1626435584-7c6402f545ecf856225d6cf8d21519c9 (844233), страница 14
Текст из файла (страница 14)
(45) В радиотехнике этот способ сглаживания называют фильтром, ибо он ослабляет высокочастотные колебания, мало влияя на низкочастотные. Все способы сглаживания надо применять осторожно, поскольку при этом можно исказить поведение функции.
б. Нелинейная аппроксимация. Линейная, особенно линейная полнномиальная, аппроксимация часто не соответствует характеру функции. Например, многочлен высокой степени быстро растет при ~ х',- со; поэтому даже несложную функцию у(х) = 1,'(1+х') многочлен плохо аппроксимирует на большом отрезке. Поскольку аппроксимация проводится в широком интервале изменения аргу- мента, использование нелинейной зависимости от коэффициентов здесь еще выгодней, чем при интерполяции.
бз сгвднеквлдохтичнов пгивлижение На практике используют два вида зависимости. Один — квази- линейная зависимость, сводящаяся выравнива1ощей заменой переменных т) (у), $(х) к линейной, которая подробно изучена в предыдущих пунктах. Этот способ очень эффективен и часто используется при обработке эксперимента, ибо априорные сведения о физике процесса помогают найти хорошую замену переменных. Надо только иметь в виду, что приближение, наилучшее в новых переменных, не будет наилучшим в смысле скалярного произведения в старых переменных.
Поэтому на выбор веса в новых переменных надо обращать особое внимание. Классический пример — задача о радиоактивном распаде облученного образца, в которой удобны переменные 11 == 1яу и г, где у(() — скорость распада. В этих переменных кривая обычно аппроксимируется ломаной, звенья которой соответствуют распаду все более долгоживущих членов радиоактивного ряда. Другой употребительный вид зависимости от коэффицнентов— дробно-линейная, когда аппроксимирующая функция рациональна: ~Р(х)=-Р„(х),ГЯ (х)=-~ У алхл~() ~ Ьохч). (46) Нередко используется и отношение обобщенных многочленов. Такая аппроксимация позволяет передать полюсы функции у(х)— им соответствуют нули знаменателя требуемой кратности.
Зачастую можно воспроизвести асимптотическое поведение у(х) при х- со за счет соответствующего выбора величины и — т; например, если у(со) =сопз1~0, то надо положить и — — ш. При этом сами и, гп можно брать достаточно большими, чтобы располагать многими коэффициентами аппроксимации. Однако квадрат погрешности ,'! у — (Р„,ГЩ„) ,';с, уже не будет квадратичной функцией коэффициентов, так что найти коэффициенты рациональной функции нелегко, Можно по аналогии со среднеквадратичной аппроксимацией мцогочленами выдвинуть гипотезу, что погрешность у(х) — [Р„(х),ГЯ„, (х)) имеет на [а, Ь1 число нулей, не меньшее числа свободных коэффйциентов (сравните с замечанием 3 в п.
2). Тогда задача сводится к лагранжевой интерполяции по этим нулям хр и коэффициенты ал, Ьо находятся из системы линейных уравнений: у(хр) у; Ь хо= ',),' алхл, О=р(п+т; Ь =1. (47) д:=о л.=о Разумеется, точное положение нулей неизвестно; их выбирают произвольно, обычно равномерно распределяя на отрезке [а, Ь1. Этот способ называют методом выбранних точен. Полученное этим методом приближение ф(х) вовсе не будет наилучшим. Кроме !гл. и аппроксимация окнкции того, метод выбранных точек неразумен, как и всякая интерполяция, если у(хр) имеют заметную погрешность.
Наилучшее приближение можно найти методом ипзврирвванного веса. Заметим, что задача /,'('„)ж (х) р(х) — Р„(х) Ц, =пни легко решается: стоящее слева выражение есть квадратичная функция коэффициентов аь, йы и дифференцирование по ним при- водит к линейной системе для определения коэффициентов, сход- ной с (38). Новая задача отличается от исходной по существу тем, что вместо веса р (х) используется другой вес р (х) (гма (х), поэтому ее решение не является наилучшим приближением. За- пишем исходную задачу в новой форме: ь /!у — (Р„,Я ) ()ь,=~р(х) Я (х)у(х) — Р„(х)]а Пх=пцп, а (48) р (х) = р (х), гя' (х), и будем решать ее простым итерационным процессом ро! (х) р (х) ~Ящ' (х)1 ь ~ р!'1 (х) (Я~" ,(х) у (х) — Ро! (х)~ с(х = пцп; а (49) а) Рассмотрим некоторые примеры аппроксимации рациональной функцией. Положим 1 1 у (х) =!п (1+к) =х — — ха -(- — ла.(-...; 2 3 заменяя два первых члена ряда дробью, получим 1п (1+х) =2х)(2+к).
Эта несложнаЯ фоРмУла обеспечивает точность — 1% пРи — г/а---к ма 1 и очень удобна для оценок, б) В теории вероятностей важную роль играет интеграл ошибок Ф(х), для которого известны разложения в ряды: к Ф(х)= — ~ е 1 г(ть==!х — — хт, —.ха --хт 1 ) 2 г 1 2 / ! ! 1 )г„--,) ' ~„- ~ 3' 1о 48 о 1 к~Г 1 „3 15 Ф(х)~1 — —,е "(1 .ха ( .ха --ха ! ) «)Уи (, 2 а 8 за нулевое приближение можно взять (~м'(х) = — 1. На каждой итерации вес известен по предыдущей итерации, поэтому коэффициенты а~ь", 6!о легко находятся пз условия минимума квадратичной формы. Практика показывает, что коэффициенты наилучшего приближения слабо зависят от выбора веса, поэтому обычно итерации сходятся быстро.. СРЕДНЕКВАДРАТИЧНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ В указанных диапазонах изменения аргумента погрешность первой формулы ие превышает 0,44ю а погрешность второй формулы — 2,44де.
