1625915345-25e0823d1194a9e698afe0ea9e51e06f (843920), страница 2
Текст из файла (страница 2)
38. 39. Можно ли привести к каноническому виду систему ди, ди — + с — =~, Сд дх 40. Для системы уравнений акустики ди, 1 др — + — — =О, дг ро дх др г ди — +р се — =О дг г дх проиллюстрировать неоднозначность приведенпя к кано. иическому виду. 41. Когда риманов инвариант постоянен вдоль харак. теристики? Привести примеры, иллюстрируюшие как постоянство, так и переменность римановых инвариантов вдоль характеристик.
Найти общее решение следующих систем: 42. ) (х — 1) и, — (х+1) о, + и, = О, ((х+1) и, — (х — 1) о, — о„=- О; 43, и, + о„= 2 (и, — ор) — 3 (о, — и„), 1 о, + и„= 3 (и„— о„) )г 2 (о„— и„); 12 —," +6 — „" +5 —,+5 — „"+6 дм дм 3 — +6— дФ дх до — х=о дх др — =- 2и, дх ди 3 — х =2о+Зш — Зи. дх )1 О 2 О 3 4 1 Π— — 1 4 ди — + дг до — + дт дш — + дт дит + дт ди» дг ди» 4 — +5 — =О, дн до дх дх ди до 5 — +4 — =О, дх дх ди йа 3 — — 2 — =О; дх дх днт ди» вЂ” + — =О, дх дх 5 — + — »=О, ди» дп» дх дх 45 4 2.
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ 45. Найти решение системы да Е с~г до дш — — р —,=О дх дг Е, р = сонэ!, !3 1. При постановке смешанной задачи для гиперболических систем необходимо помнить о следующем: а) заданве начальных данных Коши недостаточно для определения решения, если зги данные заданы не на всей оси х; необходимы краевые или граничные условия! б) на каждой границе надо ставить с~олько условий, сколько семейств характеристик уходит от этой границы; в) зти условия должны быть такими, чтобы их можно было разрешить относительно «римановых ннвариантов», отвечающих уходяшим характеристчкам (нельзя, например, задавать соотношение на приходишей характеристике). Для получения гладких решений нузкно заботиться о согласовании граничных и начальных условий.
Более подробно об этом можно прочитать в книге С. К. Годунова «Уравнения метена. тической физики» (гл. П, 4 !3). 2. Для решения задач 46 — 62 и 86 — 88 следует найтв вначале ки общие решения, а потом входящие туда произвольные функции впределить через известные начальные и краевые условия. 8. Задача называется корректной, если она разрешима при любых начальных (илн граничных) данных, првнадлежаших к некото. рому классу, имеет единственное решение и это решение непрерывно зависит от начальных данных (см. книгу С.
К. Годунова «Ураввеяия математической физики», гл. 1, 4 8), Задачи 89 — 93 исследовать путем попытки построения примера типа примера Адамара ме. тодом фурье. 4. Для решения задач 94 — 98 необходимо использовать формулу Кирхгофа, дающую решение задачи Коши для волнового уравнения (см. книгу С. К.
Годунова «Уравнения математической физики», гл. 11, $18). описывающей продольные упругие колебания стержня, отвечасощие начальным данным ш(х, 0) =ф(х), о(х, 0) =ф(х). 47. Найти решение типа плоской волны сс =1(1 — ах — Ьу — сх) л сфсрнчесссосй волны 1 Π— аР'кг+ ссг+ гг) и= Рк'-1-дг-с- г' у волнового уравнения йуожио ли отыскать у него решесшя типа цилнндриссской во:шы и =- ф(хг-'рс?г) 7(с — и)с хг+д")? 14 Решить задачу Еошп у следующих систем: 48. (2ссс — и„— ок = О, (2ос — и, — о, =- О, и(х, 0) =О, о(х, 0) =2Х, — оо(Х(оо. 49. (2и, — (21 — 1) и, + (21+ 1) о„= О, (2ос -,'- (21+1) и, — (21 — 1) о, = О, и(х, 0) =О, о(х, 0) =2х, оо(х(оо; 50. (3 и, + 2о, — и, — о, = О, (ис + и, + о„= О, и (х, 0) = О, о (х, 0) =х, — 00 (х(со' 51. Решить задачу Гуров в области 1)(х) дси дги дсг дкг и (х, х) =ср(х), х)0, и(х, — х) =сс 1х), х(0, ср(0) =ф(0).
