1626435584-7c6402f545ecf856225d6cf8d21519c9 (844233), страница 11
Текст из файла (страница 11)
подбирать замену перемен- лппгоксимлция Функции !гл и ных ь (г), ~ (х), т! (у), преобразующую описываемую функцией поверхность в плоскость. Например, законы зависимости давления горячих газов от температуры и плотности Р (Т, р) близки к степенным. Поэтому при составлении таблиц свойств газов выгодно табулировать ь=-1яР при аргументах $==!я 7, 7) = !ар и сетки по новым аргументам брать равномерными (к сожалению, физики редко это делают).
Сходные закономерности справедливы для других термодинамических функций, коэффициентов теплопроводности и электропроводности и еще многих свойств веществ. В дальнейшем мы будем предполагать, что выравнивающие переменные уже подобраны, н таблицы составлены в новых переменных. Тогда в качестве интерполирующей функции можно использовать многочлеи невысокой степени. 2) Не любое число узлов интерполяции выгодно: Если для одной переменной степень миогочлепа была взаиМно однозначно связана с числом 'узлов,' то для двух переменных многочлен и-ой степени д'„(х, у) = 'У, 'а„„х'у'" имеет (и+1) (и+2)!2 узлов. л-ьт =.О Если число узлов не соответствует этой формуле, то часть коэффициентов прп высших степенях должна задаваться принудительно (в частности, нулями); для выбора этих коэффициентов редко есть разумные основания. 3) В многомерном случае иначе определяется понятие экстра)(оляции.
Возьмем узлы интерполяции и соединим их попарно о прямыми (в случае большего числа измере- ний — гиперплоскостями). Крайние отрезки рис. 7. ограничивают выпуклую область (рис. 7). Если искомая точка попадает в эту область, то имеет место интерполяция; если не попадает, то экстраполяция. 4) Не всякое расположение узлов допустимо. В одномерном случае узлы не должны были совпадать.
Теперь же для интерполяции многочленом д',(х, у) необходимо, чтобы узлы не лежали на одной прямой в плоскости (х, у). В самом деле, система трех уравнений а+ Ьх, +су, = г~ имеет определитель ! х, у, Ь(г, гм гз)= ! х, у,)=х (у,— уэ)+хэ(уа — у1)+хэ(уг — уэ), (30) хз уз! который обращается в нуль, если узлы лежат на одной прямой. При интерполяции многочленом Уэ(х, у) требуется, чтобы узлы ие лежали на кривой второго порядка и т.
д. АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ !Гл. и интерполяции, изображенную на рис. 9 или повернутую на угол, кратный 90', то число узлов будет равно (а+1) (д!+2)!2. Это число однозначно определяет многочлен и-й степени, который удобно записать в форме Ньютона, вводя разделенные разности функции двух переменных. г(ло х,; у)=(г(хо у) — г(хг, у))!(хо — х!), г (х; у„ у,) = (г (х* уо) — г (х УЛ/(уо — у ) и т. д. Такими же рассуждениями, как в одномерном случае, можно показать, что интерполяционный многочлен лагранжева типа имеет следующий вид: У!„(х, у) = л л — 1 ! — 1 ! — ! г (хо хд! уо у!) Ц (л хр) Ц (у уд) (33) -о!=.о р=о д=о В одномерном стучае переменная у и индексы 1, а исчезают, так что форл!ула (33) переходит в обычную формулу Ньютона. Многомерная интерполяция настолько громоздка, что обычно используется только многочлен первой или второй степени; читателям предлагается записать формулы (31) — (ЗЗ) для этих случаев.
Многочлены более высоких степеней используются много реже. По той же причине интерполяция эрмитова типа для многих переменных практически не употребляется. Сплайновая интерполяция используется в основном при разностном решении уравнений в частных производных. Иногда мы вынуждены работать с функцией, заданной на нерегулярной сетке (иапример, с функцией, измеренной экспериментально). Тогда обычно ограничиваются интерполяциопным многочленом первой степени; его коэффициенты находят по трем выбранным узлам, приравнивая в них многочлеи табличным значениям функции: г — а+ Ьх+ су, г! = а+ Ьх1+ суь ! = 1, 2, 3. (34) Вычислять коэффициенты а, Ь, с на самом деле не нужно.
Заметим, что равенства (34) означают, что столбец (г, г„го, го) есть линейная комбинация трех столбцов, стоящих в правой части при коэффициентах. Следовательно, составленный из всех четырех столбцов определитель равен нулю: г ! х у г, 1 х! у, 1 «о р'г сгвднвквздгхтичнов пгивлижвнив $ з! Раскрывая этот определитель по первому столбцу и вспоминая формулу (30), получим следующее выражение для интерполяционного многочлена; г=М~(~' лз лз)+гзФ(л> л лз)+ +гзЛ(лм тз, г)1,/'Л(лд, зз >зз) (35) Эту процедуру вывода формулы нетрудно обобщить на многочлен любой степени при произвольном расположении узлов, но сами формулы для многочленов высокой степени получаются громоздкими и неудобными для вычислений.
