1626435584-7c6402f545ecf856225d6cf8d21519c9 (844233), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Для функций высокой гладкости удобнее формулы Гаусса, а для недостаточно гладких функций — обобщенные формулы трапеций и средних. 9. Сходимость квадратуриых формул. Стремится ли сумма (3) при и-~со к точному значению интеграла, и если стремится, то с какой скоростью? Обобщенная формула средних (16) является интегральной суммой. Следовательно, для любой непрерывной Функции она сходится к точному значению интеграла при стремлении к нулю шах(х, — х, 1). Это справедливо и для обобщенной формулы трапеций (7).
Она тоже является интегральной суммой, соответствующей несколько иному выбору интервалов: нулевой интервал — от х, до х1м, первый — от х111 до кзцн второй — от хз,а до хам и т. д. Обобщенная формула Симпсона получается линейной комбинацией двух обобщенных формул трапеций на равномерной сетке. При сгущении сетки каждая из последних формул сходится к общему пределу — точному значению интеграла. Значит, и формула Симпсона сходится для любой непрерывной функции. Более тонкими рассуждениями можно доказать сходимость формул Гаусса — Кристоффеля прн а- ж для любой непрерывной функции.
Значительно сложнее вопрос а скорости сходнмости; он связан с оценкой остаточного члена формул. Напомним, что если И=О (Я, то мы называем формулу сходящейся с р-м порядком точности. В большинстве квадратурных формул мы находили вид главного члена погрешности; он выражался через интеграл от некоторой производной функции. Попутно мы отмечали, что если заменить под интегралом производную на максимум ее модуля, ь т, е. заменить ))1Р'(х) г(х (Ь вЂ” а) М„то мы получим мажоранта ную оценку погрешности. Такие оценки определяют скорость сходимости. Согласно этим оценкам погрешность формул средних и трапеций есть 0(ЬВ), а формулы Симпсона — 0(й').
Эти оценки пригодны, если функция имеет ту производную, которая входит в оценку остаточного члена, причем эта производная соответственно непрерывна или кусочно-непрерывна. Наличие у функции более высоких производных не улучшает оценку. Зато если у функции нет требуемой ограниченной производной, то сходимость может быть хуже, как мы видели в примере из п, б. ПОЛИНОМИАЛЬНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ эн Скорость сходимости наиболее распространенных квадратур-. ных формул для недостаточно гладких функций сейчас хорошо изучена.
В таблице 13 приведены полученные в 1251 мажорантные оценки погрешности некоторых формул на классе функций, имеющих на 1а, О) кусочно-непрерывную р-ю производную, ограниченную по модулю константой Мр (примерно такие же оценки получаются, если )~Р)(х) не ограничена, но ннтегрируема с квадратом). Стрелка в таблице 13 означает перенос оценки из предыдущего столбца. Та бл ица 13 Из таблицы !3 видно, что для функций малой гладкости, имеющих лишь первую или вторую производную, лучшие результаты дает обобщенная формула средних. Для функций высокой гладкости выгодны формулы Гаусса (отметим, что для функций малой гладкости формулы Гаусса дают примерно ту же точность, что и простейшие формулы, но формулы Гаусса с большим числом узлов довольно сложны и поэтому невыгодны для таких функций).
Простой и рекуррентный метод Рунге для обобщенных формул также, целесообразно применять только при достаточно высокой гладкости функций: если существует кусочно-непрерывная ограниченная ~'" (х), то можно рассчитывать лишь иа точность 0(йР). Рассмотрим корректность численного интегрирования. Существование и единственность суммы (3) очевидны, и надо исследовать только устойчивость.
Во всех рассмотренных выше формулах веса положительны, поэтому при варьировании подынтегральной функции вариация суммы не превышает ь (6Г)= 'У, 'сьб(„~ =', ~ ~сь~~ шах~6)А~~~!Щ )р(х)0х, ~А=.О;Ь=О а так что устойчивость по входным данным есть.
Строго говоря, квадратурные формулы (3) неустойчивы отно- сительно ошибок округления. Зтн ошибки носят случайный ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ 1гл. 1ч характер, но в среднем растут, как 7 и, при увеличении числа узлов, так что график полной ошибки похож на пунктирную линию на рис. 15. Но эта неустойчивость слабая, и она проявляется только при расчете с небольшим (3 — 5) числом цифр.
