1626435584-7c6402f545ecf856225d6cf8d21519c9 (844233), страница 5
Текст из файла (страница 5)
е) В пространстве квадратных матриц порядка и наиболее употребительны следующие нормы: л !!А!1,=гпах ', У, !а»(!~, !!' ( о 1!А!!! = гпах ( 'У', ! а!! !~, (б) л !!!2 !!А!1е = (,У, '! аг( !г) г,/= ! !!А11,и=и !пах!ас(! » / 1!А!1, = 1/ шах рг! Лля конечномерных векторов между разными нормами существуют соотношения ЧТО ТАКОЕ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫР )гл, ! где р! — собственные значения эрмитовой матрицы АНА (здесь А"— матрица, эрмитово сопряженная по отношению к А). Первые две нормы не имеют специальных названий, третья называется максимальной, четвертая — сферической или евклидовой и пятая— спектральной.
Между ними выполняются некоторые соотношения, аналогичные (5). Интересна связь меЖду нормами матриц и векторов, на которые матрицы действуют. Норма матрицы называется согласов мной с нормой вектора, если !)Ах!1«~(А!! йх!й Наименьшая из норм матрицы, согласованных с данной нормой вектора: ~1 А !! = = ецр (!!Ахй,Г~)х!!), называется нормой матрицы, подчиненной данной норме вектора. Приведем пример подчиненной нормы, Из цепочки неравенств я а 1!Ахйг = шах ~ ~", а!!я! ~ ~ шак ~('гпах ! х! !'! ~Ч , ') ам ) = / и =1х1г ° птах ~ ~ !ага )~=1А1, ° 1х6, (7) а= ! следует, что йАйг согласована с йх!!,.
Кроме того, для любой матрицы А существует такой вектор х, что неравенство (7) обращается в равенство. Для его нахождения положил! хг.=-+ ); знаки выберем так, чтобы они совпадали со знаками элементов а!! той строки матрицы г, в которой ~ ', )ага! максимальна. !'= ! Тогда именно сумма по этой строке будет максимальна в левой части (7), и неравенство превратится в равенство. Это означает, что 1А1, есть наименьшая из норм, согласованных с (~!хй,: если мы возьмем еще меньшую !!А(!, то при этом векторе х для нее знак неравенства (7) будет обратным, т. е, она не будет согласованной. Следовательно, йА)(, подчинена й х 1)г. Без доказательства укажем, что 1~А~1т подчинена |)х)!г, и спектральная норма подчинена !|х1(т.
Сферическая норма согласована с 1!х Ц, а максимальная норма согласована со всеми рассмотренными выше векторными нормами. 2. Структура погрешности. Есть четыре источника погрешности результата: математическая модель, исходные данные, приближенный метод и округления при вычислениях. Погрешность математической модели связана с физическими допущениями и здесь рассматриваться не будет. Исходные данные зачастую неточны; например, это могут быть экспериментально измеренные величины. В прецизионных физических измерениях точность доходит до 10 ", но уже характерная астрономическая и геодезическая точность равна 10 ', а во многих физических и технических задачах погрешность измерения бывает 1 — 10о~э.
Погрешность исходных данных бх приводит к так называемой гтеустранилгой (она не зависит от математика) погрешности решения бу=А (х+бх) — А (х). В следующем пункте будут рассмотрены случаи, когда неустранимая погрешность может становиться недопустимо большой. $21 ПРИБЛИЖЕННЫЙ АНАЛИЗ Погрешность метода связана с тем, что точные оператор и исходные данные заменяются приближенными. Например, заменяют интеграл суммой, производную — разностью, функцию— многочленом или строят бесконечный итерационный процесс и обрывают его после конечного числа итераций.
Методы строятся обычно так, что в них входит некоторый параметр; при стремлении параметра к определенному пределу погрешность метода стремится к нулю, так что эту погрешность можно регулировать. Погрешность метода мы будем исследовать при рассмотрении конкретных методов. Погрешность метода целесообразно выбирать так, чтобы она была в 2 — 5 раз меньше неустранимой погрешности. Ббльшая погрешность метода снижает точность ответа, а заметно меньшая — невыгодна, ибо это обычно требует значительного увеличения обаема вычислений. Вычисления как на бумаге, так и на ЭВМ выполняют с определенным числом значащих цифр.
