Сич с нормой 11у11=шах(~у(х),', 1у'(х)~, ...,', уни(х)1',; тогда непрерывность функционала Очевидна. А в чебышевском пространстве Снч такой функционал уже не будет, вообще говоря, непрерывно зависеть от у(х). Последовательность Ф„ не возрастает и ограничена снизу; значит, она сходится к пределу, который больше или равен Ф.

Если 11шФ„=Ф, то последовательность функций о„(х; а), на которых а са достигается минимум функционала в классах У„, называют минимизирующей (или минимизирующей функционал). Рассмотрим два понятия, нужных для дальнейшего изложения. Будем называть функционал Ф[у(х)1 неарерывньАИ, еслв он непрерывно зависит от у(х), т. е. если фиксировать у(х), то для любого е)0 найдется такое б(з), что при Яу(х) — у(х)Ц(б(е) будет выполняться неравенство / Ф[у) — Ф[у) / ~ з. Очевидно, наличие нли отсутствие этого свойства зависит как от вида функционала, так и от выбора нормы функции. Наприыер, наиболее распространенные функционалы имеют вид 228 ПОИСК МИНИМУМА 1гл.

ч!1 Бесконечная система функций заданного вида (о„) называется полной, если при п- оо она может аппроксимировать в данной норме со сколь угодно высокой точностью любую функцию множества У. Это значит, что для любой заданной функции у(х) ~ У и любого 6 > 0 существует такое 64, что при и > )ч' в классах У„ найдутся функции о„(х), удовлетворяющие условию !! у (х)— — 6„(х) !!(6. Понятие полноты также существенно связано не только с выбором системы о„(х; а), но также с выбором нормы и множества У.

Достаточные условия сходимости о„(х; а) искомому решению дает следующая Теорема. а) Если система функций о„(х; а) полная, а функционал Ф [д (х)1 непрерывен, то последовательность о„(х; а) является минимизирующей, б) если требования пункта (а) выполнены и функционал удовлетворяет дополнительному условию Ф[д(х)1 — Ф[д(х))=»сс!!д(х) — у(х)!!а, а, 6>0, (70) то последовательность о„(х, а) сходится к ре1иению у (х) задачи (53).

До к аз а тел ьст во. Поскольку функционал непрерывен, то для искомого решения у(х) задачи (53) и для заданного е найдется такое 6, что если !!у — у!! -6, то е>Ф[у) — Ф[у)~0 (в последнем неравенстве не надо ставить знак модуля, ибо Ф[д1 есть минимальное значение функционала). Но система (о„) полная; следовательно, для функции у (х) и данного 6 существует такое 61, что во всех классах Р4 при п>61 найдутся функции о„(х; а), удовлетворяющие условию !!о„(х; й) — д(х)!!(6. Тогда выполняется неравенство е > Ф [о„(х; а)1 — Ф О. Поскольку Ф„= = ш(Ф[о„(х; а)1, то отсюда следует неравенствое>Ԅ— Ф)0.

Оно означает, что !Нп Ф„=Ф, ь со так что первое утверждение теоремы доказано. Применяя к последнему неравенству условие (70), получим !!о„(х, а) — у(х) !! ((е(а)'а, так что второе утверждение теоремы также доказано. Замечание !. Сходимость о„(х; а)- у(х) доказана в смысле той нормы, которая входила в определения полноты системы функций, непрерывности функционала и условие (70). Пусть в исходных определениях подразумевались разные нормы; в условиях полноты — аппроксимация в !!.!!„ в условии непрерывности функционала — малость !!6д!!, и в условии (70) — неравенство при !! !!м Если существует такая норма !! !!4, которая не сильнее !! !!, и !, )!„но не слабее )! )!м то при переходе к этой норме все не- 229 МИНИМИЗАЦИЯ ФУНКЦИОНАЛА равенства сохранятся*). Тогда из теоремы следует сходимость минимизирующей последовательности в й.

й,. Замечание 2. Пусть функционал Ф)у] определен на множестве У, но при этом известно, что искомое решение принадлежит некоторому подмножеству )го. Например, функционал (64) определен на множестве кусочно-гладких функций, а решение является кусочно-гладкой функцией, удовлетворяющей краевым условиям (63б). В этом случае достаточно искать решение только среди функций подмножества Уе и проверять полноту системы пробных функций (о„', и непрерывность функционала лишь по отношению к этому подмножеству. Это может существенно облегчить решение поставленной задачи.

Характеристики

Список файлов книги