1626435584-7c6402f545ecf856225d6cf8d21519c9 (844233), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Соответствующая оценка Джексона для ашебраической аппроксимации произвольной функции, непрерывной РАВНОМЕРНОЕ ПРИНЛИЖЕН1ГЕ прн — 1 ~ х~ 1 (н тем самым равномерно-непрерывной), есть Ьл ~ (')зСо+ 2) ы (2)л), (55) а для тригонометрической аппроксимации непрерывной функции с пернодом 2л: а ~ (,2 Со+ 2) оэ (2л,'л), /1 (56) где ы — модуль непрерывности функцвн. Наилучшее равномерное прнблнженне рациональной функцией (отношеннеч многочленов) имеет таков нсе порядок точнсстн, как в оценках (55) — (56), где под л надо подразумевать полное число свободных коэффициентов, которое на единицу меньше суммарной степени числителя н знаменателя.
г) Многочлены наилучшего равномерного прнблнження не обеспечивают хорошей сходнмостн (а иногда н просто сходнмостн) производных гр' (х) к у' (х). Если нужна сходнмость производных, то приходится строить другие много- члены, которые имеют меньшую скорость сходвмости Например, многочлены С. Н. Бернштейна в В„(х)= ~~ С (1 — х)" ехеу! — ), 0(а~1, %т А /й1 а (,л)' е=-о (57) равномерно сходятся к любой непрерывной функции у(х), но не быстрее чем О (1)л), сколь бы гладкой функння нн была; зато если существует непрерыв- ная пронэводная у'Я' (х), то производные многочленов С.
Н. Берншгейна В'„М (х) равномерно сходятся к ней на указанноч отрезке прн л-ьсо. Сходные оценки сугцествуют н для наилучших аппроксимаций алгебраическими многочленамн на отрезке — 1(х~ 1. Из неравенства (58) следует, что при небольших и погрешность многочлеиов наилучшего среднеквадратичного приближения даже в )! ))с несильна превосходит погрешность многочленов наилучшего равномерного приближения (например, при и ~ 12 не более чем в 7 раз). Из оценок (53) — (56) следует, что для функций с непрерывными старшими производными, не слишком большими по абсолютной величине, наилучшие равномерные .приближения обеспечивают высокую точность уже при небольших и 5 —:1О. Значит, для таких функций наилучшие среднеквадратичные приближения будут обеспечивать в )! !!с почти ту же точность, что и наилучшие равномерные приближения.
Только для недостаточно гладких функций д) Наибольший практический интерес представляет соотношение между точностями, достигаемыми при наилучшей равномерной и наилучшей среднеквадратичной аппроксимациях. Пусть для произвольной функции у (х) с периодом 2и тригонометрический многочлен наилучшего равномерного приближения есть )7„(х). Гхоказана (см. монографию В. Л. Гончарова 191, стр. 186), что тригонометрический многочлен наилучшего среднеквадратичного приближения той же степени Я„(х) имеет погрешность не более: ))у (х) — Я„(х) ))с ( (4,5+! п и) )!у (х) — )сг„(х)))с. (58) лппгоксимлция Фгнкцип [гл.
и среднеквадратичные приближения не сходятся нли плохо сходятся в 1! 1!с, но в этом случае и наилучшие равномерные приближения сходятся настолько медленно, что практически их трудно использовать. Описанные в 9 2 алгоритмы нахождения наилучших среднеквадратичных приближений намного проще, чем известные алгоритмы нахождения наилучших равномерных приближений, По всем указанным причинам на практике много удобнее искать наилучшие среднеквадратичные, а пе равномерные приближения; как отмечалось в 9 2, для улучшения их сходимости следует явно выделять в простой форме основные особенности функции и ее младших производных и аппроксимировать оставшуюся достаточно гладкую часть. К нахождению равномерных приближений прибегают в основном при разработке алгоритмов для стандартных программ вычисления функций, когда добиваются очень высокой точности при минимальном числе членов суммы.
2. Нахождение равномерного приближения. Для функции, заданной на отрезке [а, 61, не найдено способа определения коэффициентов наилучшего равномерного приближении за конечное число действий. Рассмотрим простой итерационный процесс нахождения коэффициентов. Чебышевскую норму можно рассматривать как предел ~! !!ь Р при р-«со и единичном весе. В пространстве (р задачу нахождения наилучшего приближения зу — ~рЦ =гп(п удобно решать и итерированием веса: ь ~ ргп (к) [р (х) — ~р<" и (х)1'- г(х = пп'и, й рпп (х) = ! У(х) — ф'~ (х) ',г-'; (59) для начала итерационного процесса можно положить рпп (х) = !. Если ~р (х) является обобщенным многочленом, то на каждой итерации задача на минимум опять сводится к решению системы линейных (относительно коэффициентов а„) уравнений.
Для решения полной задачи зу — сг!!с=гп!и надо выбрать последовательность р — «оо, для каждого фиксированного р провести итерации (59) до сходимости, а затем в коэффициентах а~~) произвести предельный переход при р-«оо (т. е. оценить, начиная с какого р, коэффициенты перестают меняться в пределах заданной точности при дальнейшем увеличении р). Двойной предельный переход требует больших численных расчетов. Поэтому целесообразно объединить предельные переходы з-«со и р-«со, Для этого на первой итерации по з положим р = 2, на второй возьмем р = 4, на третьей — р = 6 и т.
