1626435584-7c6402f545ecf856225d6cf8d21519c9 (844233), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Можно показать, что если исходная и аппроксимирующая функции имеют непрерывные вторые производные, то формулы 1гл. п ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ такого типа имеют второй порядок точности. Оценим, например, погрей!ность формулы (34). Для этого разложим на интервале (х1, х;) функцию !р(х) = !и/(х) в ряд Тейлора 2 !Р(Х) = !Р1 112+ (Х вЂ” Х! !М) !Р! !ГЕ+ й (Х вЂ” Х! 1М) !Р! !12+... Используемые здесь производные можно найти, поскольку !р' (х) = Ы(!п/)/дх=/' (х)//(х) и т. д.
Возвращаясь к функции /(х) и учитывая, что !!р«(х)!~! в силу исходного предположения о почти экспоненциальном виде функции, получим /(Х)=ЕЧ! >= — 11-112ЕХР !(Х вЂ” Х1 — 1!2) Р! — 112+-Э (Х вЂ” Х! — !12) !Р! — 112+ !Ие(' " — и')ч' — пэ ~1+ — (х — х1 1,,)' гр;" 1!2+, „1.
Если проинтегрировать последнее выражение по отрезку 1х! „х,) и просуммировать по всем отрезкам, то единица в квадратных скобках приведет к квадратурной формуле (34), а второй член даст главную часть погрешности А! « 1 %1- Ы «! — ! 2 Я! — ! Кж — ~~)! 1Ат<р! 112 ~ (х — х; 1и)е(" ' — !12)~' — !12пх ! ! 'Я А1(/, /', /", х) (х, — х; ,)', где коэффициенты А! выражаются некоторым образом через значения интегрируемой функции и ее производных.
Заменяя этикоэффициенты их максимальными значениями, получим оценку погрешности )!А! А=шах!А1! п1ах(хэ — х„!)2 ~ч,'(х,— х;,)=О(шах/!), ! Ф в=! ! что и требовалось доказать. Нелинейные формулы повышенного порядка точности, аналогичные формулам Симпсона или Гаусса, не употребляют, ибо их слишком сложно строить. Повышенный порядок точности получают (разумеется, если функции имеют требуемые непрерыв. ные производные) таким приемом: строят подходящую несложную нелинейную формулу невысокого порядка точности и проводят по ней расчеты на последовательности сгущающихся равномерных или квазиравномерных сеток; полученные результаты уточняют методом Рунге — Ромберга илн процессом Эйткена. Однако этот прием применим только при не очень крупном шаге (см.
п. 3). НЕСТАНДАРТНЫЕ ФОРМУЛЫ $2! Отметим, что линейные однородные квадратуриые формулы (3) имеют те же свойства, что и сам интеграл: при умножении функции на число сумма умножается на то же число, а при сложении функций соответствующие квадратурные суммы складываются. Для нелинейных квздратурных формул эти свойства могут не выполняться (то же относится к задачам интерполяции и дифференцирования). Например, формулы (33) и (34) не аддитивны. 3. Метод Филона.
В радиотехнических задачах часто встречаются функции 1(х), описывающие несущее высокочастотное колебание е'"* с модулированной амплитудой. Это быстропеременные функции, и их производные Г<Р!(х) ЫР велики. Поэтому прн интегрировании их по формулам 5 1 приходится брать настолько мелкий шаг, чтобы выполнялось условие ьу» ~~1, т, е. чтобы одна осцнлляция содержала бы много узлов интегрирования. Это приводит к большому объему вычислений. Для уменьшения обьема вычислений надо использовать априорные сведения о подынтегральной функции.
Такие функции можно представить в виде ) (х) =у(х) ехр (2!Ох), где частота»2 известна, а амплитуда у(х) мало меняется за период основного колебания. Выбирая для у(х) несложные полиномиальные аппроксимации, можно получить квадратурные формулы, называемые формулами Филона [45!. Построим, например, аналог формулы средних. Для этого при вычислении интеграла по отдельному интервалу сетки заменим амплитуду ее значением в середине интервала. Погрешность этой замены определим, разлагая амплитуду по формуле Тейлора у(х)жу» 2!2, х» 2~-'х(х», г(х) =У(х) — У» !!2 — (х — х» !,2) ! —.х! !'»У! Умножнм амплитуду на несущую частоту, проинтегрируем по интервалу (х, „х,) и сложим интегралы по всем интервалам, После несложных выкладок получим квадратурную формулу г"= ~ у(х)е! "!(х — г 1» 2!221п( э )!»), !!» — -х» — х» 2, (35) 2 %! /О! ХО »=1 и ее погрешность Й = ~ г (х) е'"" !(х "-э — у„' 2!2! 21п — — — соз — ! ехр (2»»х»- 2(2) (3б) » 1 ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ 1ГЛ.
!Ч у(х) — уь 1+ ' А 1(х — хь !), хь.,~х-=хо. Умножая на несущую частоту и интегрируя по одному интер- валу, легко 'получим суммирование по всем интервалам сетки дает и . 03/3А мп— Р А' о+ ! У 2 ( ) ! А !М ьо и! л.! А, -! (37) Для равномерной сетки эту формулу удобнее представить в виде Я вЂ” ! ь=! Легко проверить, что при ой(1 полученные квадратурные формулы переходят в Обобщенную формулу трапеций.
