1626435584-7c6402f545ecf856225d6cf8d21519c9 (844233), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Интерполяция сплайнами. Когда надо провести график функции по известным точкам у(х;), О..:( =Ф, то обычно пользуются лекалом. Однако если точкн расположены редко, то нелегко бывает подобрать участок лекала, проходящий сразу через много У ) точек. Тогда опытные инженеры берут гибкое лекало — металлическую линейку, ставят ее на ребро и изгибают, придерживая в нескольких местах пальцами так, чтобы г',.
ее ребро проходило сразу через все точки (рис. 6). 'г' Этот способ интерполяции можно описать математически. Гибкая линейка — это упругий брусок; из курса сопротивления матеРас. 6. риалов известно, что уравнение его свободного равновесия есть ~р'1' (х) =О. Значит, в промежутке между каждой парой соседних узлов интерполяцноиная функция является многочленом третьей степени, который удобно записать в таком виде: ср (х) = а, + Ь; (х — х;,) + с, (х — х~ 1)з+ й; (х — х,,)', хь,(х=хь (20) Коэффициенты многочлена на каждом интервале определяют из условий в узлах.
Очевидно, в узлах многочлен должен принимать табличные значения функции: У;, = ф (х,,) = аь 1 =1( йР, (21) у, = ~р (х;) = а; + аА + с~й~ + гЩ, Ь, = х~ — х,, (22) Число этих уравнений вдвое меньше числа неизвестных коэффи- нд!Тегполиговлддие циентов, поэтому для определенности задачи нужны дополяительные условия. Для их получения вычислим первую и вторую производные многочлена (20): др' (х) = Ь; + 2с,(х — хд,) + Зд(д (х — х;,)', др" (х) =- 2с;+ бд(д (х — л д,) при х~ „:.== х =. хо и потребуем непрерывности этих производных (т. е. гладкости л1шейкн) во всех точках, включая узлы. Приравнивая во внутреннем узле х, правые и левые пределы производных, получим Ьдэд =-Ьд+ 2сд)дд+Зс(д)д), 1 » д ~ М вЂ” 1, (23) сад — — с1 + Зс(~Ь о 1~д =М вЂ” 1.
(24) Недостающие два условия обычно получают из естественного предположения о нулевой кривизне графика на концах: ~!ддс (х0) = сд —— -О, ~дддг (хл) = см+ Зс(ч)ду =- О, что соответствует свободно отпущенным концам линейки. Но если есть дополнительные сведения об асимптотнке функции, то можно записать другие краевые условия.
Уравнения (21) — '(25) образуют систему линейных уравнений для определения 4М неизвестных коэффициентов. Эту систему можно решить методом исключения Гаусса, описанным в главе Ч. Но гораздо выгоднее сначала привести ее к специальному виду. Уравнение (21) сразу дает нам все коэффициенты а,. Из уравнений (24) и (25) следует с(;= — (с;„— сд)~'3)дд при 1 =-д~.й( — 1, (26) д( = — сх,'З)д Подставим соотношение (26) в (22), одновременно исключая оттуда а~=у;,; тогда получим Ьг = [(Гп — Уг-д)!Ьд) — дlзйд (сад+ 2сд), 1 -=.
д ~ дУ вЂ” 1, (27) Ья = [(Ул — Ум-дУ~Ы тайлсм, Исключим теперь из (23) величины Ь, и Ьцм при помощи (27), соответственно увеличивая во втором случае индекс на единицу, а величину с(д — на основании (26). Останется система линейных уравнений для коэффициентов со легко приводящаяся к следующему виду: сд — — О, Ьь,с, д+ 2 (йод+ Ь~) с;+Ь,с„д =- = 3 [(у, — уд д) 1)д, — (у,, — уд э)А д) при 2 ~ д ~ Ф, см„д = О. (28) 46 АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ 1гд.
!1 Матрица этой системы трехдиагональна, т. е. ненулевыми в ней являются только элементы главной диагонали и двух соседних. Такие системы экономно решаются методом прогонки, изложенным в главе и'. После нахождения коэффициентов с; остальные коэффициенты нетрудно вычислить по формулам (21), (26) и (27). Можно рассмотреть более общую задачу интерполяции функции сплайыом — многочленом п-й степени: п 5(х) = ~ а;ьхь, х, т~х=-хы а=о коэффициенты которого кусочно-постоянны и который в узлах интерполяции принимает заданные значения н непрерывен вместе со своими и — 1 производными. При нечетной степени многочлена п=2р — 1 можно рассматривать сплайновую интерполяцию как решение задачи лангранжевой интерполяции при дополнительном условии ~ [5'Р' (х) 1' с(х = пип. а Из этого условия следует уравнение 5"Р'(х) =О для интерполирующей функции, условия непрерывности 2р — 2 производных во внутренних узлах н естественные ограничения на производные в крайних узлах.
