1626435584-7c6402f545ecf856225d6cf8d21519c9 (844233), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Этот способ в простейшей форме давно применялся физиками, которые при однократном численном дифференцировании всегда выбирали такой шаг, чтобы )у(х+Ь)— у (х) ~~~ б. К этой задаче прил>еиим и метод регуляризации А. Н. Тихонова; он будет изложен в главе Х1Ъ', В 2. Физики издавна употребляют (без строгого обоснования) еще один способ регуляризации — дифференцирование предварительно сглаженной кривой, причем сглаживание обычно выполняют методом наименьших квадратов. Роль параметра регуляризации здесь играет отношение числа свободных параметров и аппроксимирующей кривой к числу узлов сетки А"; для хорошего сглаживания должно выполняться условие и ~(А'. Рассмотрим, как это делается в простейшем случае. Выберем около искомой точки не очень большой интервал изменения аргумента, чтобы двучлениая аппроксимация у(х) а + Ьх обеспечивала удовлетворительную точность.
Но этот интервал должен содержать довольно много узлов сетки, т. е. быть не слишком малым. Система уравнений (2.43) для определения коэффициентов среднеквадратичной аппроксимации принимает следующий вид: а ~~ р>+ Ь 'У', рлх, = '~ о;ун а У, 'р;х;+Ь ~р,х; '=-~ч, 'р,х,уи (25) где сумма берется по узлам сетки х„лежащим в этом интервале. Введем на этом интервале средние значения .х =(,У, р>х>)!~~ р>) у =(~' р1у>)~(~ р>) ° (26) Тогда первое уравнение (25) можно записать в виде а+Ьх= у (см.
задачу 8 к главе П). Умножая его на х ~я~ р> н вычитая нз второго уравнения (25), получим у' (х) = Ь = ~ У", р> (х>у> — хуфу ~х~~ р>(х) — ххв)1. (27) Пользуясь определением средних (26), произведем несложное преобразование знаменателя в (27): 'У', р; (х,' "— х-') = ~ч~ р> (х) + х-') — 2х' ~; р> = =,У„' р; (х) + х-) — 2х 'У', р;х; = ~ч , 'р> (х, — х)' и аналогично преобразуем числитель. Тогда выражение (27) ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ (гл.
н! приводится к виду, напоминающему коэффициент парной корреляции величин х и у: д' (х) - (г = [~ , 'р, (х; — х) (уг — у)1/[ '~', р; (х1 — х)'1. (28) Последняя формула несколько выгодней для численных расчетов, чем предыдущая, ибо ошибки округления в ней меньше. Двучленная среднеквадратичная аппроксимация дает удовлетворительные результаты, только если б/)/Аг(~А, где б — погрешности отдельных значений функции, А? — число точек в выбранном участке, а А — нелинейная часть приращения функции на данном участке.
Если это соотношение нарушено, то надо строить сглаживающие аппроксимации с 3 — 4 членами и дифференцировать нх. В заключение отметим, что выравнивающие переменные позволяют вести расчет крупным шагом или с малым числом свободных параметров. Поэтому предварительное приведение к выравнивающим переменным существенно ослабляет влияние погрешности начальных данных и позволяет теми же способами регуляризации Добиться большей точности.
ЗАДАЧИ нанти остаточные членьг формул (3) — (1О). 5. Получить длн второй производной формулу высокой точности (!0) из простейшей формулы (7) методом Рунге. 6. Строго обосновать рекуррентное примене. ние метода Рунге. 7. В таблице 8 приведены данные по энергии плазмы алюминия при плотности 10гз атом?сиз. Составить таблицу теплоемкости с„и оценить ее точность, полагая, что: а) значения энергии вычислены точно, кялж г Т, зъ 2250 720 303 176 64,8 24,8 2,04 1,15 0,646 0,363 0,204 0,115 б) значения энергии имеют погрешность -+-10%. 8. Используя среднеквадратичную' аппроксимацию функции параболой у(х) — а+Ьх+схз, найти выражение для ее первой и второй производной через значения функции в узлах. 1. Составить формулу вычисления у'(х) на основании интерполяцноннога мпогочлена Эрмита (2.18) н сравнить ее с простейшей формулой у' (х) =у' (х,) 4.
