1626435584-7c6402f545ecf856225d6cf8d21519c9 (844233), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Правда, в этом примере У расположение узлов было грубо неравномерным. Но равномерное -1 р 1 -у Ьг Рис. 3. Рис, 4. расположение не всегда спасает. С. Н. Бернштейн в 1916 г. доказал, что для функции у(х)=[х] на отрезке 1 — 1, +1), покрытом равиоыерной сеткой узлов, значения ~'л(х) между узлами интерполяции неограниченно возрастают при и -ьсо. Это иллюстрируется рис.
4, где даны 'графики функции и двух многочлевов разных степеней. Волее того, для любой наперед заданной системы узлов можно найти такую непрерывную фчнкцию, чго построенные по этим узлам и функции много- члены Ньютона не будут равномерно сходиться. Но сходимости в среднем для мпогочленов Ньютона всегда можно добиться следующим несложным выбором узлов. Пусть Ф„(х) †систе многочленов, ортогональных с весом р(х) на отрезке [а, Ь], и х1 — нули этих миогочленов. (л1 Используем эти точки в качестве узлов интерполяций; тогда ь ) [У„(х) — у (х))з р (х) бх -ь 0 а при и -~ос для любой непрерывной функции.
Для многочленов Эрни~а получены более сильные результаты. Пусть функция у(х) непрерывна на [ — 1, ] 1]; возьмем в качестве узлов нули многочленов Чебышева первого рода Та(х) (см, Приложение); фиксируем в этих узлах значения функции, а вместо ее производной возьмем любые числа сгю удовлетворяющие условию 1~т шах [ею!пи/л]- — -.О.
Построенный по всем этим зна- л со 41 Р!нтерполировлнне чениям мнагочлен оуг"з„; (х) равномерно сходится к р(х) при л -ьсо. Очевидно, если у(х) имеет ограниченную производную, то в качестве сы можно брать значение производнон в узлах. Но и для многочленов Эрмита неудачный выбор узлов может испортить сходимость, 1-!апример, ряд Тейлора ((7) расходится, сслн ) х — х,, 'больше расстояния от к, до ближайшей особой точки в комплексной плоскости. Выводы. На практике интерполировать мпогочлепом высокой степени нежелательно.
Если 3 — 5 узлов (точнее, свободных параметров) не обеспечивают требуемой точности, то обычно надо не увеличивать число узлов, а уменьшать шаг таблицы, 8. Нелинейная интерполяция. Полиномиальная интерполяция по оценке (11) имеет погрешность М„„(йг2)""т, и при повышении порядка точности формулы на единицу погрешность меняется примерно в ЬМ„,~2М„чт раз. Если шаг достаточно мал, то погрешность прн этом уменьшается. Но если шаг велик, или производные быстро растут с увеличением порядка, то погрешность может увеличиваться при увеличении порядка точности формулы. С этим часто приходится сталкиваться при работе Таблица б с быстро меняющимися функциями. Пример 1.
Пусть требуется найти значение у(0,5), если функция задана таблицей 5 (в ней выписаны не только значения функции, но и разделенные разности). Используя иитерполяционный многочлен Ньютона и ведя вычисления по верхней строке таблицы 5, запишем последовательно члены все более высоких порядков: гр (0,5) = 1+ 5 — 12,5+ 63,?5 —... Этот ряд содержит быстро возрастающие члены н совсем не похож на сходящийся; поэтому вычислить функцию с его помощью не удается. Функция слишком быстро меняется или, что то же самое, шаг сетки с'.тишком велик для данной функции (рис.
5, а). Как интерполировать такие функции, если более подробных таблиц нету Универсального рецепта, пригодного для любой функции, не существует. Однако для конкретной функции нередко удается найти свой способ интерполяции, дающей разумную точность, Такая интерполяция обычно нелинейна. Для этого нужно располагать дополнительной информацией о качественном поведении функции. Часто ее можно получить, зная физический смысл р(х). Например, проходящий через погло- АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЯ [ГЛ.
П 555 щающую среду свет ослабляется примерно по экспоненциальному закону; сопротивление движению в газе зависит от скорости примерно как о'", где и — 1 для ламинарного движения, т=2 для турбулентного и т)2 вблиаи звукового барьера. Нередко помогают формальные математические соображения — изучение графика функции и сравнение его с У" графиками хорошо изученных функций (в первую очередь элементарных) .