2 2. Нестандартные формулы 1. Разрывные функции. Пусть функция и ее производные кусочно-непрерывны; в точках разрыва подразумевается существование односторонних производных всех требуемых порядков. Разобъем отрезок 1а, Ь) на отрезки так, чтобы на этих отрезках фуякцня и некоторое число р ее низших производных были непрерывны; на концах этих отрезков в качестве значений функции и производных возьмем соответствующие односторонние пределы. Представим интеграл в виде суммы интегралов по отрезкам непрерывности. Применим к каждому отрезку квадратурную формулу порядка точности д, д ~ р, Если одновременно и одинаково сгущать сетки на всех отрезках непрерывности, то порядок точности ответа будет д, как и для непрерывных достаточно гладких функций.
В этом случае методом Рунге — Ромберга можно повысить порядок точности до р. Если же применять квадратурные формулы к разрывным или не гладким функциям, не выделяя особые точки указанным образом, то при сгущении сетки сходимость хотя н будет, но с невысокой скоростью и без четко выраженного порядка точности. Мажорантную оценку ошибки вида 0(й') при этом обычно можно найти, но асимптотической оценки вида Й=сй', как правило, ие существует. При этом применять метод Рунге или процесс Эйткена будет нельзя.
Пример. Рассмотрим 2 г = ~ (х / х !) 11х = (7/3). — 1 Здесь подынтегральная функция непрерывная и гладкая, но вторая производная имеет разрыв при х=О. Если для этой функции выделить отрезки непрерывности, то формула Симпсона дает точный ответ. Если же сгущать равномерную сетку делением пополам, то точка х=О никогда не будет узловой и следует ожидать плохой сходимости. Это подтверждается расчетами, приведенными в таблице 14. 2: Нелинейные формулы. Ранее мы видели, что нелинейная аппроксимация может существенно повысить точность расчетов, особенно для быстропеременных функций.
В случае интегрирования подбор подходящего приближения становится очень слож- Г01 4 21 НЕСТАНДАРТНЫЕ ФОРМУЛЫ ным, ибо интеграл от аппроксимирующей функции должен точно вычисляться, иначе метод будет практически бесполезен. Таблица 14 3,!2 ан а Формула 318 2,5250 ) 2,4375 2,0000 ~ 2,3750 4,5000 2,3555 2,3282 2,3333 2,3333 Трапеций Сиипсоиа Обычно стараются найти выравнивающие переменные, в которых уже два свободных параметра обеспечивали бы удовлетвоа рительную аппроксимацию. На отрезке [а, 51 вводят сетку и на каждом интервале сетки функцию заменяют нелинейной интерполяционной функцией, в которой параметры выражены через табличные значения функции.
11апример, если функция близка к экспоненте, то согласно (2.19) /(к) /1 аехр[(к — к;,)!и(/1//1 )/(к1 — к1 1)1, к1 -к~ха. Если на каждом интервале проинтегрировать это выражение вместо исходной функции, то получим обобщенную квадратурную формулу ь и ~/ (к) с(к — ~х , '(ка — ка,) (/1 — /1 3)/1и (/1//1 3). (33) Разумеется, для неэкспоненциальных функций эта формула не обеспечит хорошей точности. Такие формулы напоминают обобщенную формулу трапеций, ибо они построены при помощи двухпараметрической интерполяции лагранжева типа, которая для каждого интервала сетки выполняется отдельно. Если воспользоваться интерполяцией эрмнтова типа, то получим формулы, сходные с обобщенной формулой средних.
Например, если по-прежнему считать /(к)— — аеал и потребовать правильной передачи функции и производной В точке ка 1 2, то получим (31 = /1 — 1~2//1 — 1га сс1 = — /1 — 112 Х хехр( — ()1к1 1;2). Использование этой аппроксимации на каждом шаге дает такую квадратурную формулу: ь 12 ~/(К) 44К вЂ” ~~~/1' 112 [ЕХР [Р1 (К1 — К1 112)]— а а=1 — ехр [ — (11 (ка 112 — к1,ф, р1 = /1 112//1 112. (34) Эта и предыдущая формулы написаны для произвольной сетки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
