1626435584-7c6402f545ecf856225d6cf8d21519c9 (844233), страница 12
Текст из файла (страница 12)
а сризическнсй! смысл весовой функции будет пояснен в п. 4. Выберем в- качестве аппроксимирующей функции линейную комбинацию (37). Подставляя ее в условие наилучшего приближения (36), получим л л ~~у — срЦ,=(у у) — 2.У,'ав(у, срл)+ .У', ава (срв, ср )=ппп. А=! Ф,лс ! Приравнивая нулю производные по коэффициентам, получим систему линейных уравнений л .У, (срм ср„,)а,„=(у, !р„), )~э -и (38) сл =-1 Ве определитель есть определитель Грама функций срл (х); поскольку функции линейно-независимы, он отличен от нуля. Следовательно, наилучсиее среднеквадратичное приближение суи(еетвует и единственно. Для его вычисления необходимо решить систему линейных уравнений (38). Линейно-независимую систему функций можно ортогонализировать. Пусть срл(х) уже образуют ортонормированную систему, 1гл.
и АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИИ т. е. (гр», гр„) =6„; тогда формулы (38) резко упрощаются и становятся удобными для вычислений ь а»=(грго у)=)р(х)у(х)гр»(х)г[х при (гр», гр )=б, . (39) а Это коэффициенты Фурье, так что наилучшее приближение есть отрезок обобщеннога ряда Фурье. Если функции гр„(х) образунп полную ортонормированную систему, то в силу равенства Парсеваля [] у — гр ][1,, = ~~ а». »=л.(- ~ Значит, при п-».оо норма погрешности неограниченно убывает, т. е. наилучшее приближение среднеквадратично сходится к у(х), и возможна аппроксимация с любой точностью. Отметим, что если гр»(х) не ортогональны, то при и-»-Оо определитель Грама обычно быстро стремится к нулю, система (38) становится плохо обусловленной, т. е.
ее решение связано с большой потерей точности (см. главу 1г'), и больше 5 — 6 членов суммы (37) брать нецелесообразно. Численная ортогонализацня базиса при этом тоже приводит к большой потере точности. Поэтому если нужно большое число членов, то надо или проводить ортогонализацию точно (аналитически), или пользоваться готовыми системами ортогоиальных функций. При интерполяции мы обычно полагали гр» (х) =х».
Для среднеквадратичной аппроксимации удобнее в качестве гр» (х) брать многочлены, ортогональные с заданным весом. Наиболее употребнтельиы из них многочлены Якоби (частным случаем которых являются многочлены Лежандра и Чебышева), Лагерра и Эрмита. Для аппроксимации периодических функций используют тригонометрический ряд; он соответствует р(х)= [. Сводка фортяул для ортогоиальпых полиномов приведена в Приложении. Все перечисленные выше системы функций полные, так что наилучшие приближения по ним среднеквадратично сходятся при п- ОО, если у(х) иитегрируема с квадратом с заданным весом. При более сильных ограничениях имеет место сходимость во всех точках и даже равномерная сходимость.
Приведем без доказательства некоторые результаты. а) Ряд по многочленам Якоби Р"„' а(х) сходится к непрерывной функпии и (х) равномерно на [ — 1, +1], если существует непрерывная о'Р' (х) при некотором р=ч2+2шах(я, р] и если шах(и, Р]=-" — »Г». В частности, для миогочленоя Чебышена первого рода достаточно р=1, а для многочленов Чсбышеьа второго рода р=з, Для многочленоа Леисандра доказан более сильный результат; ряд сходится равномерно, если сущестиует ограниченная у'(х).
а 2] СРЕДНЕКВАДРАТИЧНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ б) Если функция д(х) кусочно-непрерывная и кусочно-гладкая на 10, со) н существует 1 Е "~22!за '112(у(Х) !с(Х, о то ряд по многочленам Лагерра 6~!а> (х) сходится к функции в точках ее непрерывности и к полусумме односторонних пределов '!з (а>+у ) в точках разрыва. Эта сходимость, вообще говоря, не равномерная.
в) Если функция у(х) кусочно-непрерывная и кусочно-гладкая на ( — со, +со) и существует +со а — х' 2(), то ряд по многочленам Эрмита Л„(х) сходится так же, как в предыдущем абзаце. г) Если у(х) периодическая и непрерывная, причем се модуль непрерывности удовлетворяет условию ю (6) = сбро, о ( а — 1, то ее тригонометрический ряд Фурье равномерно сходится к ней на всем периоде (признак Липшица); в частности, это условие выполняется дтя функции с ограниченной производной. Если функция имеет ограниченную р.ю производную ! уса' (х) ! ~ Мр, а все младшие производные непрерывнй, то для погрешности тригонометрй.