$ 2. Среднеквадратичное приближение !. Наилучшее приближение. Интерполяция позволяет легко аппроксимировать функцию у(х). Однако точность такой аппроксимации гарантирована лишь в небольшом интервале порядка нескольких шагов сетки. Лля другого интервала приходится заново вычислять коэффициенты интерполяциошюй формулы. Нам же всегда желательно иметь единую приближенную формулу у — р(х), пригодную для большого отрезка а= х=-б.
Поэтому далее будем сравнивать заданную и аппроксимирующую функции на большом отрезке. При интерполяции мы приравниваем значения у(х) н р(х) в узлах, Если у(х,) определены неточно — например, из эксперимента,— то точное приравннванне неразумно. Поэтому нередко целесообразней приближать функцию не по точкам, а в среднем, т. е. в норме Уз Пусть заданй функция у(х) и множество функций зр(х), принадле>кащие линейному нормированному пространству функций. Нас интересуют две задачи, Первая — аппроксимация с заданной точностью: по заданному е найти такую ч>(х), чтобы выпо,тнялось неравенство ~~у (х) — зр (х)11-.-.. г, Второе — нахождение наилучшего приближения, т.
е, функции ф(х), удовлетворяющей соотношению ~~у (х) — ср (хЩ = ш( |!у (х) — Ч> (х) з = т. (36) Существует ли наилучшее приближение и единственно ли оно (для данных функции и множества)? Это имеет место не при любом выборе пространства н множества. Например, в пространстве („— 1:::-х-=+1, выберем функцию у(х)=1 и множество зр(х) =сх; тогда +> ( 2 при (с)(1, ((У вЂ” зРРс, = ~ ( 1 — сх, 'е(х=-~ з +! ~ — — »2 при ~с,)1. В самом деле, при',с' == 1 эта норма равна площади заштрихованной трапеции на рис.
10, а, т. е. двум. При,'с(~1 эта АПпиоксИмлция Функций 1гл. и норма, согласно рис. 10, б, равна площади заштрихованной трапеции (которая опять равна двум) плюс площади заштрихованных треугольников. Значит, для любого с, по модулю меньшего единицы, ~р=сх минимизирует норму отклонения, т. е. наилучшее приближение здесь существует, но оно не единственно. и а) Выведем достаточное усдовие существования наилучшего приближения. Пусть в линейном пространстве функций выбрано множество, образованное функциями вида (37) где функции 3Ч,(х) можно считать линейно-независимыми.
Это множество есть линейное подпростраиство нашего пространства. Изменим один из коэффициентов суммы (37) на величину ба,; из неравенства треугольника (1.3) следует фу — (~р+Ьр)1~ — !1у — ср11~ ~ ~~бср~1 = ) бах ( ~1срД, т. е. норма 1~у — ~!! непрерывно зависит от ам Очевидно, риЛ1 также есть непрерывная функция коэффициентов а„. Рассмотрим нормы как функции координат ам Сфера есть замкнутое ограниченное множество, поэтому Щ1 иа этой сфере имеет точную нижнюю грань р и в силу непрерывности достигает ее при некотором $(х) Очевидно, р)0; в противном случае ф(х) = — О, что противоречит линейной независимости сри(х). 53 СРЕДНЕКВАДРАТИЧНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ Возьмем шар ~х~ ~алс =- )!2 = ~ э+!!у!!+е ~2 / р', где е — какое-то л=! положительное число. В силу однородности нормы функции вне этого шара Еср!ГЗ- ИИ = — Р+ Щ~+е и, следовательно, йу — ср~~ =- "--~)ср!1 — ~~у!Г.
т+е. Значит, вне этого шара норма погрешности заведомо далека от нижнеи грани. Только внутри шара у(х) и сг (х) достаточгю близки по норме. Но шар — ограниченное и залскиутое множество значений координат ал, поэтому непрерывная функция координат !~у — сей! достигает на нем точной нижней грани. Следовательно, в любом линейном нормированном пространстве при линейной аппроксимации (37) наилучшее приближение существует, хотя не во всяком линейном пространстве оно единственно. На практике используются пространства !'.2 и С.
В этом параграфе рассмотрим приближения в пространстве Ц, т. е. среднеквадратичную аппроксимацию. 2. Линейная аппроксимация. Рассмотрим гильбертово пространство 7.2 (р) действительных функций, интегрируемых с квадратом с весом р (х) > О на [а, Ь). Норма в нем равна й) йс,=)/(~, )), где скалярное произведение определено следующим образом: (7, ср) = ~ р (х) 7 (х) ср (х) с(х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
