1625915345-25e0823d1194a9e698afe0ea9e51e06f (843920), страница 7
Текст из файла (страница 7)
221. Доказать, что любое представление конечной группы имеет эквивалентное унитарное представление, 222. Выписать матрицы инфпнитезимальных операторов поворотов вокруг оси (х=0, у=2г) и их коммутаторов. Как восстановить по ним матрицы однопараметриче. ских подгрупп поворотов вокруг этой осиг й 8. РАЗ!!ОСТНЪ!Е МЕТОДЫ Ссмсгштво фупкнпй («„(х)) называется равномерно ограни. ченпым, есле найдется такая постоянная М, что 1«„(х) (< М для всел л. Семейство функций («я(х)) 'называется равностепенно непрерывньсаг, если для лсобого е)ие найдется такое б(е), что, как только (хс-хз((б ) «„(~с) — «и (~з)) ( ь причем б Для гл. 11 й физикиэ.
книги. не зависит от х и л. решения задач № 223 — 233 необходимо знание материала !3 †книги С. К Годунова еУравнення математической Задачи № 234-244 основаны на ыатерпале гл. Ч той нге 223. Будет лн система функций и„'(х) =з(пих равно. мерно опраниченнай и равностепеино непрерывной на интервале [ — и, сс1? 224. Будет ли система функций 2«+! л и,(х, у) = — х+ —,. у л+! Зл+2 Оценить е-энтропию множества вектор-функций (сс(х), о(х)1, 0(х(1, удовлетворяющих неравенствам: 225. 15и.— Зсс„(+(и (О) 1+(о (1) ) (1! 226.
( сс„+ о, (+ ) и, — э„(+ )сс (О)! + (о (1)/ < 1! 1 227. ~ (сс, + 100п„) с(х + и' (О) + пз (О) < 1; о 1 228 ~ (100и, -'; о„+ ссз + 10000«е) с(х:а 1; о с 229. ! (из -1- 2и,о, + оз! с(х < 1 о ) ссх) =1, )и(1!2)1+(! (112) / ~1, равномерно ограниченной и равностепенно непрерывной в квадрате 0(х =1, 0(у(1? 230. Является лп семейство всех дифференцнруемых функций (и(х)) вещественного переменного 0<х<оо, каждая из которых удовлетворяет неравенствам (и' (х) )» = + 1, ) и (х) ( ( = + 1, ' ' -~Г -Г-.— равномерно ограниченным и равностепенно непре. рывным? Компактно ли оно относительно равноз!ейной сходимости? 231. Является ли семейство всех функций (сс(х)) ве.
щественного переменного — оо<х<оо, каждая из кого-, рык удовлетворяет неравенствам (и(х!) — и(хо)(«У)х! — х.,/. ~ и'(х)дх<1, равномерно ограниченным и равностепенно неярерывным? Компактно ли опо относительно равномерной сходи- мости? 232. Доказать компактность (относительно равномерной скодимости) семейства (и(х)) функций одного пере-, менного 0«х«1, каждая из которых удовлетворяет не.
равенствам ! (и(х,) — и(х,) (»у'(х! — х.,~, ) ио(х) о!х»!. о 233. Доказать компактность (относительно равномерной сходнмости) семейства (и(х)) функций одного переменного 0«х«1, каждая из которых удовлетворяет не* равенствам (и(х,) — и(хо)) «'Р'~х, — хо(, ~ и" (х)Нх»1. о 234. Рассматривается явная конечно-разностная схема им ге! = и~,. !+а' —,, (ио !,; — 2ик !+ ио~.!,;)+)о,,т; и о=!р, ио,=р, и.,=о!, отвечающая задаче — = а' —., + ) (х, !); д! ох-" и(х, О) =ор(х), и(0, !) =р(1), и(1, 8) =т(1). Предполагается, что начальные данные конечно-разностной задачи взяты неточно йли — — Ч~л+Лл, где Лл — погрешность. Исследовать эволюцию погрешности, допущенную в начальных данных, методом разделения переменных в конечно-разностной схеме. Рассмотреть случай, когда г = а —.< — г)— 2 Ьл2'2 235.
Как и в предыд)чпей задаче, исследовать эволюцию погрешности, допущенную в начальных данных, для случая неявной схемы: ил, г+г = ими + а' —,', (ил г,г г — 2ил, гэг + ил, и;,) -,'— 7лгт. 236. Тот же самый вопрос для следующей схемы (рассматривается уравнение теплопроводности): з ил,г+з= илг+а а, (ил п лег — 2имг+г+илеьгэг)+)л, гыт. На скольких временных слоях здесь надо задавать начальные значения? Как Вы предлагките их определить по начальным данным решаемой задачи? 237.
Процесс Дугласа — Рэкфорда. Укажите, какие параметры и сколько итераций в цикле следует взять при решении задачи Дирихле: а) на квадрате 0<х<5, 0<у<5 с квадратной сет. кой ЗОООХЗООО точек; б) на квадрате 0<х<2, 0<у<2 с квадратной сет., кой 11 ОООХ11 000 точек; в) на квадрате 0<х<8, 0<у<8 с квадратной сет. кой 4000Х4000 точек; г) на квадрате 0<х<7, 0<у =7 с квадратной сет. кой 2000Х2000 точек. 238, Выписать расчетные формулы какой-либо неяв- ной разностной схемы для решения уравнения ди ди Г . , ди т — = — ~(1 + яплх) — ~ дг дк~ а» ~' и(0, М) =О, и(1, 1) =з(п(, и(х, 0) =О, 0<х<1 н обсудить условия ее применимости.
