1626435584-7c6402f545ecf856225d6cf8d21519c9 (844233), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Если же ф„(х) =-- соз лх, то решением будет цл (х у) = ' е соз лх ' й лу. 1 Очевидно, ~р„(х) равномерно сходятся к ф(х) при л-+со; но при этом если у~ О, то и„(х, у) неограничено н никак не может сходиться к д(х, у). Этот пример связан с физической задачей о тяжелой жидкости, налитой поверх легкой; прн этом действительно возникает так называемая релей-тейлоровская неустойчивость. Отсутствие устойчивости обычно означает, что даже сравнительно небольшой погрешности бх соответствует весьма большое бу, т. е: получаемое в расчете решение будет далеко от искомого, Непосредственно к такой задаче численные методы применять бессмысленно, ибо погрешности, неизбежно появляющиеся прн численном расчете, будут катастрофически нарастать в ходе вычислений.

Правда, сейчас развиты методы решения многих некорректных задач. Но они основаны на решении не исходной задачи, а близкой к ней вспомогательной корректно поставленной задачи, содержащей параметр а; при а-~-0 решение вспомогательной задачи должно стремиться к решецию исходной задачи. Примеры таких методов (называемых регулярнзацней) даны в следующих двух главах, а нх строгое обоснование приведено в главе ХИ, 9 2.

На практике даже не всякую устойчивую задачу легко решить. Пусть йбу)~«=, Свбх~!, причем константа С очень велика. Задача формально устойчива, но фактическая неустранимая ошибка может быть большой. Этот случай называют слабой устойчивостью (нли плохой обусловленностью). Примером является такая задача; у" (х) = у (х), (9а) у(0)=1, у'(О)= — Е (9б) Общее решение дифференциального уравнения (9а) есть: у(х) =0,5(у(0)+у' (0)1е'+0,5(у(0) — у' (О)) е ". Начальным условиям (9б) соответствует точное решение у(х) =е-"; но небольшая погрешность начальных данных может привести к тому, что в решении добавится член вида ее, который при больших аргументах много больше искомого решения.

Очевидно, для хорошей практическок устойчивости расчета константа С должна быть не слишком велика. Так, если начальные данные известны точно, т. е. могут быть заданы с точностью до ошибок округления б 10 ", то необходимо, втобы С<,'101з. Если же начальные данные найдены нз эксперимента с точностью что тАкОе численные методыт бх 0,001, а требуемая точность решения бр 0,1, то допустимо С ( 100. Даже если задача устойчива, то численный алгоритм может быть неустойчивым.

Например„если производные заменяются разностями, то приходится вычитать близкие числа и сильно теряется точность. Эти неточные промежуточные результаты используются в дальнейших вычислениях, н ошибки могут сильно нарастать. По аналогии можно говорить о корректности алгоритма у = = А (х), подразумевая существование и единственность приближенного решения для любых входных данных х некоторого класса, и устойчивость относительно всех ошибок в исходных данных и промежуточных выкладках. Однако в общем случае этим определением трудно пользоваться; только в теории разностных схем (глава 1Х) оно применяется успешно. ЗАДАЧИ 1, Доказать выполнимость всех еоотношений (4).

Рассмотреть, как меняется форма записи этих соотношений при задании функции на произвольном конечном отрезке а~ Г~Ь. 2. Доказать утверждения о согласованности н подчиненности норм матриц, приведенные а конце п. 1 4 2. ГЛАВА П АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ В главе 11 рассмотрены способы построения приближенных формул для заданной функции. В 1 1 изложен способ интерполяции; он несложен и обеспечивает хорошую точность на небольших отрезках. В 1 2 рассмотрена среднеквадратичная аппроксимация, частным случаем которой является метод наименьших квадратов; она позволяет строить приближенные формулы, пригодные на больших отрезках. В 1 3 кратко изложены основные сведения о равномерной аппроксимации. 5 1. Интерполирование 1, Приближенные формулы.

Если задана функция у(х), то это означает, что любому допустимому значению х сопоставлено значение д. Но нередко оказывается, что нахождение этого значения очень трудоемко. Например, р(х) может быть определено как решение сложной задачи, в которой х играет роль параметра, или у (х) измеряется в дорогостоящем эксперименте. При этом можно вычислить небольшую таблицу значений функции, но прямое нахождение функции при большом числе значений аргумента будет практически невозможно. Функция у(х) может участвовать в каких-либо физико-техниг ческнх или чисто математических расчетах, где ее приходится многократно вычислять. В этом случае выгодно заменить функцию р(х) приближенной формулой, т. е. подобрать некоторую функцию ср(х), которая близка в некотором смысле к у(х) и просто вычисляется.

Затем при всех значениях аргумента полагают р (х) ~р (х). Близость получают введением в аппроксимирующую функцию свободных параметров а=(аы а„..., а„) и соответствующим их выбором. Подбор удачного вида функциональной зависимости ф(х; а)- искусство; некоторые советы по этому поводу будут даны в й 1, и. 8. А определение наилучших (в требуемом смысле) параметров формулы делается стандартными методами, которые и будут рассмотрены в этой главе, 2.

Линейная интерполяция. Пусть функция у (х) известна только в узлах некоторой сетки хь т. е. задана таблицей. Если АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ [Гл. и потребовать, чтобы ф(х; а) совпадала с табличными значениями в и выбранных узлах сетки, то получим систему !р(х!, а,, а„..., а,)=у(х,)= — у!, 1(»~н, (1) из которой можно определить параметры а„. Этот способ подбора параметров называется интерполяцией (точнее, лагранжееой интерполяцией). По числу используемых узлов сетки будем называть интерполяцию одноточечной, двухточечной и т. д.