+ (х — хе) у'(хз. хз). Найти погрешности обеих формул, Какая из формул точнее и почему? 2. Показать, что у двучленной формулы (1) есть две точки повышенной точности, определяемые соотношением Гг =-а+! хз'= уй 1.1 ~~ х! чст/ ~~ (х,— х))з~l((й-1-2)) й+1) г>?эьо в которых достигается третий порядок точности. 3. Аналогично (6) — (10) получить формулы для вычисления у и у 1П 1У в среднем узле по пяти узлам равномерной сетки. Таблица 8 4. Способом разложения по формуле Тейлора ГЛАВА 1Ч ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ В главе !'ьг изложены основные методы численного интегрирования, В 4 1 выведены формулы вычисления однократных интегралов, основанные аа полнномиальной аппронсимации подынтегральной функции: простейшие формулы трапеций и средних и некоторые формулы более высокой точности, в том числе формулы наивысшей алгебраической точности (Гаусса — Кристоффеля и Маркова].
Исследованы погрешности этих формул и характер их сходнмости. В 1 й рассмотрены способы интегрирования ф>нкций, для которых полиаомиальная аппроксимация не обеспечивает приемлемой точности, В 1 3 описанные методы перенесены на случай кратных интегралов, В 1 4 изложены основы метода Моите. Карло применительно к вычислению интегралов.
$ 1, Полиномиальная аппроксимация 1. Постановка задачи. Пусть требуется найти определенный интеграл Р = ~ ~ (х) р (х) с(х, р (х) ) О, (1) Р где функция Г" (х) непрерывна на отрезке [а, Ь1, а весовая функция р (х) непрерывна на интервале (а, о). Выразить интеграл через элементарные функции удается редко, а компактный и удобный для доведения до числа ответ получается еще реже. Поэтому обычно заменяют Г(х) на такую аппроксимирующую функцию гр(х, а) =) (х), чтобы интеграл от нее легко вычислялся в элементарных функциях. Чаше всего Г(х) заменяют некоторым обобщенным интерполяцнонным многочленом. Поскольку такая аппроксимация линейна относительно параметров, то функция при этом заменяется некоторым линейным выражением, коэффициентами которого служат значения функции в узлах: л 1 (х) = ~х~ 1 (х;) тра (х) + г (х), (2) =о где г(х) — остаточный член аппроксимации.
Подстаиляя (2) в (1), аб ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ [гл. ш получим формулу численного интегрирования (хвадрпгпурную формулу) а г = ~х', с,((х;)+)с, -о (3) ь с, = $ Гр; (х) р (х) йх, а )т = ~ г (х) р (х) Г(х, а г = ~1(х) дх — (6 — а) (((а)+((Ь)1. а (4) Зто одна из простейших ьвадратурных формул. Найдем ее погрешность. Для этого разложим ((х) по формуле Тейлора, выбирая середину отрезка за центр разложения и предполагая наличие у функции требуемых по ходу рассуждений непрерывных производных: 1(х) = 1 (х) + (х — х) ( (х) + — (х — х) 1 (х) + ..., (5) х= ~ (и+о).
Погрешность есть разность точного и приближенного значений интеграла. Подставляя в (4) разложение (5), получим главный где величины х~ назьшают узлами, с,— весами, а Й вЂ” погрешносьпью или оппаглочнььм членом формулы. Интеграл приближенно заменяется суммой, похожей на интегральную сумму, причелл узлы и коэффициенты этой суммы не зависят от функции ((х). Интерполяционный многочлен (2) может быть не только лагран- жева, но и эрмитова типа; в последагх> нем случае в сумму (3) войдут производные функции в узлах. Лучше всего изучена замена 1(х) алгебраическим многочленом; она рассматривается в этом параграфе.