Если же ой) 1, то погрешность этих формул по порядку ветичины равна )т = О (Мо1-'у,",); она мала, если закон изменения амплитуды близок к линейному. Если шаг интегрирования настолько мал, что ойч",',1, то триго. нометрические функции в этих формулах можно разложить в быстро сходящиеся ряды. При этом нетрудно видеть, что формула (35) действительно переходит в обобщенную формулу средних (16), и то же имеет место для погрешности. Для формулы средних погрешность есть малая величина О (й'). Однако для квадратурной формулы (35) малость шага гарантирует малость погрешности, только если Ы1- 1, что при высокой несущей частоте требует очень малого шага Ь~ог!. Если же шаг не настолько мал и удовлетворяет условию !о-1(йч': 1, то погрешность по порядку величины есть !т'=О(!т'о!'у„'). Следовательно, для малости погрешности (36) необходимо, чтобы амплитуда была почти постоянна, т.
е. ее производная должна быть малой. Кроме того, можно сделать важный вывод: если ой- 1, то метод Рунге — Ромберга для уточнения результата применять нельзя, ибо при этом зависимость погрешности от шага носит сложный (не степенной) характер. Поэтому для посгроения формул Филона высокой точности приходится использовать более сложные аппроксимации амплитуды. Например, воспользуемся линейным приближением 105 настандАРтные ФОРяулы Аналогично строятся формулы Филона для квадратичного или более сложных законов изменения амплитуды. Если амплитуда почти постоянна или почти линейна и т. д., то применение соответствующей формулы Филона нередко позволяет интегрировать довольно крупным шагом й) ы-'(например, шагом, равным длине несущей волпьс или еще более крупным).
Описанные же в Э 1 полиномиальные формулы требовали бы гораздо более мелкого шага й((гэ-', т. е. большего объема вычислений. Однако формулы (35) — (38) годятся только в том случае, если несущая частота постоянна. Если частота <плывет» (например, при фазовой модуляции колебаний), то надо составлять другие формулы. 4. Переменный предел интегрирования. Пусть надо вычислить Е (х) = 1 ( % р (э) б$. а В принципе при каждом значении х его можно рассматривать как интеграл с постоянными пределами и вычислять одним из приведенных выше способов. Однако если надо определять интеграл для очень многих значений х, то зто невыгодно.
Целесообразнее выбрать сетку и численным интегрированием высокой точности составить таблицу значений интеграла на этой сетке тт„=Р (х,). Тогда Р (х) = Р„+ ~ ) $) р $) г(э, х„~ х (х„ л и последний интеграл можно вычислять по простым формулам, ибо промежуток интегрирования мал. Возможен другой способ. Имея таблицу гт(х„), можно находить тт(х) интерполяцией по этой таблице. Так как одновременно всюду известна производная интеграла Р' (х) =((х) р (х), то можно воспользоваться эрмнтовой интерполяцией, обеспечивающей высокую точность.
б. Несобственные интегралы. Для и н те г р алов с бесконечными пределами есть несколько приемов вычисления. Прием 1 — введение такой замены переменных, чтобы превратить пределы интегрирования в конечные. Например, для интеграла ~ ) (х) дх, а ) О, а замена х= а((1 — () превращает полупрямую [а, оо) в отрезок 10, 11. Если после преобразования подынтегральная функция ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ 1гл. ш вместе с некоторым числом производных остается ограниченной, то можно находить интеграл стандартными численными методами. Пр нем 2 — обрезание верхнего предела. Выберем настолько большое Ь, чтобы ~ )(х) пх А был меньше допустимой ошибки вычислений.
Тогда его можно отбросить, а ь ~)(х) дх О вычислить по квадратурной формуле. Вблизи верхнего предела подынтегральная функция мала, пазтому вычисление выгодно вести на квазиравномерных сетках, шаг которых велик при х — Ь. Для уменьшения объема вычислений целесообразно приближенно вычислить отброшенную часть интеграла и учесть как поправку; зто позволяет выбирать меньшее значение Ь. П р и е м 3 — использование формул Гаусса — Кристоффеля. Из подынтегральной функции надо выделить положительный множитель, который можно рассматривать как вес для данных пределов интегрирования. Например, дадим способ вычисления интегральной зкспоненты (2.50).
Сдвигая нижний предел, приведем интеграл к форме Е1(х) = ) '— пг=е- ~„'~ й. о о Рассматривая е-' как весовую функцию и обозначая через $о у; нули многочленов Лагерра Ы'(() и соответствующие веса квадратурной формулы, получим л Е1(х) г-" ~) 1' х+$~' (39) С=1 Это выражение можно использовать как аппроксимирующую формулу. Например, одному и двум узлам интегрирования соответствуют Е! (х) "- — ~, Е((х) - х 4 Если первая из зтих формул пригодна лишь при больших аргументах, то вторая дает удовлетворительную точность бо' уже при х = 1, а при больших аргументах точность еще лучше.
П р и е м 4' — построение нелинейных квадратурных формул, применимых на бесконечном интервале. Например, формула (34) прн ~г ~ О допускает стремление х, к бесконечности„ если х; 107 нестАндАРтные ФОРмулы остается конечным. Для практического применения таких формул удобно ввести квазиравномеркую сетку на 1а, оо), ибо ее последний интервал обладает требуемым свойством: его правая граница удалена в бесконечность, а середина остается конечной. Кроме того, на квазиравномериых сетках можно уточнять результат методом Рунге — Ромберга.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