52. НаЕггн решение системы ди ди — — — =О, ди удовлетворяющее на двух кусках характеристик следую' щим условиям: и(х, х) =х, х)0, и(х, 5х) =хг х(0. 53. Волновое уравнение дги д!и д!и дхг дх2 ! 2л+! е нечетным числом (2п+1) пространственных перехгенл иых имеет решение вида /гл+! и ( )" р 1 — 1/ ~~~~ ххах й=! где !р(т) — произвольная гладкая функция. Проверить ато утверждение при а=О, 1, 2 (2л+1=1, 3, 5), Указать, какие из следующих ниже краевых задач правильно поставлены: 54.
ди ди — ! — — „— — 0 д! дх да ди — — =О, д! дх 0<х<Е, 1>0. Начальные данные: и(х, 0) =<р(х), о(х, 0) =гр(х), Краевые условия: 1) и(0, Е)=0, и(Е, 1) =1; 2) и(0, 1) =О, о(0, 1) =Ег; 3) и(0, 1)+о(0, 1) =Е, о(Е, 1) =0; 4) и(0, 1)-о(0, 1) =1, о(Е, 1) =0; 5) и(0, 1) =О, о(1,1)+2и(Е, 1) =з!пЕ; 6) иЕО, 1) =О, иЕ,Е, 1) — о(Е, 1) =0; 1$ 7 ) и(0, 1)'-о(0, 1) =О, и(1, 1)+о(1, 1) =1; 8) и(0, 1) — о(0, 1) =О, и(1, 1) — о(1, 1) =0; 9) и(0, 1)+о(0, 1) =О, и(1, 1)+о(1, 1) =0; !0) и(0, 1) — о(0, 1) =О, и(1, 1)+Зо(1, 1) =!.
д" +2д +о=о, до до — — — +и=О д! дх и(х, 0) =<р(х), о(х, 0) =~р(х), и(0, 1) — Зо(0, 1) =О, и(), 1)+7о(), 1) =О, 0(х -1, 1)0. — +2 — + ди до д~ дх до ди — +8 — = д! дх дФ дю — +3 —. = д! дх дв — = о-~-ы дх !о — и, и+о+в, 0(х(1, 1)О, Начальные данные: и(х, 0) =<р(х), о(х, 0) =ф(к), со(х, 0) =ы (к). Краевые условия: !) и(0, 1) =1, о(1, 1) — в(1, 1) =1о, и(1, 1) = 1; 2) и (О, 1) = 1, ы (О, 1) = 1о, о ( 1, 1) + 2 и ( 1, 1) = 0; 3) и(0, 1) =1, ы(0, 1) =1о о(1 1) — то(1 1) =! 4) и(0, 1) — 3(о(0, 1)+в(0, 1)) =а)п 1, о(1, 1)— — -о(1, 1) =1, Зо(0, 1) — 8сс(0, 1) =О. 57. =О, дН, + — „' =О, дх 0(х--), 1= О.
дН )х д! дНо )х— дг дЕо а— д1 дЕ, е— д! + — ' дЕо дх дЕ, дх дН, дх Начальные данные: Н,(х, 0) =!тз(х), Ез(х, 0) =1з(х), Нз(х, 0) =Аз(х), Ез(х, 0) =[з(х). Граничные условия: Нз(1 ()+ 2Ез(1 1) =0 1) Н, (О, !) + Ез (О, 1) = О, На (1 !) — Ез (1 !) = 0 На(1, !) — Н,(1, !) = 1; 2 с и,(0,()+ 'у — 'Е,(О,!) =1, Р )' р [Нз (О, () — 2Н, (О, !)[ = )~ е [Ез (О, !) — 2Е,(О, 1)), < р' [а Н, (1, !) — ) е Ез (1, 1) = О, 'з/[а Н, (1, а) + ) е Е, (1, г) = О; )) р Н, (О, Π— '['е Ен(0, !) =1, )Н, (! () = О, '(Н,(О, !) — Е,(О,!) =О, (Н,(1,!) =О.
Привести примеры правильных постановок краевых Задач в указанных областях: дт М и. дх дит., дит див — — '+ 3 — ' — 4 — ' = О, ду дх дх 0<(<1 — [х[, [х[<1; ( 2 —. + 8 — + — — 2 — = О, дит див дит див дх дх ду ду 0 <у<х, 0<0<1 — х, 0<х«1; ди, див ди, 3 — + —" — 4 — =О, ду ду дх 0<у <х, 0<х< 6 1.
