1626435584-7c6402f545ecf856225d6cf8d21519c9 (844233), страница 13
Текст из файла (страница 13)
! где при малых номерах Ь, — О, а при больших номерах они достаточно быстро возрастают, причем Ьл-э со. Регуляризация по числу членов означает, что выбрано ЬА=О при А~А' и Ьь=со при й:-»А'. Естественный способ выбора регуляризирующих множителей предложил А. Н. Тихонов [441, показавший, что если ортогональная система ч!л (х) есть система собственных функций задачи Штурма — Лиувилля: — „- ~р (х) Д вЂ” ~Л+ д (х)) ср (х) = О, ср'(а) = ср'(Ь) = О, то сумму обобщенного ряда Фурье следует заменить на Ч!(х; а) = ~~ ~~ Ч!А(х), а>0. л=.! (40) Поскольку собственные значения Х, положительны и быстро растут при я-!- Со, то. опшбки на высоких частотах хорошо подавляются. В главе Х1У, в 2 будет показано, что суммирование ряда (40) устойчиво, а сумма !р(х; а) равномерно сходится скорости изменения этих ошибок равны, т.
е. при ал+, бах,+,. Получается естественный вывод: надо суммировать только те члены ряда, коэффициенты ал которых превышают уровень ошибки бам Суммирование следующих членов ряда только ухудшает точность и может привести к бессмысленному результату, как видно из примера с вычислением ебп 2550' (в котором роль ошибок коэффициентов играют погрешности округления при вычислении максимальных членов суммы).
Ранее отмечалось, что если у(х) имеет ограниченную р-ю производную, то он=О(А! !Р! И). Отсюда следует, что по порядку величины оптимальное число членов А!=0(ба !яэ+'!), а достигаемая при этом погрешность бг+6,=0(баРЯР+и), Для достаточно гладких функций оптимальное число членов оказывается небольшим и при уменьшении ба растет, но довольно медленно. Достигаемая точность тем выше, чем более высокие производные имеет функция. Ре гул яр из аци я форм — фактором. Описанный способ напоминает обрезание шумов в радиотехнике. Но подавлять шумы можно и с помощью форм-фактора, лишь ослабляющего высокие частоты.
Для этого каждый член ряда (37) делят на соответственно подобранную величину 1+ Ьл и суммируют достаточно большое число членов ряда СРЕДНЕКВАДРАТИЧНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ й 21 к у(х) при е=тпах)ба»)-»-О, если параметр а-э О по определен- ному закону. Там же будет рассмотрен выбор параметра регуля- ризации а; сейчас отметим, что оптимальное 12=се(е) монотонно стремится к нулю при е-ьО.
Попытки улучшить сходимость тригонометрических рядов Фурье предпринимались давно. В методе Фейера рассматриваются частные суммы ряда Ф>рье: л 1р(х; л)=а»12+ ~ (а» созйх+Ь» Ип Ьх), »-1 н составляется функция 1 ф (х; У) = - — 7, 1р (х; л). л о ф'(х; л)= — ~Ф (х+ — "-; л) — Ф (х — —; л)1, На метод Ланцоша похож метод С. Н. Бернштейна, в котором полагают ф(х, «)= — (1р(х, л)+гр (х+ ' и) ~.
Это обеспечивает равномерную сходимость для любой непрерывной функции у (х). Однако последние три метода не слишком точны, и область их применимости узка; поэтому с появлением регуляризации по А. Н. Тихонову их почти перестали употреблять. 4. Метод наименьших квадратов. Если вещественные функции заданы табличио, т. е. на конечном множестве точек, то их скалярное произведение определяется формулой Д, 1р)=~~', р1~(хг)1р(х1), р1~0, (41) где Л' — полное число узлов таблицы. Тогда условие наилучшего среднеквадратичного приближения примет вид б~ ~х„р; = 'У, 'р1 (у (х1) — гр (х1))а = ш)п.
(42) Эта функция при А'- со равномерно сходится к у(х), если последняя непрерывна. Скорость сходимости невелика; если ограничиться небольшим числом членов, то все резкие колебания фуйкции будут сильно сглажены. Реально для хорошей передачи одного резкого скачка надо взять около 20 гармоник, а 1О гармоник дают невысокую точаость.
Более быструю сходимость и меньшее сглаживание функции дает метод о-множителей Ланцоша. В нем частная сумма 1р(х, л) осредняется по отрезку х ж л((2л), т. е, по одному полупериоду наивысшей гармоники. Это приводит к умножению каждого члена частной суммы на а»=(2л/(и»)) а(п(л»/(2л)). Метод Ланцоша позволяет даже почленно дифференцировать ряд Фурье, причем выполнение всех выкладок приводит к аесложной формуле лпппоксимация Функция ггл. П бо Выберем линейную аппроксимацию о гр(х) = '5, 'а„лра(х) а=1 с числом членов п.:= Аг.
Тогда коэффициенты аппроксимации находятся из уравнений (38), где скалярные произведения нада брать согласно (41); эти уравнения можно получить и непосредственно, подставляя обобщенный многочлен в (42) и приравнивая нулю производные по коэффициентам. Описанный способ нахождения аппроксимации называется лгетодолг наименыиих квадратоа. Метод наименьших квадратов широко используют для обработки экспериментальных кривых, точки которых измерены с заметной погрешностью е.
