1626435584-7c6402f545ecf856225d6cf8d21519c9 (844233), страница 20
Текст из файла (страница 20)
(12) Для квазиравномерных или произвольных неравномерных сеток формул такого типа ие составляют. Исключение главного члена погрешности формулы трапеций означает, что мы перешли к аппроксимации параболой, и формула Симцсона точна для любого мвогочлена второй степени. Однако нетрудно проверить, что для ((х)=ха зта формула также дает точный результат, т. е. она точна для многочлена третьей степени! Это объясняется' теч, что на равномерной сетке остаточный член формулы трапеций разлагается только по четвым степеням шага и однократное применение ьгетодв Рунге увеличнваег порядок точности на два. Как и для формулы трапеций, погрешность формулы Симпсона вычисляется подстановкой разложения (5), в котором теперь надо удержать большее число членов и для каждой пары интервалов (х; ь х,) н (хь хеы) за центр разложения взять узел хе Из предыдущего рассуждения видно, что главный вклад в погрешность дает только пятый член разложения (!/24) (х — х,)~1'~ (хг).
Подставляя этот член в выражение суымарной погрешности двух соседних полииомиальнля аппроксимация интервалов, легко найдем "ьет )'г=,) г(")"" 3 (й т+~гг+7"1)= 9о г ('з) После суммирования по парам соседних интервалов получим ь л й 1,!у(,)„=0(ьз), 180,1 л (13) 4. Формула средних. Если на отрезке (а, ()) взять единственный узел квадратурной формулы х„то, функция аппраксимируется многочленом нулевой степени — константой 7 (хо). Поскольку симметрия формулы численного интегрирования приводит к повышению ее точности, то выберем в качестве единственного узла середину отрезка интегрирования х т/з (а+ Ь).
Приближенно заменяя площадь криволинейной трапеции площадью прямоугольника (рис. 17), получим формулу средних Р= ~)(х) г(х — ((з — а)) (х), х=- — (а+6). ()4) ! а т. е, формула Симпсона имеет четвертый порядок точности, а численный коэффициент в остаточном члене очень мал. Благодаря этим обстоятельствам формула Симпсона обычно дает хорошую точность при сравнительно небольшом числе узлов (если четвертая производная функции не слишком велика).
Асымптотнческан оценка (13) выведена в предположении существования непрерывной четверзой производной. Если 7 (х) кусочно-непрерывна, то спра- гу ведлнва только мажорантнан оценка, аналогичная (9). 1 П р имер. Вычислим интеграл Г=) ел бх~!,7183. В таблице 9 приве- о дсны результаты вычислений по формулам трапеций и Симпсона при разных шагах. Вторая формула обеспечивает гораздо более высокую точность при том Таблица 9 же шаге, Заметим, однако, что формулу Симпсона можно было вообще не 'вводить. Проведем расчеты по формуле трапеций на последовательности сгущающихсн вдвое сеток и применим однократный процесс Рунге не к формуле, а непосредственно к найденному на каждой сетке значению интеграла.
Результат будет тот же, что и при расчете по формуле Симпсона; попутно будет оценена фактическая погрешность формулы трапепий. К самой формуле Симпсона, как следует из аида ее остаточного члена, тоже можно применить метод Рунге. Это эквивалентно применению рекурреитного процесса Рунге н формуле трапеций. [гл. 2ч ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ Погрешность этой формулы вычислим стандартным приемом— подстановкой разложения (5); в данном случае за центр разложения надо брать середину отрезка, т.
е. узел квадратурной формулы. Несложные выкладки по!с(х! казывают, что ь й! = ~ ) (х) с(х — (Ь вЂ” а) !" (Е) — (Ь вЂ” а)' !" (х). (15) При вычислении уничтожился не ХР только первый, но и второй член Рис. !7. разложения Тейлора. Это связано с симметричным построением формулы средних и означает, что формула точна для любой линейной функции. Так же как и для формулы трапеций, для повышения точности вводится достаточно подробная сетка х! и составляется обобщенная формула средних ~1, (х! — х; ,) ( ! ' 2 " ' ~, ! = 1 ! 4 ~~~ (х! х! !) 22 (х!). (16) 2=! На равномерной сетке она имеет вид )! — !Еь ! .—.— 1 )с — - - ! !" (х) 2(х.
24,) (1 7) Замечание 1. Остаточный член формулы средних примерно вдвое меньше, чем у формулы трапеций. Поэтому если значения функции одинаково легко определяются в любых точках, то лучше вести расчет по более точной формуле средних. Формулу трапеций употребляют в тех случаях, когда функция задана только в узлах сетки, а в серединах интервалов неизвестна. Замечание 2. Знаки главного члена погрешности у формул трапеций и средних разные, Поэтому, если есть расчеты по обеим формулам, то точное значение интеграла лежит, как правило, в вилке между ними.
