1626435584-7c6402f545ecf856225d6cf8d21519c9 (844233), страница 26
Текст из файла (страница 26)
3, Вычисление интеграла. Значение случайной функции 7($) заключено между !'(х) и ! (к+4(х), если $ заключено между х и х+ 4(х; вероятность этого события равна р (х) с(х. Нетрудно понять, что математическое ожидание случайной функции и ее дисперсия соответственно равны 1- ОЭ М(($) = ~ 1 (х) р (х) йх, (55) Р~ (с) = $ [7 (х) — М7 Я)] р (х) с(х = М(е (5) — [М( (ч)]з.
(56) Таким образом, одномернечй интеграл можно рассматривать как математическое ожидание случаиной функции !"'(4), аргумент которой есть случайная величина с плотностью распределения р (х), На этом основан первый способ статистического вычисления интегралов. Математическое ожидание можно приближенно вычислить на основании центральной предельной теоремы теории вероятностей; если т! есть случайная величина, то среднее арифметическое многих испьипаний ! ~к= н л„'. Ч 4=! ВВ (гл. !ч ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ тоже есть случайная величина с о!ем же математическил! ожиданием Мьн=М!), причем при й(- со распределение ьн стремится 1 к гауссову (нормальному) распределению с дисперсией )зьн= —,П!). При большом чнсле испытаний дисперсия ьн мала, т.
е. значение среднеарифметического с хорошей вероятностью будет близко к математическому Ожиданию. Поэтому можно положить ~ ) (х) р (х) ах - — лг, ) (е !), СО г=! (57) где $ — случайная величина с плотностью распределения р(х). Оценим дисперсию отдельного испытания по формуле (56), заме- няя в ней математические ожидания на суммы типа (57); тогда дисперсия среднеарифметического приближенно равна ь -~~!|!! .е-Гр~ е!!!-р ~ !!!)]) (5~! 1 1 1 1 ! 1 Появление делителя У вЂ” 1 вместо Л! перед фигурной скобкой обосновывается в теории вероятностей; правда, это существенно только при очень малых числах испытаний. Ответ в методе статистических испытаний носит вероятностный характер и в принципе может сколь угодно сильно отличаться от точного значения интеграла.
Однако, согласно свойствам нормального распределения, с вероятностью 99,7% ошибка не превосходит 3 е'Лн. Вероятной называют ошибку 0,675 ~сЛ~, соответствующую 50%-ной вероятности; реальная ошибка обычно близка к этой величине — примерно вдвое больше или меньше. Таким образом, выполняя расчеты по формулам (57) — (58), мы Одновременно с интегралом получаем неплохую апостериорную оценку ошибки.
При увеличении числа испытаний )ч' погрешность ответа будет убывать примерно, как 1Д~ М. Скорости современных ЭВМ позволяют использовать в расчетах У 10'! поэтому на точность выше 0,1ьь в методе статистических испытаний трудно рассчитывать. В сложных задачах погрешность возрастает до 1 — 10ьь. Поскольку погрешность имеет вероятностный характер, то зависимость 1Д'й( относится не к самой погрешности, а лишь к ширине доверительного интервала.
Поэтому нельзя приписывать методу статистических испытаний строгий порядок точности (вроде р= !/,) и нельзя применять метод Рунге — Ромберга к расчес!ам, сделанным с различными Ж. МЕТОД СТАТИСТИЧЕСКИХ ИСПЫТАНИЙ П9 Второй способ статистического вычисления применяется ! к интегралам вида)/(х)Лх, причем на отрезке интегрирования о О(/(х) =1, Произвольный интеграл можно привести к такому виду линейной заменой масштабов, Возьмем случайные числа уь равномерно распределенные на единичном отрезке.
Будем рассматривать последовательные пары чисел (ум, у,м,) как координаты (хо у,) точек в единичном квадрате на плоскости х„ у (рнс. 21). Эти точки будут случайными и равномерно распределенными в этом квадрате. Поэтому вероятность попадания точки под кри- / вую у=/(х) равна площади, заключенной под кривой, т. е. искомому интегралу. /Тх/ Условие попадания точки под кривую есть узн,(/(ум); та доля общего числа испытаний, которая удовлетворяет этому условию, дает приближенное значение интеграла. 4. Уменьшение дисперсии. Точность метода статистических испытаний можно увеличить, выбирая специальную-случайную величину.
Обозначим д(х)=/(х)р(х), тогда исходный' интеграл примет внд Р= ~ д(х) йх. Положим д(х)=/(х)р(х), гдефункция р(х)- О и нормирована на единицу, так что ее можно считать плотностью распределения некоторой случайной величины. Как надо выбрать р(х), чтобы сделать вычисления наиболее точными, т.
е. дисперсию результата — мннимальнойр В дисперсии отдельного испытания (56) последнее слагаемое [М/(9))' равно квадрату искомого интеграла и тем самым не зависит от выбора р(х). Значит, надо требовать +ОЗ М)'Я)= ~ ~'(х)р(х)Их=пи)п. Добавляя условие нормировки плотности, перепишем эту задачу следующим образом: ОЭ + о~ ~д'(х)/р(х))ах=пни, ~ р(х) г(х=1. Приравняем нулю вариационные производные по плотности +СО + СО (й(х)/р(хД'бр(х)г(х=О, ~ бр(х)дх=О. 120 ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ [ГЛ !Ч Очевидно, для равенства вариационных производных нулю необходимо и достаточно, чтобы (д(х)!р (х))' = сопз(, или р(х) = с)д(х) ~.