В этом случае весу р, придают смысл точности измерения данной точки: чем выше точность, тем большее значение веса приписывают точке *). Аппроксими- рующая кривая будет прохо- ЪрКО дить ближе к точкам с большим весом. Сходные соображения используют в математической постановке задачи: выбирают весовую функцию р (х) большой при тех значениях аргумента, где нужно получить более высокую локальную точность аппроксимации. Если число коэффициентов аппроксимации л взять равным числу узлов Лг, то среднеквадратичная аппроксимация совпадет с лагранжевой интерполяцией.
Очевидно, при наличии значительных ошибок эксперимента интерполяция неразумна. Это хорошо видно из рис. 13, показываюгдего описание измерений радиоактивного распада в выравнивающих переменных интерполяционным многочленам (пунктир) и прямой, найденной методом наименьших квадратов. Поскольку при л Аг среднеквадратичная аппроксимация близка к интерполяции, то хорошее сглаживание ошибок эксперимента будет при гг~~ыЖ; но если а слипжом мало, то для описания сложной кривой коэффициентов может не хватить. Должно существовать какое-то оптимальное число коэффициентов; опо зависит от функции у(х), числа узлов Аг, их расположения, весов и от выбранной системы ота(х). Оптимальное число коэффициентов определяют следующим образом.
Выбирают некоторое и, находят из условия (42) соот- *) Обычно полагают о,.=-а--", е( СРЕДНЕКВАДРАТИЧНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ветствующие коэффициенты а1а>, 1 ~ й ( и, вычисляют полученное при этом среднеквадратичное уклонение б„и сравнивают его с известной погрешностью эксперимента. Если 6„:~е, т. е. математическая погрешность аппроксимации много больше физической погрешности исходных данных, то число коэффициентов недостаточно для описания у(х), и надо увеличить л.
Если б„~е, то старшие коэффициенты аппроксимации физически недостоверны, и надо уменьшить и. Если 6„- е, то число коэффициентов оптимально. Обычно начинают расчет с п = 1, когда наверняка 6, ~~<а, и увеличивают число коэффициентов до тех пор, пока не выполнится условие 6„ - е. Если при этом и -:-.' А(, то вид аппроксимирующей функции выбран удачно.
Если же и.„, Аг, то следует поискать более подходягций вид аппроксимирующей функции. Отметим некоторые употребительные частные случаи метода наименьших квадратов. Первый — полиномиальная аппроксимация, когда срь(х) =ха при О-=.е(л. Система (38) принимает при этом вид ~Ч, '(х'", хь)аь=(у, хю), 0 —.т =и, ь=а (х, х") = Р, 'р,х~р+, (у, х ) = ~Ч, 'ргузх,".
(43) з= 1 Поскольку степени на любом отрезке образуют чебышевскую систему, то определитель Грама отличен от нуля и задача (43) имеет единственное решение. Но система степеней не ортогональна, и при больших значениях и задача (43) плохо обусловлена. Можно обойти эту трудность, строя и используя многочлены, ортогональные с заданным весом на заданной системе точек; но к этому прибегают только в задачах, связанных с особенно тщательной статистической обработкой эксперимента.
Обычно же ограничиваются . небольшими степенями л 2 —: 5, когда обусловленность задачи (43) удовлетворительна. В т о р о й с л у ч а й — типичная радиотехническая задача о тригонометрической,аппроксимации периодического сигнала, измеренного через равные доли периода, т. е. на равномерной сетке Описанная процедура напоминает регуляризацию суммирования ряда Фурье по числу членов. Сглаживать экспериментальные кривые можно и регуляризацией по А. Н. Тихонову (ом. главу Х)Н, 4 2]; при таком сглазкнванни не требуется предположений о аиде аппроксимирующей функции, ао она успешно выполняется только при довольно большом числе узлов АГ. При очень малом А( нахождение оптимального числа козффвциентов сгановится трудной, задачей; требуется очень удачно подобрать вид ф(х), а для определения достоверности результатов необходимо привлечь аппарат статистики (см.
главу ХН). 62 1гл. и хппгокснмхция етнкцип 2л У х„=-2лр ')У, где О ==- р == )т' — 1. Вес в этом случае можно считать постоянным рр —— 1. Система комплексных функций Ч~, (х) = ехр ((йх) ортогональна с неединичной нормой на этой сетке; в самом деле, их скалярное произведение равно Л' — 1 и — 1 Й~а Мт) = ~~ Ч>й (хр) фв (хр) = ~,~ ехр ~ у (ш и) 131= Лблт р=о о=о Поэтому коэффициенты аппроксимации можно находить по форму- лам (39) при условии введения нормирующего множителя, что приводит к так называемым формулам Бесселя л у(х) — ~, а„ехр (йх), (44) 1 ю ах = — ~ у (хр) ехр ( — Ихр), р=-о Благодаря ортогональности системы функций эти формулы без потери точности можно использовать при больших и и л1 (разу- меется, п~:)У вЂ” 1).
Особенно часто выбирают У=12, нбо тогда все коэффициенты очень просто вычисляются. Третий случай — это несложное сглаживание эксперимен- тальных таблиц, точки которых измерены со значительными ошибками. Возьмем несколько соседних точек, и в этом узком интервале построим среднеквадратичную аппроксимацию с одннм- двумя параметрами. Центральной точке припишем то значение, которое дает аппроксимация. Для равноотстоящих точек и еди- ничного веса это приводит к несложным формулам. Например, для трех точек при аппроксимации многочленом первой степени из (43) нетрудно получить Й=- )з Ь~-1+У~+Ум1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