Если ф(х; а) нелинейно зависит от параметров, то интерполяцию назовем нелинейной; в этом случае нахождение параметров нз системы (1) может быть трудной задачей. Сейчас мы рассмотрим линейную интерполяцию, когда ф(х; а) линейно зависит от параметров, т.'е. представнма в виде так называемого обоби(енного многочлена » р(х; а„а„..., а,) = У,'а» <р„(х). »-! (2) Очевидно, функции !р»(х) можно считать линейно-независимыми, иначе число членов в сумме и параметров можно было бы уменьшить. На систему функций !р»(х) надо наложить еще одно ограничение.

Подставляя (2) в (1), получим для определения параметров а» следующую систему линейных уравнений: ~; а»ф»(х!) =у!, »= ! 1(! (н. (3) Чтобы задача интерполяции всегда имела единственное решение, надо, чтобы при любом расположении узлов (лишь бы среди ннх не было совпадающих) определитель системы (3) был бы отличен от нуля: <р»(х!) <р»(хй ... !р„(х!) <р,(х») ф, (»») ... ф„(х») Л ж Ое! (ф» (х;)) = ~0 при х»Фхм (4) ф, (х„) !р» (хю' ...

!р„(»„) Система функций, удовлетворяющих требованию (4), называется чеб»ааееской. Таким образом, при линейной интерполяции надо строить обобщенный многочлен по какой-нибудь чебышевской системе функций. Для линейной интерполяции наиболее удобны обычные много- члены, ибо они легко вычисляются и на клавишной машине и на ЭВМ. Другие системы функций сейчас почти не употребляются, хотя в теории подробно рассматривают интерполяцию тригонометрическими многочленами и экспонентами. Поэтому мы не приводим выражения обобщенного многочлена (2) через табулированные значения функции у!, вывести это выражение несложно. ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ 3. Интерполяционный многочлен Ньютона, Рассмотрим систему ~рл (х) =хл, 0 ~/г -л; для удобства узлы интерполяции также перенумеруем с нулевого по и-й.

Легко заметить; что определитель (4) в этом случае есть определитель Вандермонда хл х~ 1 х хл ... х" 1) (хл — х ). (5) л ) Ф ) т ) О л „' .. Алл Следовательно, алгебраический интерполяционный многочлен У,(х) всегда существует и единствен (с точностью до формы за- писи). Применим для его вывода следующий прием. Определим разделенные разности табулированной функции у(х) при помощи соотношений у (хь х ) = [у (х~) — у (х~)],Г(х~ — х~), у(хи хп хл) =(у (хн х;) — у(хь хл)1,Г(х~ — хл), (6) У(х) =У(х,)+(х — х,) У(х, х,), У (х, х,) = У (х„ х,) + (х — хт) У (х, хл, хт) " т д. Эта цепочка соотношений конечна, нбо (л + 1)-я разделенная и т. д, Разделенные разности первого, второго и более высоких порядков имеют размерности производных соответствующих порядков; в главе П1 показано, что они дают приближенные значения производных.

Разделенные разности любого порядка можно выразить непосредственно через узловые значения функции, но вычислять их удобнее по рекуррентному соотношению (6). Пусть У (х) есть многочлен степени и. Рассмотрим, что представляют собой его разделенные разности. Вычитая из него константу У(х,), получим многочлен У(х) — У(х,), который обращается в нуль при х=х, и поэтому делится нацело на х — х,. Следовательно, рервая разделенная разность многочлена и-й степени У (х, хл) = 1У (х) — У (хл)1/ (х — хл) есть многочлен степени и — 1 относительно х и в силу симметрии выражения — относительно х,.' Аналогично, вторая разность У(х, х,', х,) есть многочлен степени и — 2; в самом деле, из (6) видно, что числитель этой разнооти обращается в нуль прн х=х„и значит, нацело делится на х — х„ а степень при этом понижается на единицу.

' Продолжая эти рассуждения, можно показать, что разность У(х, х„х„..., х„,) есть многочлен нулевой степени, т. е. константа, а более высокие разделенные разности тождественно равны нулю. Перепишем соотношения (6) для случая, когда функция есть многочлен и первый аргумент равен х: зо [гл. и АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИИ разность многочлена тождественно равна нулю. Последовательно подставляя этн соотношения друг в друга, получим формулу б (х)=8'(хо)+(х хо)б'(хо ха)+ +(х — хо) (х — х,) У (х„х,, х,)+... ...+(х — хо) (х — х,) ...

(х — х„,) д'(х„х,, ..., х„), (7) по которой многочлен а-й степени выражается при помощи разделенных разностей через свои значения в узлах х„...,х„. Но значения интерполяционного многочлена в зтих узлах по определению совпадают со значениями искомой функции, и поэтому разделенные разности у (х) и ог' (х) тоже совпадают, Подставляя в (7) разделенные разности искомой функции и заменяя точное равенство на приближенное, получим интерполяционную формулу Ньютона р (х) = у (х,) + ~Ч„ (х — х,) (х — х,) ... (х — х„ ,) у (х, х„ ..., ха).

(8) а = ! Формула Ньютона удобна для вычислений и на ЭВМ, и на клавишной машине. Легко составить следующую таблицу 1 разделенных разностей для табулированной функции у(х) и произвести вычисления по формуле (8). Таблииа 1 Замечание 1. За точностью расчета удобно следить, визуально оценивая скорость убывания членов суммы (8).

Характеристики

Список файлов книги