При этом дисперсия не только миннмальна, но даже равна нулю, если д(х) знакопостоянно. В самом деле, тогда )'(х) =1, и даже одно испытание сразу даст точный результат. Конечно, на практике взять р(х) с[у(х) ~ не удается. Для разыгрывания -случайной величины с такой плотностью необходимо решить уравнение Ц у;= ~ [и(х) [Г(х, т.
е. вычислить искомый интеграл, да еще с переменным верхним пределом! Поэтому обычно подбирают р(х) так, чтобы 1 ~ р (х)[!х просто вычислялся, а само р (х) было по возможности ближе к 11(х). Смысл увеличения точности нетрудно понять. Если р (х),д(х) ', то ((х) почти постоянна и все Отдельные испытания дают близкие результаты. Пример.
Вычислим ~ Š— К' Г(Х 1 Положим р(х) =схе — "*, где константу с=2г определим нз условия нормировки. Случайную величину с такой плотностью разыграем по формуле + со к - [ ~[[к - ' к. 1-Л:1ГЕ. Ц Здесь удобнее считать переменным нижний предел интегрирова- ния, что также допустимо.
Теперь легко получаем 1 Р= — — р(х) [(х —, ~ (! — )пу[)-чк, 1=1 Л„= — ~ — ~ (1 — 1 у[)- — Е ~. -1 9 Ж вЂ” 1~ 2гМ 1=1 Приемы уменьшения дисперсии позволяют уменьшать объем вычислении; они широко применяются не только при вычислении интегралов. Например, Бюффон заметил, что можно определить число и, бросая иглу на сетку параллельных линий и регистри- МЕТОД СТАТИСТИЧЕСКИХ ИСПЫТАНИЙ 121 руя процент случаев, когда игла пересекается с линией (рис. 22). Но для получения трех верных знаков требуется примерно 10' испытаний.
Оказывается, если брать скрепленные крестом иголки, то для той же точности надо в 25 раз меньше испытаний, а три скрепленные снежинкой иголки дают экономию в 135 раз. 3 а м е ч а н и е. Нередко подыитегральная Функция имеет на разных участках существенно разное поведение, и ввести хороший единый вес на всем отрезке интегрирования не удается.
Тогда выгодно представить интеграл в виде суммы интегралов по отдельным участкам и вычислять каждый из них со своим весом. Это уменьшает дисперсию результата. 5. Кратные интегралы. В т о р о й с п о с об легко обобщается на многомерные интегралы 1= ~1(х, у, г) г(хг(уг(г по единичному кубу 6 (для определенности мы выбираем трехмерное пространство), если 0~)(х, у, г)(1 внутри этого куба. Рассмотрим куб Й в четырехмерном пространстве х, у, г, и и случайные равномерно распределенные в нем точки; координатами этих точек будут последовательные четверки случайных чисел уи„, я =О, 1, 2, 5. Доля случайных точек, удовлетворяющая неравенству у„.„«-( (уп, у„„, у„.,), даст приближенное значение искомого интеграла. Напомним, что чем больше число измерений, тем более жесткими тестами надо проверять качество случайных или псевдослучайных чисел, используемых в расчете.
3 а м е ч а н и е 1. Для функций произвольного вида можно получить при том же числе узлов точность в несколько раз более высокую; если использовать не случайные точки, а отрезки так называемых ЛП;последовательностей. Это последовательности многомерных точек, которые обеспечивают более равномерное распределение и самих точек в пространстве, и всех их проекций на грани и ребра многомерного куба.
Особенно выгодно в расчетах с такими последовательностями выбирать числа точек йГ = 2', ибо фактическая ошибка при этом оказывается обычно много меньше, чем по оценке дисперсии. Замечание 2. Для гладких функпий можно получить более хорошие результаты при несложном построении сетки, если выбрать число узлов У =А", где гп — число измерений. Разобьем единичный куб на г( кубиков со стороной 1/я, в каждом кубике выберем одну случайную точку и вычислим по этим точкам интеграл. Дисперсия этого метода есть Ьм=О(й(-'е о"'), т.
е. она меньше ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ [ГЛ. 1Ч оценки 0(У-11з), получаюп[ейся при обычном применении метода Монте-Карло,. Первый способ, Дисперсия второго способа велика, и обычно первый способ статистического вычисления интегралов точнее. Пусть р(х, у, г) ~0 есть многомерная плотность распре- деления некоторой случайной величины. Тогда, аналогично одно- мерному случаю, ~ ( (х, у, г) р (х, у, г) с(х [(у г(г = М~ (й, Ч, ь) с 1 -у,~~ 1(еь Ч' ьд. Как найти случайную трехмерную точку с заданным распределением плотности по тройке равномерно распределенных случайных чисел Ую, Умею Уз[,зй Дла этого надо свести РазыгРывание многомерной плотности к последовательным разыгрываниям одномерных случайных величин с плотностями гх (х), )с(у), )с(г).
Для разыгрывания координаты х построим одномерную плотность распределения по этой координате при произвольных остальных координатах + са )т(х)= ~~ р(х, у,х)иуих. Очевидно, функция Р (х) неотрицагельна и нормирована на единицу, т. е. удовлетворяет предъявляемым к плотности требованиям (51).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