Таким образом, точность этих аппроксимаций вполне достаточна для многих 'практических приложений. в) Положим у(х)=агс!йх при О=.х (со. Эта функция монотонна, причем у(х) =х прн х-РО и у(+ оз)=п/2. Легко построить дробь <р(х)=х '(1+ — х), удовлетворяющую тем же условиям. Она дает грубую аппроксимацию арктан~енса; локальная погрешность в точке х=! составляет 304~4. Несложное видоизменение этой формулы ага!Их-х,г'1/ 1+( — х) дает вчетверо лучшую точность.
г) Тангенс в первой четверти можно грубо аппроксимировать формулой х ~( — — х), передающей поведение вблизи нуля а наличие полюса прн х=л/2. д) В задачах рассеяний часто встречается одна из специальных функций— интегральная экспонента: Р е-' 1 жч хь Е! (х)= ~ — бт=!п — — — С+ 7 ( — 1)" 4 —. =3 т = эз уй!' х ь=! Ряд, в который она разлагается, сходится при любых положительных значе. ниях аргумента. Но только при х - ! сходимость достаточно быстрая, и ряд пригоден для вычисления функции. Если учесть асимптотику Е!(х)=е'х)х при х-ьоо, то рациональную аппроксимацию при хзи! целесообразно искать в следующем виде: л зд)г л Е1(х) — — у ааль 7 Ьчхч, а„=Ь„=1, х е=э е=о (б 1) где не полииомиальная часть асимптотики выделена отдельным множителем.
Оказывается, уже л=з, т. е. шесть свободных коэффициентов обеспечивакл точность 10 444. Отметим, что рациональными функциями при небольшом числе коэффициентов можно удовлетворительно аппроксимировать функции с разрывами производной вроде у(х) =(х~, которые плохо поддаются аппроксимации другими способами. Первый ряд абсолютно сходится, но при х)1 сходимость очень медленная; второй ряд сходится асимптотически при больших значениях х. Заменяя первые члены каждого ряда дробями, получим Ф (х) бх при хс!, )' и (3+ха) Ф (х) ~ 1— 2х „4 е при х~!.
)' и (1+ 2хз) (гл, И АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ 9 3, Равномерное приближение 1. Наилучшие приближения. Поскольку чебышевская норма сильнее нормы Б, то принято считать, что равномерная аппроксимация лучше аппроксимации в среднем. Поэтому поиску равномерных и особенно наалучших равномерных приближений, определяемых условием Л(у, гр)=ппп, где Л(у, гр)= гпах (у(х) — гр(х)!, (52) а к<э где минимум ищется на множестве функций гр (х), посвящено много работ. В частности, получены следующие результаты (доказательства большинства из них приведены в учебнике И.
С. Березина и Н. П. Жидкова (4]). а) Гели выбрала линейная аппроксимация (37) с чебышевской системой функций фь(х), то равномерное наилучшее приближение единственно"). Дока. зательство существования наилучшего приближения для этого случая было приведено и й 2, и, 1. б) Чтобы обобщенный многочлеи гр(к) по чебышевской системе функций Фа (л), ! -- к - и, был наилучшим равномерным прибчижением к у'(х) на [а, Н, необходимо и достаточно, чтобы иа этом отрезке нашлось не менее и+1 таких точек, в которых погрешность б(х)=у(х) — гр(х) попеременно принимает значения + Л и — Л (р, гр), Следовательно, погрешность имеет на (и, б) ие менее п нулей, как и у миогочленов наилучшего среднеквадратичного приближения, Впервые этот результат бьш получен П.
Л, Чебышевым в 1859 г. для алгебраических многочленов. в) Для функции р(х), имеющей р непрерывных производных„ причем уаи(х) удовлетворяет у~повию Липшица с константой (р, Д. Джексоном в 1911 г. получены некоторые оценки скорости сходимости наилучших равномерных приближений. При аппроксимации алгебраическим многочленом и-й степени на отрезке — 1 ~ х -= 1; Ла (Сае)ятг)р/Ь 2л (Я+1) пялг) =О(1)лг з) (53) а при аппроксимации периодической функции с периодом 2п тригонометрическим многочленом такой нсе степени: Л„),(С,У)Р =О(1У! (54) где Са — универсальная константа (Са(137), С.
Н. Бернштейн доказал, что пз сходнмости приближений со скоростью О (1)пР' ые), е ) О, следует наличие у функции ограниченной р-1-1-й производной, поэтому оценки Джексона почти иеулучшаемы. Таким образом, эти приближения для достаточно гладких функций быстро сходятся при п-~-со, а для липшиц-непрерывных, ио не гладких функций следует полагать р = О, т. е. для иих приближения сходятся медленно. Для произвольной функции, непрерывной на конечном отрезке а ек х«=.
б, равномерные приближеиня алгебраическими и тригонометрическими чногочленами таклсе сходятся (теорема, доказанная К. Вейерштрассом в 1885 г„но скорость сходимости, как показал С. Н. Бернштейн в 1938 г., может быть скгшь угодно малан, 1(некио, как бы медленно ни убывали члены монотонной последовательности ба-ко, б„=..б„ы"-О, всегда найдется такая непрерывная функция р(х), для которой Л(у, Р„(х))=б„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