х Обычно будем полагать р(х) = 1, Случаи не единичного веса будут особо оговариваться. 2. Формула трапеций. Заменим функцию на отрезке 1а, 51 многочленом Лагранжа первой степени с узлами х, =- а, х, = 6. Зто соответствует замене кривой на секущую. Искомый интеграл, равный площади криволинейной фигуры, заменяется на площадь трапеции (рис. 16); из геометрических соображений нетрудно написать для него формулу Гпрапеций ь полиномилльнья лппеоксимхция член погрешности х 2 (( (а) + ( (Ь)1 12 ( — а)э)' (Х) (6) где члены, отброшенные при замене точного равенства приближенным, содержат старшие производные и более высокие степени длины отрезка интегрирования. Заметим, что содержащие ((х) н !"' (х) члены разложения (6) уничтожились и не дали вклада в погрешность; это нетрудно было предвидеть, ибо формула трапеций по самому выводу точна для многочлена первой степени.
Вообще говоря, длина отрезка Ь вЂ” а не мала, поэтому остаточный член (6) может быть велик. Для повышения точности на отрезке 1а, Ь) вводят достаточно густую сетку а=х,(х„(х, "... ...(хн=Ь. Интеграл разбивают на сумму интегралов по шагам сетки н к каждому шагу применяют формулу (4). Получают обоаи4енную формулу трапеций ь У 1 ) (~) ~~=-~- ~ (х — х ) Ж- +И а г=! )г- — — -,т (х! — х! г)ь("(х,). 12 ~.
На равномерной сетке она упрощается: ~ 1(х) г(х ')г( го+!!+ге+ ° +!н-г+ 2 1У) а )~=- — '- '~ й)-(-,)=--'-ЬР ~Г(.)йх. 12 .~, 12 г= ! й = х; — кг-г = сопз!. Поскольку в оценке (6) были отброшены члены, содержащие более высокие степени длины интервала, то выражение остаточного члена (8) является асимптотическим, т. е.
выполняющимся при lг-г-О с точностью до членов более высокого порядка малости. Но для справедливости втой оценки необходимо существование непрерывной ~" (х); если )" (х) кусочно-непрерывна, то удается сделать лишь мажорантную оценку ))т) ~ ггьМ„М, = !пах !)" (х) ). 1а, ь! (гл, ш ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ Таким образом, обобщенная формула трапеций имеет второй порядок точности относительно шага сетки.
На равномерной сетке это видно непосредственно, а на квазиравномерной сетке, порожденной преобразованием х = 3 (1), остаточный член (7) можно привести к виду ь ~ (с)) Г (х) а(х а ()()) если используемые в этой формуле производные непрерывны. Для произвольной неравномерной сетки аспмптотическая оценка в виде суммы (7) справедлива, но неудобна для использования; можно пользоваться мажорантной оценкой (9), подразумевая под шагом Ь= шах(х; — хг,). 3.
Формула Симпсона. Вычислим интеграл по обобщенной формуле трапеций сначала на равномеркой сетке с шагом Л, а затем на сетке с вдвое более крупным шагом; вторая сетка получается из первой выбрасыванием узлов через один. Из вида оста~очного члена (8) следует, что результат, полученный по формуле, трапеций, можно уточнять методом Рунге. Проводя такое уточнение для о~резка, содержащего узлы ха, х„ха, получим формулу Симпсона Г- — (4р,раа (й)-Л „(2А)) = 1 = — - ~46 ( 2 )а+ й + 2 )а) — 2л ( 2 )а + 2 ' 1а) ~ = ! — й (7+4й+(а), ь=х! — х1 о 3 Обобщенная формула Симпсона для равномерной сетки и чспюго числа шагов М нмеет вид Л= ((а+4( +2(з+4(з+2(а+ "+2)м .+4(м- +)А).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
