1626435584-7c6402f545ecf856225d6cf8d21519c9 (844233), страница 54

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 54)

Таким образом, решение обыкновенных дифференциальных уравнений занимает важное место среди прикладных задач физики, химии н техники. Конкретная прикладная задача может приводить к дифференциальному уравнению любого порядка, или к системе уравнений любого порядка. Но известно, что обыкновенное дифференциальное уравнение р-го порядка игг1 (х) =) (х, и, и', и", ..., и1Я '>) при помощи замены им1(х) =— иа(х) можно свести к эквивалентной системе р уравнений первого порядка иь (х) = илгз (х), 0 == й == р — 2, и' 1(х) =1(х, и„и„, ..., ир,), 238 ОБыкнОВенные диФФеРенциальные уРАВнения ]гл.

уп1 где и, (х) = и (х). Аналогично, произвольную систему дифференциальных уравнений любого порядка можно заменить некоторой эквивалентной системой уравнений первого порядка. Поэтому в дальнейшем мы будем, как правило, рассматривать системы уравнений первого порядка иа(х) =Ге(х, и„и,„... „и„), 1;==Й~р, (1а) записывая нх для краткости в векторной форме и'(х) =у(х, и (х)), (1б) и=]и„и,, ..., и ), Уе=(1„(т, ..., Ц.

Известно, что система р-го порядка (1а) имеет множество решений, которое в общем случае зависит от р параметров с =- = (ст, с.„..., са) и может быть записано в форме и =и(х; с). Для определения значений этих параметров, т. е. для выделения единственного (или нужного) реп1ения, надо наложить р дополнительных условий на функции иа (х). Различают три основных типа задач для обыкновенных дифференциальных уравнений: задачи Коши, краевые задачи и задачи на собственные значения. 3 а д а ч а К о ш и (задача с начальными условиями) имеет дополнительные условия вида и,ф)=т]м ]~й =.р, (2) т. е. заданы значения всех функций в одной и той же точке х=е, Эти условия можно рассматривать как задание координат начальной точки (е, т]„т]„..., т] ) интегральной кривой в (р+ 1)- мерном пространстве (х, и„и„..., и„).

Решение при этом обычно требуется найти на некотором отрезке 1(х Х (илн Х.==х $), так что точку х=$ ~можно считать начальной точкой этого отрезка. Напомним *), что если правые части (1) непрерывны и ограничены в некоторой окрестности начальной точки (е, т]„ т]„ ... ..., т]„), то задача Коши (1) — (2) имеет решение, но, вообще говоря, не единственное. Если правые части не только непреРывны, но и УДовлетвоРЯют Условтцо Липшица по пеРеменным иы то решение задачи, Коши единственно и непрерывно зависит от координат начальной точки, т.

е, задача корректно поставлена. Если вдобавок правые части имеют непрерывные производные по всем аргументам вплоть до д-го порядка, то решение и(х) имеет д+1 непрерывную производную по х. 2. Методы решения. Их можно условно разбить на точные, приближенные и численные. К т о ч н ы м относятся методы, позволяющие выразить решение дифференциального уравнения *) См., например, 137]. 239 ЗАДАЧА КОШИ зн через элементарные функции, либо представить его при помощи квадратур от элементарных функций. Эти методы изучаются в курсах обыкновенных дифференциальных уравнений. Нахождение точного решения задачи (1) — (2), а тем более — общего решения системы (1) облегчает качественное исследование этого решения и дальнейшие действия с ним.

Однако классы уравнений, для которых разработаны методы получения точных решений, сравнительно узки и охватывают только малую часть возникающих на практике задач. Например, доказано, что решение несложного уравнения и'(х) =х'+и'(х) (3) не выражается через элементарные функция. А уравнение и'(х) =— и+х (4) можно точно проинтегрировать и найти общее решение — 1п (х'+ и') + агс(ц — „= сопз1.

1 и 2 (5) Однако для того, чтобы составить таблицу значений и(х), надо численно решить трансцендентное уравнение (5), а это нисколько не проще, чем непосредственно численно проинтегрировать уравнение (4)! П р и б л и ж е н н ы м и будем называть методы, в которых решение получается как предел и(х) некоторой последовательности у„(х), причем у (х) выражаются через элементарные функции или при помощи квадратур. Ограничиваясь конечным числом п, получаем приближенное выражение для и(х). Примером может служить метод разложения решения в обобщенный степенной ряд, рассматриваемый в курсах обыкновенных дифференциальных уравнении; некоторые другие приближенные методы будут изложены в этой главе. Однако эти методы удобны лишь в том случае, когда болыпую часть промежуточных выкладок удается сделать точно (например, найти явное выражение коэффициентов ряда).

