1626435584-7c6402f545ecf856225d6cf8d21519c9 (844233), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Е сл-и п р ед ел ы и н те г р и р о в а н и я к о н е ч и ы, значит, 7(х) обращается в бесконечность в каких-то точках отрезка 1а, 61. Будем считать, что вблизи особой точки (1(х) ~ ( М ~х — х ~'", где — 1 (сс ( О; случай и ~ — 1, когда интеграл существует в смысле главного значения, надо разбирать отдельно. Особые точки разбивают отрезок на части. Рассмотрим приемы вычисления интеграла по отдельному отрезку, у которого особыми точками являются только одна или обе границы. П р и е м 1 — аддитивиое выделение особенности. Постараемся разбить подынтегральную функцию на сумму ((х) =рр(х)+рр(х)„ где ра(ху — ограниченная функция, а рр(х) интегрируется аналитиа Ь ческими методами.
Тогда ~ ф(х) сЬ вычисляем точно, а ~ рр(х) !(х р рр находим обычными численными методами. Заметим, что обычно разбиение на сумму делается выделением особенности в наиболее р Н р р н рр! ц~ррр-*р р вычисляется от точки х=О, то основная особенность имеет вид рр (х) = 1др х; если положить рр (х) = 1 (х) — ф (х) = 1др х (1+ хр)— — !/$'х, то полученная функция будет ограничена, что и требуется.
П р и е м 2 — мультипликативное выделение особенности. Представим подынтегральную функцию в виде 7" (х) = рр(х) р (х), где рр(х) ограничена, а р (х) положительна и интегрируема на отрезке. Тогда можно рассматривать р(х) как весовую функцию н применять квадратурные формулы Гаусса — Кристоффеля. Если на обоих концах отрезка функция имеет особенности степенного вида, то узлами интегрирования будут нули.многочленов Якоби.
Например, л нн рр я I. 11 р(х-- — 7 е ', х! — — соз — (! — — ). (40) Л ' н (, — 1 !'= ! Здесь использовались многочлеиы Чебышева первого рода (см. Приложение). П р и е м 3 — построение нестандартных квадратурных формул, явно учитывающих характер особенности. Так, для приведенного выше интеграла (40) на отдельном интервале сетки (хр „х!) можно аппроксимировать подынтегральную функцию выражением ехр (х! рм)7 Т вЂ” х', поскольку числитель — медленно меняющаяся !Еа !Гл.
Гч ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЯ гладкая функция и основная особенность связана со знаменателем. Эта аппроксимация легко интегрируется и приводит к квадратурной формуле ! и ~ — -Х ьк к! Г(х= тэ (агсз(п х! — агсэ)п х! !) е ! — !~', 1' ! — кк — ! ь= ! х,= — 1, хА =1. (41) По погрешности аппроксимации подынтегральной функции можно заключить, что остаточный член этой формулы на произвольной сетке не превышает О (6',„). На специальной сетке х, = соь— и эта формула еще более точна, ибо при этом она переходит в квадратурную формулу Гаусса — Кристоффеля (40), но это уже случайное обстоятельство. Обычно хорошо составленная нестандартная формула имеет один и тот же порядок точности на равномерных и неравномерных сетках.
$ 3. Кралные интегралы 1. Метод ячеек. Рассмотрии двукратный интеграл по прямоугольнику б (а(ха-.Ь, а~у(~). По аналогии с формулой средних можно приближенно заменить функцию на ее значение в центральной точке прямоугольника. Тогда интеграл легко вычисляется: аь ~))(х, у) Г(хг(у — 5((х, у), аа 5 = (а — а) (р — и), х = — (а+8), у = — (а+ р). 1 (42) а а Для повышения точности можно разбить область на прямоугольные ячейки (рис. 18). Приближенно вычисляя интеграл в каждой ячейке по формуле средних и обозначая через 5ь, хь, у, соответственно площадь ячейки н координаты ее центра, получим 1=~ ~~(х, у) дхГ(у,У,'5!~(х„у!).
(43) Справа стоит интегральная сумма; следовательно, для любой непрерывной Г (х, у) она сходится к значению интеграла, когда периметры всех ячеек стремятся к нулю. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Оценим погрешность интегрирования. Формула (42) по самому ее выводу точна для ((х, у) =сонэ(. Но непосредственной подстановкой легко убедиться, что формула точна и для любой линейной функции, т.
е, она соответствует аппроксимации поверхности, г=((х, у) плоскостью. В самом деле, разложим функцию по фар* муле Тейлора ((Х, У)=((Х, У)+Цх+Ч(у+ ~ $~1хх+$Ч(ху+ ~ Ч~(уу+...х (44) 1 где $=к — х, Ч=у — у, а все производные берутся в центре ячейки. Подставляя это разложение в правую и левую части квадратурной формулы (42) и сравнивая их, аналогично одномерному случаю легко получим выражение погрешности этой формулы аь Й=') ')((х, у) йх,с(у — о((х, й) аа =-,~4з((ь — а) ~;,+е ) ~„„1, (45) ибо все члены разложения, нечетные относительно центра симметрии ячейки, взаимно уничтожаются. Пусть в обобщенной квадратурной формуле (43) стороны прямоугольника разбиты соответственно на У и М равных частей, Тогда погрешность интегрирования (45) для единичной ячейки равна хч ''с( У / (~" +( М Суммируя это выражение по всем ячейкам, получим погрешность обобщенной формуль1 = О (У-'+ М-') (46) т.
