1626435584-7c6402f545ecf856225d6cf8d21519c9 (844233), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Замечание 3. Нетрудно доказать, что если функционал непрерывен, то для сходимости последовательности сч (х; а) к р (х) необходимо, чтобы эта последовательность была минимизирующей. 3 а меч а н не 4. Существуют функционалы, для которых последовательности сч(х; а) являются минимизирующими, но при этом ни к какой предельной функции не сходятся. Это нередко встречается в задачах оптимального управления.
Такие задачи относятся к некорректно поставленным и требуют регуляризации. В задачах для конкретных функционалов исследование сходимости сводится к выбору подходящей полной системы функций (и„) и нормы и проверке условий теоремы. Норму обычно выбирают из соображений простоты доказательства, но эта норма не должна быть слишком слабой, иначе результат не будет представлять практической ценности. Метод пробных функций в своей наиболее общей постановке применяется не часто. Если функционал имеет достаточно сложный вид, как в примере (65), или если выбрана система функций п„(х; а), нелинейно зависящих от свободных параметров, то получающаяся при этом функция Е(а) имеет достаточно общий вид. Обычно ее минимум удается найти численными методами, только если число переменных (свободных параметров) не превышает и 1Π— 20. Такого числа параметров не всегда достаточно, чтобы уверенно констатировать сходилюсть.
Поэтому для конкретных функционалов сложного вида обычно стараются исследовать качественный характер решения и выбирают пробные функции с небольпп1м (и 3 — 10) числом параметров так, чтобы по своему качественному поведению — асимптотике, полюсам и т. д. — они были бы близки к искомому решению. Проводят исследование непрерывности функционала и полноты системы. Затем выполняют расчеты с различным числом *) Нвпочниьь что норма й йг называется более сильной, чем й йе, если для любой допустимой функции у (л) выполняется неравенство 11 у 16 рв зеСй у йт, где С=сопев поиск минимумА 1гл. чп и оа(х; а) =гр, (х)+ ~~ патра(х), а=! (71) то на них квадратичный функционал будет цвадратичной функцией параметров аа.
Задача на нахождение минимума квадратичной функции г" (а) посредством дифференцирования по переменным пе сводится к системе алгебраических линейных уравнений; ее нетрудно числе!(Ио решить даже при числе параметров п 100 — 200*). Этот частный случай метода пробных функций называют методом Ритца. Обсудим выбор функций тра(х). Его целесообразно связать с краевыми условиями для задач типа (54), которые обычно линейны.
Пусть, для определенности, это условия первого рода у(а) =се, у(Ь) =р. (72) Выберем какую-нибудь гладкую функцию гр„(х) так, чтобы она *) В отдельнв|х случаях число параметров бвгеает еще больше. уеапример, в квантовой химин при решении уравнения шредингера для нес(!ернческого многоцентрового поля молекулы берут и 1000. параметров и смотрят, сходятся ли полученные значеняя Ф„и функции. 0„(х; а) к какому-то пределу.
Если последовательность (и„) выбрана удачно, то величина Ф„ будет близка к своему пределу Ф уже при небольшом и. Например, для функционала энергии атома (65) пробная функция всего / 4 т — 3/х с четыРьмЯ паРаметРами Р(х) ~ ~ ~паха~ обеспечивает точь =! ность расчета полной энергии существенно лучше 1е',. Само искомое решение (в данном примере — распределение электронов в атоме) находится при этом с меньшей, но удовлетворительной точностью.
Однако оценить фактическую точность найденного приближения на основании таких расчетов не удается. Далее мы рассмотрим два частных случая метода пробных функций, когда можно получить и более высокую точность, и неплохую оценку погрешности. 3. 'Метод Ритца. Ряд важных математических задач сводится к минимизации квадратичного функционала. Примером является решение корректно или некорректно поставленных задач для линейного операторного уравнения (54), приводящее к одному из функционалов (55), (56) ил)! (58). Если в качестве пробных функций взять обобщенные многочлены МИНИМИЗАЦИЯ ФУНКЦИОНАЛА удовлетворяла этим краевым условиям, например, фо (х) = со + — (х — а), (73а) или фо (х) = сс + (() — сс) в\и (736) Остальные функции выберем так, чтобы они удовлетворяли однородным краевым условиям типа (72) и при этом образовывали бы полную систему.
Например, согласно теореме Вейерштрасса любую непрерывную функцию можно аппроксимировать со сколь угодно высокой точностью алгебраическими или тригонометрическими многочленами. Поэтому можно положить фо (х) = (х — а)' (5 — х), й = 1, 2, ..., (73в) или нй (х — а) фо (х) = з1п 1=1, 2, (73г) В этом случае пробные функции (71) при любых коэффициентах а„удовлетворяют неоднородным краевым условиям (72) и являются полными на множестве непрерывных функций, удовлетворяющих этим краевым условиям. Согласно замечанию 3 к теореме п.