Это выполнимо лишь для сравнительно простых задач (таких как линейные), что сильно сужает область применения приближенных методов. Ч и с л е н н ы е м ет оды — это алгоритмы вычисления приближенных (а иногда — точных) значений искомого решения и (х) на некоторой выбранной сетке значений аргумента х„. Решение при этом получается в виде таблицы. Численные методы не позволяют найти общего решения системы (1); они могут дать только какое-то частное решение, например, решение задачи Коши (1)— (2). Это основной недостаток численных методов.

Зато эти методы применимы к очень широким классам уравнений и всем типам 240 овыкновенныв диффенвнцилльные эглвнвния 1гл чш Общее решение уравнения (ба) содержит одну произвольную постоянную и (х; с) = 1 + х + се". При начальном условии (бб) она равна с = О, так что и (100) = 101. Однако небольшое изменение начального условия й(0) =1,000001 слегка меняет постоянную: с =. 10-', тогда и (100) — 2,7 х 10", т.

е. решение изменилось очень сильно. В этом параграфе рассмотрены методы решения задачи Коши. Для простоты записи мы почти всюду ограничимся случаем одного уравнения первого порядка. Алгоритмы для случая системы р уравнений (1б) легко получаются из алгоритмов, составленных для одного уравнения, формальной заменой и(х) и 1(х, и) на и(х) и Г'(х, и). 3. Метод Пикара. Это приближенный метод решения, являющийся обобщением метода последовательных приближений (см. главу Ч, $ 2).

Рассмотрим задачу Коши для уравнения первого порядка и'(х) =7(х, и(х)), ~~х(Х, и($) =т). (7) Интегрируя дифференциальное уравнение, заменим эту задачу эквивалентным ей интегральным уравнением типа Вольтерра х и (х) = 4) + ~ 7 (т, и (т)) йт. (8) задач для них. Поэтому с появлением быстродействующих ЭВМ численные методы решения стали одним из основных способов решения конкретных практических задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Численные методы можно применять только к корректно поставленным (или регуляризованным) задачам. Заметим, однако, что для успешного применения численных методов формальное выполнение условий корректности может оказаться недостаточным. Надо, чтобы задача была хорошо обусловлена, т. е.

малые изменения начальных условий приводили бы к достаточно малому изменению интегральных кривых. Если это условие не выполнено, т. е. задача плохо обусловлена (слабо устойчива), то небольшие изменения начальных условий или эквивалентные этим измене'ниям небольшие погрешности численного метода могут сильно исказить решение. В качестве примера плохой обусловленности рассмотрим задачу и'(х) =и — х, 0(х(!00, (ба) и (О) = 1. (бб) 241 ЗАДАЧА КОШИ З !! Решая это интегральное уравнение методом последовательных приближений, получим итерационный процесс Пикара к у, (х) = т! + ~ 1(т, у -з (т)) с(т, уз (х) = — т! (9) (приближенное решение, в отличие от точного, мы будем обозна- чать через у).

На каждой итерации этого процесса интегрирова- ние выполняется либо точно, либо численными методами, описан- ными в главе 1Ч. Докажем сходимость метода, предполагая, что в некото- рой ограниченной области 6(х, и) правая часть г(х, и) непре- рывна и удовлетворяет по переменной и условию Липшица , 1 (х, и,) — 1 (х, из), «1. ~ и, — из Ч Поскольку область 6 (х, и) ограничена, то выполняются соотношения ',х — $: « а, ;и — з!, '«:8. Обозначим погрешность приближенного решения через г,(х) =у,(х) — и(х). Вычитая (8) из (9) и используя условие Липшица, получим к ! гк (Х) « Е )! гз ! (т) С(т.

Решая это рекуррентиое соотношение н учитывая, что ,'г,(х) ~ = = !т! — и (х)( « (з, найдем последовательно ! г, (х) ! « Ь(. (х — Е), ) г, (х) ! « — И.з (х — Е)', ..., ( г, (х) /,-= †, о1.' (х — $)з. Отсюда следует оценка погрешности ! г, (х) / « — (аЕ.)' "- =. ! — ~ . (10) з! ф'2зз! з, Видно, что шах ~ г,(х) !-з-0 при в-з-со, т. е. приближенное резие- ние равномерно сходи!пся к точному во всей области 6(х, и).

Характеристики

Список файлов книги