чсского ряда Фурье и величии отдельных коэффициентов справедливы оценки (Ас„(Х) ! (А̄—, па=О(А- Рэзс), !па где А — константа. Видно, что при больших р ряд сходится быстро, Но если а(к) кусочно-непрерывна, то сколько бы ни было у нее кусочно-непрерывных и ограниченных производных, ее коэффициенты Фурье убывают не быстрей па=0 (1,%), и ряд сходится медленно (нли даже расходится), 3 а меч а ни е 1. Сходпмость не во всех рассмотренных случаях была равномерной. Более того, не существует такого веса р (х), чтобы любая непрерывная функция у (х) разлагалась в равномерно сходящийся ряд по полиномам, ортогональным с этим весом. Дю Буа-Реймондом и Л. Фейером были построены примеры периодических непрерывных функций, у которых тригонометрический ряд Фурье в отдельных точках расходится.
3 а м е ч а н и е 2. Сходимость среднеквадратичного приближения тем лучше, чем меньше у функции у(х) особенностей— разрывов ее самой или ее производных. Если можно выделить основные особейности в виде несложной функции у,(х) и аппроксимировать разность у(х) — у„(х), точность аппроксимации существенно улучшается. Например, периодически продолжим функцию, изображенную сплошной линией на рис. 11, и аппроксимируем ее тригонометрическим рядом Фурье. Зтот ряд сходится в каждой точке, но неравномерно, ибо периодическое продолжение у(х) разрывно.
Если >ке мы положим у,(х) =х, то функция у(х) — уэ(х), изображенная пунктиром на рис. 11, имеет непрерывное периодическое продолжение, и ее ряд Фурье сходится к ней равномерно. Скорость сходимости ряда при этом также возрастает. аппаоксимация елпсции !гл.
и Замечание 3. Алгебраический многочлен Р„(х)= ~',а»х» »=о наилучшего среднеквадратичного приближения обладает свойством, напоминающим лагранжеву интерполяцию: разность у(х)— — Р„(х) на интервале (а, б) имеет не менее и+1 нуля. В самом деле, предположим обратное: нули этой разности суть х,, где у=1, 2, ..., т~п. Составим многочлен Я„(х) = П (х — хт) = ~ о»х»! тогда произведение [у(х) — Р, (х)]1;1„, (х) не меняет знак, следова- тельно, $р(х) [р(х) — Р„(х)]!',! (х) с(х= )~ Ь,[(х', у) — ~~~ (х', х»)аДФО.
»=- о Но если в (38) положить !р» (х) = х», то квадратные скобки в сумме должны обратиться в нуль. Полученное противоречие доказывает наше утверждение. 3. Суммирование рядов Фурье. Нахождение наилучшего приближения приводит к суммированию рядов. Казалось бы, просуммировать ряд нетрудно. Но, во-первых, он далеко не всегда сходится равномерно, даже при наличии сходимости в каждой точке. Так, если у(х)=1 на первой половине периода и у(х)=0 на второй, то максимум частной суммы тригонометрического ряда Фурье стремится к 1,09 при п-~оо (явление Гиббса, рис. 12), хотя в любой точке, кроме точки разрыва, этот ряд сходится к функции.
сРеднеквАЛРАтичное пРиБлижение Во-вторых, если надо суммировать много членов ряда, то происходит большое накопление погрешности входных данных и даже погрешности округления. Например, ряд Тейлора для у(х) = 22п х сходится при любых значениях аргумента.
Вычислим з!и 2550', используя ЭВМ с 16 значащими цифрами и прекращая вычисления, когда очередной член ряда будет менее 10-'. Получим бессмысленный ответ: злп 2550'=29,5! Причина состоит в том, что вычисления с заданным количеством цифр эквивалентны внесению погрешности в коэффициенты ряда. Погрешности вносятся и в том случае, если находить коэффициенты по формулам (39) не аналитически, а численно. А бесконечные ряды, вообще говоря, неустойчивы по отношению к погрешности коэффициентов. В самом деле, изменим все коэффициенты ал ряда Фурье на малые величины есрл(ь); тогда сумма ряда изменится на 2, 'ефл(х) фл(е) =еб(х — 3), л=! т. е. при х=$ изменение суммы бесконечно велико.
Таким образом, суммирование бесконечного ряда Фурье является некорректной задачей, и требуется какая-то регуляризац !я суммирования. Регуляризацня по числу членов. Простейшей регуляризацией является использование небольшого отрезка ряда и (л! ф(х; Ал) = ~~ а„срл(х), л=! где верхний предел суммирования есть функция ошибок е отдельных коэффициентов. Чем меньше е, тем больше допустимоелч'(е).
Оценим оптимальное число членов для тригонометрического ряда Фурье. Ошибка из-за отбрасывания далеких членов ряда равна б,= ~', алфл(х), л-. и+ ! а ошибка из-за погрешности коэффициентов составляет бл = ~~ балфл (х). л=! При увеличении А! На единицу первая ошибка убывает на величину ах „срн„(х), а вторая возрастает на бал „фнлл(х). Очевидно, при малых А! коэффициенты ан велики, и преобладает убывание первой ошибки, а при достаточно больших А' преобладает возрастание второй. Оптимальной является ситуация, когда АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИИ 1гл. и ~ ал!р„(х)/(1+Ьл), Ьл)0, л=.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