Это вносит в ответ погрешность округления, которая накапливается в ходе вычислений. Рассмотрим накопление погрешности при простейших вычислениях. Пусть исходные данные х; известны с относительной погрешностью б;) О, т. е. заключены между х;(1 — Ь2) и х;(1+б,); нх абсолютные погрешности равны б,~х;~. Тогда при сложении или вычитании двух чисел результат равен х,-~-х2 с абсолютной погрешностью не более Л, )х,(+Л2',х, ), т. е.
при этих операциях абсолютные погрешности складываются. Прн умножении (делении) результат равен х,х,(х„~'хь) с относительной погрешностью не более Л,+62, т. е. складываются относительные погрешности. На совремейных ЗВМ числа записываются с 1Π— 12 десятичными знаками, поэтому в расчете на них погрешность единичного округления й = 10-'ь —: 10лм обычно пренебрежимо мала по сравнению с погрешностью метода и неустранимой погрешностью. При решении больших задач выполняются миллиарды действий. Казалось бы, начальные ошибки возрастут в 10' раз и погрешность ответа будет огромной.
Однако при отдельных действиях фактические погрешности чисел могут иметь разные знаки и компенсировать друг друга. Согласно статистике при У одинаковых действиях среднее значение суммарной ошибки превышает единичную примерно в )ГУ раз, а вероятность заметного уклонения суммарной ошибки от среднего значения очень мала. Значит, если нет систематических причин, то случайное накопление ошибок не слишком существенно. Систематические причины возникают, например, если алгоритм таков, что в нем есть вычитание близких по величине чисел: хотя абсолютная ошибка при этом невелика, относительная ошибка 22 =(ог) х, ~+ АЗ! х, !) '(х, — хД может стать большой. Например, при нахождении корней квадратного уравнения по 24 что тАкОе численные Методъп !Гл.
| обычной формуле ~-|-Р* — д=о. *ь,= — 0ДР | бДЬР |.Р |г 3 ° ю в случае, когда 0(д~ р, относительная ошибка округления для положительного корня х, велика. Это надо заранее предусмотреть и преобразовать формулу так, чтобы избавиться от подобных вычитаний: х, = |),г'(0,5р -1- ф' 0,25р'+ д). Этот пример очень прост. Существуют гораздо более сложные алгоритмы, где ошибки округления очень опасны: например, нахождение корней миогочлеиа очень высокой степени (глава Ч, 2 2, п.8) или итерационное решение разностных схем для эллиптических уравнений при помощи чебышевского набора параметров (глава Х П, 2 !). В этих случаях только после серьезного исследования удалось так видоизменить алгоритм, чтобы довести ошибки округления до безопасного уровня. Отметим, что в большинстве подобных задач неприятностей можно избежать, проводя расчет с двойной или тройной точностью.
Такая возможность реализована в хороших математических обеспечениях ЭВМ; это в несколько раз увеличивает время расчета, зато позволяет пользоваться уже известными алгоритмами, а не разрабатывать новые. РПри любых расчетах справедливо правило: надо удерживать столько значащих цифр, чтобы погрешность округления была существенно меньше всех остальных погрешностей. 3. Корректность. Задача у=А (х) называется корректно поставленной, если для любых входных данных х из некоторого класса решение у существует, единственно и устойчиво по входным данным.
Рассмотрим это определение подробнее. Чтобы численно решать задачу у=А (х), надо быть уверенным в том, что искомое решение существует. Естественно также требовать единственности решения точной задачи: численный алгоритм — однозначная последовательность действий, и она может привести к одному решению. Но этого мало, Нас интересует решение у, соответствующее входным данным х, Но реально мы имеем входные данные с погрешностью х+бх и находим у+бу=А (х+бх). Следовательно, неустранимая погрешность решения равна бу = А (х+ бх) — А (х). Если решение непрерывно зависит от входных данных, т.
е. всегда!!бу~!-+О при !1бх1! — ~0, то задача называется уепюйчивой по входным данным; в противном случае задача неустойчива по входным данным. Рассмотрим классический пример неустойчивости — задачу Коши для эллиптического уравнения в полуплоскости у~О: и „- + и„„ = О, и (х, 0) = О, и„ (х, 0) = |р(х). (8) ПРНБЛИЖЕННЫН АНАЛИЗ цходными данными является ф(х). Если ф(х) =О, то задача имеет 1 только тривиальное решение и (х, у) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