д. ЗАДАЧИ Вместо (59) получим следующую задачу: ь ~ реп (х) (у (х) — гр'"и (х) )з г(х =- пни, р"1 (х) = (у (х) — гр(<1 (х))з<, з = О, 1, 2, (ЕО) Здесь начальное условие для итераций рго) (х) ==1 получается естественно при 8=0. Этот итерационный процесс не исследован теоретически и мало опробован н практических расчетах, но поскольку обычно коэффициенты аппроксимации слабо зависят от выбора веса, то следует ожидать быстрой сходимости процесса. ЗАДАЧИ 1. Доказать, что разделенная разность и-го порядка выражается через узловые значения функции следующим образом: л а у(хз «1, ..., хз)= ~ у(х») П (х» — хй-'. »-о (=а тза» 2. Вывести. оценку (11).
а. написать оценки погрешности типа (11) для трех случаев интерполяцн- онного лшогочлена Эрмита 7.й степени: <У< (х; х„хь ..., х,), <т< (х; х<, х„хг, х„«,, «, «э, «,) и <У< («; «<, х<, «э, «<, «т, «ь «ь «т); суавнить нк по(задки точ- ности и численные коэффициенты. 4. Применить формулу (19) к вычислению у(0, 5) в таблице 5; оценить точность. 5. Вывести формулы типа (19) для случаев, когда функция на малых отрез- ках приближенно представима в виде у(х) =ахэ или у(х) — а(х+Ь)'", где ш †заданн число.
6. Разобрать интерполяцию сплайном второй степени; по аналогии со слу- чаем л=з найти экономный способ зьшнслепия коэффициентов. 7. Оценить погрешность округления при вычислении з)п 2550' по формуле Тейлора на ЭВМ с 16 десятичными знаками.
8, Доказать, что прямая, прозедецная методом наименьших квадратов, проходит через точку с координатами х =Яр«;~/(~ рг), у=(Я ру~) /(~ р;), которак является <центром тяжестям 9. Выпестн формулы Бесселя (44) для случзя, когда тригонометрические ф)йкцнв заданы в действительной форме: (эз=-!, грг=з)ах, <рз=созх, ~рз= =т зтп йх и т. д. цв Вывести формулы сглаэкивавия типа (45) для центральной точки по пяги точкам при среднеквадратичной аппроксимации многочленом первой и второй степени. 11. Написать систему уравнений для определения коэффициентов а„, Ь 1Я (<) минимизирующих (49). 12. Доказать, что коэффициенты ас формул.
Бесселя (44) связаны с козф. -1- <о фициентами обычного ряда Фурьс с<» соотношениями а»=- а а = — <о ГЛАВА 111 ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ В главе П! рассмотрено численное дифференцирование функции, заданной иа некоторой сетке. Введены квэзирэвномерные сетки, полезные во многих приложениях, Обсуждена некорректность задачи дифференцирования, проявляющаяся при сильном уменьшении шага, и наложены некоторые способы регуляции. Показано, как можно повышать точность и оценивать погрешность при сгущении сетки.
1. Полиномиальные формулы. Численное дифференцирование применяется, если функцию д(х) трудно или невозможно продифференцировать аналитически — например, если она задана таблицей, Оно нужно также при решении дифференциальных уравнений при помощи разиостных методов. При численном дифференцировании функцию д (х) аппроксямируют легко вычисляемой функцией гр(х; а) и приближенно полагают д' (х) =гр'(х; а). При этом можно использовать различные способы аппроксимации, изложенные в главе Н. Сейчас мы рассмотрим простейший случай — аппроксимацию интерполяциониым мпогочленом Ньютона (2.8).
Вводя обозначение $, =х — хь запишем этот лтногочлен и продифференцируем его почленно: гр(х) =д(х,)+К д(х, х)+Щд(х, х„хе)+ + ьееДзу (ХО, Хт Хэ~ ХЗ) + Р' (х) = д (х, х ) + (еьо+ее ) д(х, х, х.) + +(сДт+сДе+ство) д(х„х,, хо, х,)+..., гр" (г)=2д(х„х„х,)+2 %о+из+Бе)д(хо хт то, хэ)+ ° ° ° Общая формула имеет следующий вид: т"'~о=о)(о( „ч .... ч)ь(В ь) ° ~ч, ч, ..., *„Н- зз=о Л=.о+ ~ + ~ 'У, '3Д11 д (х„х„..., х„,) + г>у~о г--=ь — , '2 +1 Х ЫуьНд(хо, хт, ..., хо,а)+ (1) гл пп численное диофегвициеовлнив 71 Обрывая ряд на некотором числе членов, получим приближенное выражение для соответствующей производной. Наиболее простые выражения получим, оставляя в формуле (1) только первый член: у'(х) у(х, х) =[у(хе) — у(х1)]/(х,— х,), ы —, уип (х) —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