239. То же самое проделать для системы — + (! — 2х) — = О, аи ди дл дк ди ди — +(1 — 2х) — = 0 д~ дк сс(0, с) =О, и(1, 1) =О, и(х, 0) =ср(х), х (х, 0) =ф(х), 0<х< 1. 240. То же самое проделать для уравнения ди дс[ . — =4 — ' дС дх ' и(3, С) =О, и(х, 0) =ср(х), 0<х<3. 241. Построить разностную схему решения задачи Днрихле — ~(1+ х ) — ~+ — ~(1 + ху) — 1 — О, 0<я<1, 0<у<1, и)г=)(з).
Дать обоснование втой схемы расчета гладких реше- ний (апроксимация и устойчивость), аналогичные обос- нованию такой же схемы для уравнения Лапласа. 242. Построить разностную схему и привести все рас. четные формулы для следующей задачи: д'и (1 ~ соззх) " е-зспск+с) '" дхс ' и(0, 1) = з(п1, ' + и(п, 1) = сов|, 0<х<ст ди(и, С) (схему желательно построить неявную и дать оценки обусловленности прогонки). 243.
Поставить разумную смешанную задачу в облас- ти 1>0, 0<х<3 для системы ди ди др — +х — + — =О, дС дх дх Выписать расчетные формулы какой.либо неявной разностной схемы и предложить способ решения разно- стных уравнений. 244. При проведении процесса Дугласа — Рзкфорда (разностная задача Дирихле в квадрате 0<х<1, 0< <у<1) значение итерационного параметра было фик- сировано (а не менялось циклически).
Сколько должно потребоваться итераций для уменьшения погрешности в 500 раз на сетке Вессс' точек, 99 ответы ф 1. Характеристики, совзнак~ение иа характеристиках, приведение к каноническому виду 1.— — — ' ° 2. 8 ( — у)Г =~.к+Сир у(0! г(У вЂ” Ь+ Г'аз+ос 2 зз гтх о ' ' 3 прн у)0 вещественных характеристик нет. 3. 2) у=~к+С при у>0; при у(О вгшгственных характеристик нет. 4. 2202+у=Сг! — 2хпз+у=С2! х+у=Сз. 5. Вещественных характернстнх нет. 6. у=С,х, ху=С2.
7. х~у=С. 8. у С. 9. агсз(п х~агсз!и у=С. 1О. Вещественных характеристик нет. 11. — = — 2и и ~ [Г 2гг + 2гг — ! ° ду -Г 2 8х — ° и У ° ' з (уу)з Г У1+из ~Д' !+и„-) (г !+из) (Их)2 + — = О. 2 18,, +7В>О (а — Йз 14. — „ы [ыр(ы))'-О, где ге= )ГГ~рз+ 22. 16. т [тт — св(22+ т)2)~ = О. 17.— -тз ~ — т' — а — цз — 22)2 = О. Указанве: прп вычислении 17 Ре 2/ !гв 2 ~ 2 со со 60 дарактеристического определителя удобно пользоваться формулой ~ = )А() — ВС), А В! если СА АС, где А, В., С,  — матрины.
18. (та — йг — т1,' — (г)т=О. См. указание к прелыдушей задаче. 19. та (ноыт' — т'[ко(аз+ т)т) + ко~(т)я+ ьа)+ оы(аа+ ()!+ .(-(аа -(- т)а+ Ьт) (о.з+ из)г+ ычт)! = О. 21. Три плоскости: !) у=О; 2) — Зх+ +тг — )у+1=0; 5 ' 50) 3) -Зх+( — — у )у+1=0. 3 Г!О! 5 50) 22. Три плоскости: 1) х у; 2) х+Зу — 21=0; 3) Зх+37у-201=0. 23. Пучок плоскостей х+ау — (!+2а)1=0. 24. Лве плоскости:х + у + ТГГ1 — ! = О, х + у — Т~ 21 — 1 = О. 25. г(о+иг(1 0 на х+1 Сы йи+о11=0 на х — 21=Си )РЗ ! , 'рт 29.
1 ) с(рт + †„ сире + 81 ~- уа + †, + ааТа и ", Т 3 а,~р, ! = О, если г = ш =1. 3 27. Если хт+Р Сь то и Сы если х=Сзг, то Ц1+хг)йшлг +1оиа+2п,хтг(1 =0. — г(у а!и 2'Р 2 1' ! — т ' л— 28. 2тг(Ч' + г(Р !' 1 — т' =- О, если †„ =- соз 29г.р т г(х 29. !) если из+от(сз (дозвуковой поток), то система аллинтнче.кая, яешественных характеристик нет; 2) если из+от)ст (сверхзвуковой поток), то система гиперболическая.
Тогда Ыо(сз — от) + г(и ! — но Т )1с'(и' Г се†сз)) = 0 вдоль характеристик (с'- о ) йх .=! — ио ~)гса (иа -р оа — са)) уу. га 30, и, си если х-1=си и,=с„еслнх — 3 —— Сед и,=См если х+1=Са! иа Сг, если х+В=Са. 31. Харасстернстическя() овределятель ΠΠ— Л: О. 2,'! , г1 1м= Х вЂ” ! А 2А — ! 2Х вЂ” ! 0 — — Л 2М+! А именна! — сс Р связан с полннамами Лежандра.
а+г(Л), где ссь сопз!. Так как полиномы Лежандра имеют все корни различные и вещественные, то система гиперболическая. Соотношение иа характеристиках: иа + ЗРд (Ль) и, + ... + (2Ас + !) Рх (Л ) и = С вдоль характеристики х- Лес = Са, где Ла корень I (Л) = О, + — =О, ди, дх диз — — =О, где и, дх =и — о, из=и+о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