Выяснив качественное пожвд У ведение функции, стараются подобрать такое преобразование переменных т1 = 11(р), у ч=5(к), чтобы в новых переменных график и Я) мало отличался от прямой на пров тяжении нескольких шагов гвв Д' г Е 5 таблицы. Тогда в перемен- А ных Ч($) интерполяция мнои е г гочленом невысокой степени а> будет давать хорошую точность.
Вычисления заключаются в составлении таблицы для новых переменных Ч,=т)($;), интерполяции по ней и нахождении у = у (и) обратным преобразованием. Зтот способ называют методом выравнивания. Пример 2. Проиллюстрируем метод выравнивания на примере функции, заданной таблицей 5. Нетрудно заметить, что зависимость близка к показательной, р(х) =10; значит, в переменных Ч=х, и=!Пр график будет почти прямым (рис. 5, б). Составим новую таблицу б и проведем интерполяцию по формуле Ньютона т1* = т1 (0,5) = О+ 0,5207+ 0 — 0,0004 — 0,5203. Теперь члены ряда быстро убывают, обеспечивая хорошую точность; считая, что точность 0* примерно равна последнему члену ряда, обратным преобразованием получим, что р(ц") — 3,314 ИО,!,;. Очевидно, что удачно подобранное выравнивание позволило получить высокую точность интерполяции. Замечание 1.
Для каждой конкретной функции подбирают свой вид нелинейной интерполяции. Для других функций этот вид, как правило, будет давать плохую точность. 3 а м е ч а н и е 2. Оценка погрешности такой интерполяции содержит старшие производные т1($). Их трудно найти, поэтому на практике удобнее оценивать точность по скорости убывания членов в формуле Ньютона, как было сделано выше.
Употреби- 43 ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ телен также следующий прием: для одного нз узлов х, вычисляют у(х;) интерполяцией по соседним узлам и сравнивают с табличным значением уь Таблица 6 Пример 3. Отбросим в таблице 6 узел $=! и связанные с ним разделенные разности. По оставшимся трем узлам приближенно вычислим отброшенное значение Ч(1) =1,0382 или у(1) -10,92. Последняя величина бтличается от табличного значения на 0,8%. Зто вычисление велось фактически с шагом 8,=2 многочленом второй степени„имеющим погрешность 0())а).
Значит, при вычислениях с шагом Й=! погрешность должна уменьшиться в ())о)й)а= 8 раз и составить 0,1%. Это хорошо согласуется с оценкой по последнему члену ряда, сделанной выше. Замечание 3. Оба прямых преобразования т)(у), $(х) и обратное преобразование у(Ч) должны выражаться несложными формулами, иначе метод выравнивания будет малопригодным на практике. Удобны преобразования типа логарифмирования, вычисления экспонент, тригонометрических функций и другие, имеющиеся в библнотеках стандартных программ современных ЗВМ (или легко выполнимые на логарифмической линейке). 3 ам е ч а н и е 4.
В исходных переменных интерполяция нели- пейна относительно параметров; в данном примере она имела вид л <е(х) =ехр) У, 'ааха1. Однако в переменных т), $ она линейна по ',а =-. о параметрам. Такая нелинейность мало осложняет работу, поэтому интерполяцию подобного вида будем называть кеазилинейной. Встречаются случаи, когда метод выравнивания неприменим. Например, если у(х) — а(х+Ь)', то не удается найти такие координаты, которые превращали бы график в прямую и не содержали бы явно параметров ей Ь, с. Тогда зависимость от параметров не сводится к линейной и отыскать параметры н выполнить интерполяцию нелегко.
Такую интерполяцию будем называть еущееп)еенно нелинейнои; на практике она используется крайне редко. Замечание 5. Если выравнивающие преобразования переменных просты, то иногда удается явно выразить Зо (х) через Аппроксимхция Функции [ГЛ. И табличные значения функции в исходных переменных. Например, двухточечная интерполяция многочленом Ньютона в выравнивающих переменных имеет следующий вид: Ч=Чо+(Ч вЂ” 11о) 6 — Ро)!й-$о), $.=$($,. Если при выравнивании используется преобразование Э=х, т1=1п у, то, возвращаясь к исходным переменным, получим у (х) = у, (у„'у,)<' 'л~' ' >, х, ~ х -- х,. (19) Но при большем числе узлов интерполяции подобные формулы становятся настолько громоздкими, что более выгодно пе пользоваться ими, а проводить вычисления в выравнивающих переменных, 9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