е. формула имеет второй порядок точности. При этом, как и для одного измерении, можно применять метод Рунге — Ромберга, но при одном дополнительном ограничении: сетки по каждой переменной сгущаются в одинаковое число раз, т. е, отноиуение й)/М остается постоянным. Обобщим формулу ячеек на более сложные области. Легко сообразить, что для линейной функции Г(х, у) формула типа (42) будет точна в области произвольной формы, если под 3 подразумевать площадь области, а под х, у — координаты центра ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ 1гл.
ш тяжести, вычисляемые по обычным формулам 5= ~ ~ Лхасу, Х= —, ~ ~ хНхНу, у=-- ~~ ус(хг(у. (47) а а 6 Разумеется, практическую ценность это имеет только для областей простой формы, где площадь и центр тяжести легко определяются; например, для треугольника, правильного многоугольника, трапеции; Но это значит, что обобщенную формулу' (43) можно применять к областям, ограниченным ломаной линией, ибо такую область всегда можно разбить на прямоугольники и треугольники.
Для области с криволинейной границей формулу (43) применяют иным способом. Наложим на область 6 прямоугольную сетку (рис. 19). Те ячейки сетки, все точки которых принадлежат области, назовем внутренними; если часть точек ячейки принадлежит области, а часть — нет, то назовем ячейку граничной. Площадь внутренней ячейки равна произведению ее сторон. Площадью граничной ячейки будем считать площадь той ее части, которая попадает внутрь 0; эту площадь вычислим приближенно, заменяя в пределах данной ячейки истинную границу области на хорду. Эти площади подставим в (43) и вычислим интеграл. Оценим погрешность формулы (43). В каждой внутренней ячейке ошибка составляет 0(Ф-') по отношению к значению интеграла по данной ячейке.
В каждой граничной ячейке относительная ошибка есть 0(Ф-'), ибо центр прямоугольной ячейки не совпадает с центром тяжести входящей в интеграл части. Но самих граничных ячеек примерно в )у раз меньше, чем внутренних. Поэтому при суммировании по ячейкам общая погрешность будет 0 (М-'), если функция дважды непрерывно дифференцируема, а граница области есть кусочно-гладкая кривая; это означает второй порядок точности.
Вычисление площади граничной ячейки довольно трудоемко, ибо требует определения положения границы внутри ячейки. Можно вычислять интегралы по граничным ячейкам более грубо или вообще не включать их в сумму (43). Погрешность при этом будет 0(Ж-'), и для хорошей точности потребуется более подробная сетка. Метод ячеек переносится на большее число измерений. Мы видели, что к области произвольной формы его трудно применять; поэтому всегда желательно заменой переменных преобразо- КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ вать область интегрирования в прямоугольный параллелепипед (это относится практически ко всем методам вычисления кратных интегралов).
2. 4(оследовательное интегрирование. Снова рассмотрим интеграл по прямоугольнику, разбитому сеткой иа ячейки (рис. 18). Его можно вычислить последовательным интегрированием 1 = ~ ~ ( (Х, У) 4(Х НУ = ~ г" (У) 4(У, аа Г (У) = ) 1(х, У) 4(х. а Каждый однократный интеграл легко вычисляется на данной сетке по квадратурным формулам типа (3). Последовательное интегрирование по обоим направлениям приводит к кубатурным формулам, .которые являются прямым произведением одномерных квадратурных формул е (у~) ~ с~((хн у4), 1 = ~ч~ ~сге (у4), илн ! ~Ч~С~Д(ХН У1), СУ=СЯ. (48) Например, если по каждому направлению выбрана обобщенная формула трапеций, а сетка равномерная, то веса кубатурной формулы равны сДй,йа) =1, '!, и '~4 соответственно для внутренних, граничных и угловых узлов сетки.
Легко показать, что для дважды непрерывно дифференцируемых функций эта формула имеет второй порядок точности и к ней применим метод Рунге— Ромберга. Вообще говоря, для разных направлений можно использовать квадратурные формулы разных порядков точности р и д. Тогда главный член погрешности имеет вид 1(=0(ЬР+144). Это надо учитывать в методе Рунге: при сгущении сеток надо сохранять отношение Ь;,'Ьаа постоянным, чтобы закон убывания погрешности был известным.
Многократно сгущать сетку при этом условии нелегко, если р~д; поэтому желательно для всех направлений использовать квадратурные формулы одинакового порядка точности. Можно подобрать веса и положение линий сетки так, чтобы каждая одномерная квадратурная формула была точна для много- члена максимальной 'степени, т. е.
была бы формулой Гаусса; 112 1гл. ш численное интегэиговлнив тогда 1 ! 1 су 4 (о и) (р сс) у~у1~ х~ 2 (я+о)+ 2 (о — и) $;, (49) В 2 (а+1)+ 2 Ф )Ь1 1 ! где $, у — нули многочлеиов Лежандра и соответствующие веса. Эти формулы рассчитаны на функции высокой гладкости и дают для них большую экономию в числе узлов по сравнению с более простыми формулами. Например, у для т измерений кубатурная фор.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