Деление этой вилки в отношении 2:1 дает уточненный результат, соответствующий формуле Симпсона. Замечание 3. К формуле средних тоже можно применять метод Рунге и либо непосредственно уточнять значение интеграла, либо строить формулы повышенной точности. Те формулы, которые при этом будут получаться, и те, которые были рассмотрены в предыдущих пунктах,— частные случаи так называемых формул Котеса, 9! полиноыньльнья лппеоксимлция 5. Формула Эйлера.
Аппроксимация подынтегральной функции интерполяционным многочленом Эрмита приводит к квадратурным формулам, содержащим производные в узлах. Мы не будем рассматривать общий случай и выведем только формулу с первой производной. Для этого приближенно выразим остаточный член формулы трапеций (6) через значения производных в узлах г2 (Ь п)~! (х) г2 (Ь вЂ” а)'1!' (и) — 1' (Ь)1. (18) Прибавляя эту величину к правой части формулы трапеций, получим формулу Эйлера (или Эйлера — Маклорена) 2 (Ь )У(п)+Р(Ь)1+ г2 (Ь и) 11'(а) — 1'(Ь)].
(19) Остаточный член этой формулы вычислим стандартной подстановкой разложения Тейлора для ((х). Предполагая существование непрерывной четвертой производной, выпишем в формуле (5) пять членов разложения и подставим их в выражение погрешности, Выполнив выкладки, получим асимптотическую оценку Р = ~ ( (х) г(х — — (Ь вЂ” а) (( (а) + ) (Ь)) — — (Ь вЂ” а)гг! ' (а) — ! ' (Ь)1 ~ а — (Ь вЂ” а)ь (гч (х) (20) ~=А~-;,(ь+) +~г+ "+1м-г+ — Ь)+ —, 0ь — Ь).
!1 ! ! ! ь )г = — Ь' ~ !'~ (х) г(х. 720 (21) Видно, что из-за симметрии формулы уничтожился член, содержащий 1"' (х); значит, формула Эйлера точна для многочлена третьей степени. Ее остаточный член имеет тот же вид, что и остаточный член формулы Симпсона; но его численный коэффициент в пересчете на один интервал оказывается вчетверо меньше. Отметим, что остаточный член (20) можно выразить, аналогично (18), через разности третьих производных в узлах и т.
д. Так строят формулы Эйлера — Маклорена высших порядков, но в практических вычислениях они применяются редко, и мы не будем их рассматривать. Обобщенную формулу Эйлера можно написать на произвольной сетке. Особенно простой вид приобретает формула на равномерной сетке, ибо производные во внутренних узлах сетки при этом взаимно уничтожаются: ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ [ГЛ. !Ч Зто показывает, что небольшая добавка к формуле трапеций сильно увеличивает точность, повышая ее с 0(Ь') до 0(Ь'). Если в таблице заданы значения только самой функции, а не ее производных, то обобщенную формулу Эйлера можно применЯть, подставлЯЯ Разностные выРажениЯ длЯ )а, ?л Но эти выРажения должны иметь второй порядок точности, чтобы соответствовать общей точности формулы (получающиеся при этом формулы называются формулами Грегори).
Если заменить производные односторонними разностями Гв=(7,— ?е)/Ь, [м=Д[к — )А т)7Ь, то общий порядок точности понижается до третьего. 6. Процесс Эйткена, У всех рассмотренных выше обобщенных формул на равномерных и квазправномерных сетках ошибку можно разложить в ряд по степеням шага типа (3.17).
Значит, к ним ко всем применим метод Рунге. Но для его применения надо знать, каков порядок точности исходной формулы. Предположим, что порядок точности р существует, но неизвестен нам. Оказывается; и в этом случае можно уточнить результат; если расчеты проведены па трех (или более) сетках. Чтобы упростить алгоритм расчета, выберем три сетки с постоянным отношением шагов, т. е.
с шагами Ь, = Ь, Ьа = [)Ь, Ьа = дхЬ. Обозначим приближенное значение интеграла на Ь-й сетке через РА и ограничимся главным членом погрешности; тогда можно написать Р=РА+а[["„Ь= [, 2, 3. (22) Зто система трех уравнений для определения неизвестных Р, сс, р. Вводя вспомогательные обозначения р=иЬР, у=[)Р, преобразуем эту систему к следующему виду: Р Р )) Р Р (), Р Р .
Руг (23) Перемножая крайние уравнения (23) и сравнивая с квадратом среднего уравнения, получим '[[ауа = (Р— Р,)(Р— Р,) = (Р— Р,')', отсюда легко получить уточненное значение интеграла Р = Р, + (Р, — Р,) е/(2Ре — Р, — Ра). (24) Попарно вычитая уравнения (23) друг из друга, получим Ра-РТ=[«-у), Ра-Ра=17([-у), или бл = у = (Ра — Ра)!(Р— Р?. Следовательно, эффективный порядок точности исходной формулы (22) равен Р=(!и [)) ' !и [(Ра — ГЧ)7(Ра — Рт)1. (25) Описанный алгоритм был предложен Эйткеном в 1937 г. дли ускорении сходимости итерационных процессов последовательного приближении, в которых ошибка убывает примерно по геометрической прогрессии (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