ди, ди, ди, ди, ! — — — — в+ — — 5 — =О, дт д! ' дх дх х)0, !)О; 17 о С. К. Годунов. а. В. Золотарева < д~ дг дх дх ди1 ди, дио — -о, дг дх дх 62. 0(х( 1, 0 (1( оо; 7 — — 2 — +2 — — — =О, < ди1 дии ди1 дии дх дх ди дд вз. у(2х, у) — х,"! с дио ди1 дии — +З вЂ” +4 — =О, д~ дх дх 64, х)0, 1)0.
— + 8 — + 7 — = 0„ ди ди до д~ дх дх — +7 — +8 — =О, до ди до д~ дх дх дэ до дм — — 2 — — 3 — =0; д~ дх дх 65, до до да — — — + — =О, д1 дх дх до дш ди до Ао — + — +2 — — — + — =0 д~ д! дх дх дх до дв до д;о 2 — + — — 2 — + — =0; д~ д~ дх дх вв, до (Ьо — — — =О, д~ дх до до — — 2 — = О. д~ дх доо до Йо — — 2 — — — = О. дт дх дх ди 67, дС ди — + д~ до дт 16 В области 0(х."1, 1)0 привести примеры правили. ных и неправильных постановок краевых задач для систем: 68. Для системы ди, дис — +— дс дк О, ди, дссс ди, ди, + — — 3 — =0 дк дк дик дис дс дк О. дии дис — +— дС дС дсси дис — — — 2 — 0 дк дк привести примеры правильных постановок смешанных задач в областях: а) 0(х(хо, 1>0; б) 1(х(хи 1>0 в) 3!<к<хи, 1>0; г) 0<к<хи — й Р)0; д) 0<к<хо — 21, !>О 69.
Какие граничные условия требуются для системы < 2 — — (21 — 1) — + (21+1) — = О, ди ди ди дс дк дк 2 — + (21+1) — — (21 — ! ) — = 0 дс дк дк и области !>О, 0<х<1, если начальные данные заданы? Указать область, в которой решение определится начальными данными. 70. Найти характеристики уравнения дс9 ! — ссс дср р д + 'д +схси 9(г')с) '(кинетическое уравнение, случай сферической симметрии) и исследовать постановки задач в области — 1<р(1, 0<г<1т. Требуются лн граничные условия при !с=~17 ( 1+х ) и,+о,+ —" (1+х") и, + — о, + 2 — и = О, о — — „о =0 с „с— !9 Исследовать возможные постановки краевых задач у следующих систем: 72.
) х (и, — ьк) + 1!п Е (и, — о,) = О, ~х (и, — о,) + 11и1(и„— о,) = О. 73. В системе +б — =0 до дк ди ди — +а— дк дк до ди +у д~ дк дш ди — +в— дк дк +~3~ =О, +б д — — О, до до да +р — +т — =0 дк дк подобрать параметры ск, р, 7, б, е, 1к, т так, чтобы система стала гиперболической и допускала постановку: 1) двух краевых условий при х=О и одного краевого условия при х=1; 2) трех краевых условий при х=О; 3) трех краевых условий при х= 1; 4) двух краевых условий при х= 1 и одного краевого условия при х=О. 75. Для системы уравнений 2 ди, дик дик дик 4 — — — +2 — — 5 — =О, д1 д1 дк дк ди, ди1 о дик дии 4 — — — — 2 — - — — =0 дк д~ д~ дк в области х~О, 1)0 рассматривается задача и,(х, 0) =ср„(х), ик(х, 0) =4~„(х), ск,и,(0, 1) +а,ик(0, 8) =$Я, п(х(п+1, и=О, 1, 2...
подобрать параметры о, р, 7, б так, чтобы система стала гиперболической и чтобы 1) краевые условия можно было поставить при х=О, х=1 (по одному на каждой границе); 2) можно было поставить два краевых условия на левой границе 0(х(1; 3) можно было поставить два краевых условия иа правой границе 0(х(й 74. В системе В каком случае эта задача имеет непрерывное реше. ние (разобрать различные значения аи аз и ограничения на ср„(х), ср„(х) )? 76. В области ха+ух 1 рассматривается система ди, дис ди, ди, 2 — — — + — — 3 — = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