На практике употребительны два случая. Один — подробно рассмотренный здесь случай и =-3. Второй — п = 1, когда сплайн совпадает с многочленом Ньютона первой степени и соответствует аппроксимации графика ломаной, построенной по узлам; опреде. ление коэффициентов прн этом очевидно. Онлайновая интерполяция напоминает лагранжеву тем, что она требует знания в узлах только значений функции, но не ее производных.
По области применения она занимает промежуточное положение между линейной и нелинейной лагранжевой интерполяцией. Ее целесообразно применять тогда, когда сетка недостаточно подробна для интерполяции многочленом Ньютона, но еще не настолько редка, чтобы необходимо было прибегать к нелинейной интерполяции. Если функция так же резко меняется за один шаг сетки, как в таблице 5, то сплайновая интерполяция не гарантирует хорошей точности. Наиболее успешно применяют сплайновые интерполяции при разностном решении краевых задач для эллиптических уравнений в частных производных с гладкими коэффициентами.
1О. Монотонная интерполяция. Монотонность — важное свойство функций. Например, возьмем таблицы синусов с шагом аргумента 1', тогда на каждые 89 интервалов, в которых функция будет моногонна, придется всего 1 интервал, содерзкащий экстремум. Поэтому при интерполнции нередко желательно сохранять монотонность функции. 47 интеРполиРОВАние 4 и Если интерполяционная функпия гр(х; п) монотонна по л, тб интерполяция будет монотонной. Классический пример — двухточечная интерполяция миогочленом Ньютона К', (х]=о,бгпгх. Другим примером покет служить двухточечная квазнлпнейная интерполяция (19). Очевидно, если интерполяция квазилннейная двухточечная, а преобразования з) (у), $ (х) монотонны, то интерполяция будет монотонной. Ппьн трехтсжсчпой интерполяции монотонность может нарушиться.
В таблице о (п. 8) функция, по-видимому, монотонна. Но если использовать многочлен Ньютона с тремя узлами, т. е. оставить в формуле Ньютона только три члена, то получим у (гуз) — 6,5, что нарушает монотонность, Очевидно, это результат использования незюнотониой интерполяционной функции — параболы (ыз (х) ==ш+агх+азхз. Двухточечная йнтерполяция имеет погрешность 0(йз), и ее точность не всегда достаточна; а увеличение числа узлов может внести немонотонность. Коне|но, сели интерполяцпонный ряд Ньютона (8) хорошо сходится, а монотонность все-таки нарушена, то это означает, что функция на самом деле пеягонотонна.
Но нередко лгы вынуждены ограничиваться задвинью а формуле (нли программе для ЭВМ) числом узлов, Если при этом надо сохранить монотонностгч то можно поступать следующим образом. Найдем такие соседние точки сегкн, чтобы выполнялось хг--х=хг„г. Проведем вычислеяия по заданной многоточечной интерполяцнонной формуле и получим уч=ф(х). Если это значеяие лежит между значениями уь уг,г, то считаем ответ правильным. Если ог'о выходит за пределы и|порвала, определяемого значснвями уг, уг„„то вмесго у* в качестве ответа берем ближайшее из этих двух значении, т.
е. полагаем у(х).=у* =ш (х) при пни (уь угы) ( у* (шах (уг, угы), у(т)=ш(п(уг, угы) при у* (шит (уь угы), (29) у(х).=шах(уь уыд) при у" ) шах(уг, уыт). Эта монотоннпл интерполяция бывает полезна, например, при составлении разностных схем для уравнений в частных пройзаодных (глава Х, б 1, п. 6). 11. Многомерная интерполяция. Двумерные таблицы широко распространены в физике и технике; например, таковыми являются таблицы термодинамических функций газов, где независимыми переменными обычно являются температура и плотность. Трехмерные таблицы составляют и используют значительно реже, но ие потому, что таких зависимостей нет, а потому, что таблицы слишком громоздки.
Четырехмерных таблиц практически нет, хотя в физике немало задач с большим числом параметров; так, проводимость плазмы а(Т, р, Е, О) зависит от ее температуры и плотности, и напряженностей электрического (если сказываются нелинейные эффекты) и магнитного полей. Огметим некоторые существенные стороны многомерной интерполяции.
Для простоты ограничимся двумерными таблицами а(х, у); обобщить все результаты на большее число измерений нетрудно. 1) Чтобы объем таблиц был приемлем, приходится шаги по аргументам брать довольно большими. Это предъявляет жесткие требования к способу интерполяции. Часто приходится пользоваться методом выравнивания, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