2 такой выбор пробных функций допустйм. П р и м е р. Рассмотрим задачу на минимум квадратичного функционала (58) с вещественным симметричным положительным оператором А: Ф(у(х)1=(у, Ау) — 2 Д, у) = пип. (74) Подставляя в этот функционал пробные функции Ритца (71), получим квадратичную функцию свободных параметров и л Ф 1сл(х; а)1 = г" (а) = ~ ~х ' ааа (ф„ Аф ) + о=!т=~ л +2 ~ ао((фо, Афо) — (фо, Я+(фо Афо — 2)) пип.
Приравнивая нулю производные этой квадратичной функции по параметрам, получим для определения параметров линейную систему уравнений л )~ а (фо, Атр )= — (фо, Аф„-)), 1(й==п. (75) Ладим схему исследования сходимости, не останавливаясь на деталях. В этом примере удобно ввести норму, связанную с данныи положнтельныл~ оператором А: 1и)РА=(у Аи). (7б) 232 ПОИСК МИНИМУМА !Гл. Уи Таким образом, последнее условие (70) теорел1ы о сходимости выпачнено и метод Ритки в данном примере сходится. Заметим, что для не квадратичных функционалов Ф[у1 линейные по параметрам пробные функции (7!) не дают никаких пре'- имуществ, ибо получающиеся функции параметров Е (а) = = Ф[п„(х; а)) все равно оказываются не квадратичными.
Поэтому метод Ритца фактически применяют только для квадратичных функционалов. 4. Сеточный метод. Введем сетку по аргументу х и заменим все производные и интегралы, входящие в функционал, некоторыми разностями и суммами узловых значений функции у, = у(х„). Тогда функционал аппроксимируется некоторой вспомогательной функцией многих переменных — значений решения в узлах: Ф[у(х)1 Е(у„у„у„..., у„)=ппп. (78) Решая задачу Е (у„..., у,) = ппп численными методами, мы непосредственно получим приближенные значения решения в узлах сетки. Зная их, решение при остальных значениях аргумента (не совпадающих с узлами сетки) можно найти интерполяцией. Например, рассмотрим сферически-симметричный сжатый атом в модели Томаса — Ферми; его энергия задается функционалом (65), где интегралы берутся по сферической атомной ячейке радиуса Й.
Вводя равномерную сетку 0 = г, ( г, (... ( г„= Й и вычисляя интегралы по формуле прямоугольников, получим л Š— ~) (ссггзр1згз — Рггрг+ уг~ргфг), 1 1 (79а) Сделаем естественное предположение, что этз норма не слабее ) й . В самом деле, длл операторов А типа (6!) такая норме содержит ннгегрзл от квадрата функции и ее производной, в средиеквндрзтичнзя близость и функций, и их производных есть более сильное требование, чем равномернзя близость функций.
Для таких операторов система тригонометрических функций (73г) будет полной по норме (76). Действительно, для любой функции у(х), непрерывно днфференцируемой г рзз, ее тригонометрический ряд Фурье среднеквздрзтнчно сходится к ней вместе со своими г-ми производными. А сходимость по норме (76) отличается от среднеквадратичной только нвличием весовых множителей у(х), д(х) под интегралом (62), что несущественно. Найдем вариацию функционала (74) нв произвольной функции бФ(у)=Ф (у+бу) — Ф (у)=(бу, Абу)+2 (бу, Аи — )).
(77) Первое слагаемое этой взринции равно Ц бу)-э, т. е. является бесконечно малой второго порядка; второе слагаемое, по предположению о силе нормы (76), является бесконечно малой не ниже первого порядка о~носительно ~)буЦ Отсюда следует нглуерывносгль функционала, Наконец, звметил1, что решение у искомой задачи (74) удовлетворяет уравнению Ау=)', Подствзляя зто решение в (77), получим бФ (У! = ~! 6У(Рл, 233 МИНИМИЗАЦИЯ ФУНКЦИОНАЛА $41 где атомный потенциал 4р(г) сам зависит от неизвестной электрон- ной плотности р (г); й ъ~, д 4У4 —,г, гр + — г, гр, ЛГ4 4'„4 '' П (79б) 4=4+1 а коэффициенты сс„р, у выражаются через физические константы.
Надо найти минимум энергии при дополнительном условии нормировки ~ р (г) сЬ = Я, причем это условие также надо приближенно записать в сеточной форме. Выражения (79а), (79б) достаточно сложные, и при большом числе узлов сетки найти минимум численными методами трудно. Очевидно, что для произвольных функционалов число узлов сетки, которое практически возможно использовать в расчетах, очень невелико: оно не превышает и 10 — 20. Однако даже при таком числе узлов нередко удается получить неплохую точность при умеренном объеме расчетов, используя прием сгущения сеток. Для этого выполняют серию расчетов на сгущающихся вдвое сетках с числами интервалов п=1, 2, 4, 8 и 18.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
