1625915345-25e0823d1194a9e698afe0ea9e51e06f (843920), страница 6
Текст из файла (страница 6)
ластей: а) слой пространства 0<г(11; б) двугранный угол величины со = —, где п — нату- а' ральное число. 177. Построить функцию Грина для шара радиуса а. С поьюшью функции Грина решить внутреншою задачу Дирихле. 178. Построить функцию Грина для следующих об- ластей: а) внутри полукруга; б) внутри сферического слоя с радиусом а н Ь. 41 179. Сделать два приближения по методу Шварца для задачи Ли=О внутри области и(0, у) =О, 0(у(1, и (х, 0) О, 0 е= х ( 1, г и(х, 1(2) =яп2лх, 1~2(х<1, и(1/2, у) = — яп2лу, 1/2(у~1, и (1, у) = О, 0 < у о-.
1/2, и(х, 1) = О, О(х(1(2: 180. Можно ли получить с помошью вариационного принципа Дирихле решение задачи Дирпхле в круге Ое.:,ге=)(', если: 0 при 0<ф( (—, Зл а) и()т, !р) = о о=-! при 0 (<р(л, при л(ф(2л; б) и()с, !р) о» Х о!ео(зоф) По о=! в) и()с, ф) = ~ яп 2ф(; г) и(И, <р) = [з)п !р ~. 181. На двух концентрических окружностях заданы, Еоответственно, значения функции и(го, !р) =0 и(г!, ф) =1. Показать„что функция и допускает кусочно- гладкое продолжение внутрь кольца с конечным интег- ралом Дирихле. 182.
В условиях предыдушей задачи показать, что г 1" со интеграл Дирихле от гармонической функции и = = Го 1п— го пе превосходит интеграла Дприхле от функции г — со и = —,' . Решить задачу непосредственных! сравнением г! со интегралов Дирихле от функций и и й, 183. На контуре прямоугольника 0(х(2, 0(у -1 заданы краевые условия при 0(х(1, ~ 2 — х при 1<х<2; и(х, 1) =и(0, у) =и(2, у) =О. Показать, что моя<но найти кусочно"гладкуго функ. цпю, определенную во всем прямоугольнике, удовлетворяющую краевым условиям, для которой интеграл Дирихле будет конечен. 184. Можно ли показать то же, что и в предыдущей задаче, для следующих:краевых условий: и(х, 0) =и(0, я) =0; и (х, й) =.
"—, и (а, д) = —;"; 0(х ' а, О<у<5. 185. Разрепшма ли задача Гильберта для уравнений ик он=О~ л и„+ о„=О в круге хе+Ив(! с граничным условием [5 соз ф+з1п 2ф) и (соз ф, а!п ф) — 15 и! и ф — соз 2<р] )( Хо (соз ф, ебп ф) =О? $7. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ВРАЩЕНИИ Этот параграф иллюстрирует основные положения теории пред. ставлений группы вращений и вытекающие по этой теории свойства сферических функций. По этим вопросам можно рекомендовать следующую литературу: 1. Любарский Г.
Я. Теория групп и ее применение в физике. М., Фнзматгиз, 1957. 2. Гельфанд И. М., Минлос Р. Ан Шапиро 3. Я. Представления группы вращений и группы Лоренца, их применения. М., Физнатгпз, 1958. 3, Наймарк М. А. Линейные представления группы Лоренца. М., Физматю|з, !958. 4.
Виленкин Н. Я. Специальные функции п теория представле. ипй групп. М., «Наука», 1965. 186. Доказать, что лгобых два однородных гармонических полинома, один из которых 3-й степени, а другой — 5-й, ортогональны в смысле скалярного произведения: (Р, 4) 4— Д) Р(х, у, г)с4(х, у, г)гЫуг(г, к*+и'+к' < 1 49 4 С. К. Годунов, а. В. Зозотнревв 187. То же самое сделать для почппомов 2 й и 5-8 степени, если скалярное произведение брать в виде (Р, Я) = Щ 'к'хо + у" + г' Р (.х, у, г) Я (х, у, г) Х, ы+ ыэм ~ 1 Х ~(хну~(г !88.
То же самое сделать для полиномов 5-й и 7-й степени, если скалярное произведение брать в виде (Р, !',!) = ! Г ! е — *' — о' — ** Р (х„у, г) Я (х, у, г) ~Уха(удг. о 'а'о 189. Представить функцию х' в виде х'=Р,(х, у, г)+ (хо+уз+го) Р, (х, у, г), где Р, и Ро — гармонические полпномы 1-й и З-й степени. 190. Пусть 6 — мультиплпкативная группа отличных от нуля комплексных чисел. Доказать, что существует представление 6 матрицами 2-го порядка с вещественными элементами. 19!. Доказать, что все конечно-мерные представления какой-либо группы 6, эквивалентные данному, эквивао ентны между собой.
192. Доказать, что если во всех матрицах конечно. мерного представления некоторой группы совершить одну и ту же перестановку строк и столбцов, то полученные после такой перестановки матрицы образуют представление, эквивалентное исходному. 193. Пусть 6= [а] — бесконечная циклическая группа. Рассмотрим отображение Т(п~) ( О) (л=О, +1, -'-2, ...) г! О (,л ! Доказать, что Т вЂ” приводимое представление. Найти соответствующие инвариантные подпроспранства. Будет ли Т вполне приводимым? 194.
Пусть Т,((= 1, 2,..., Ф) — представления группы квадратными матрицами порядков лп. Обозначим через Т следующее отображение группы 6 в группу квадратных невырожденных матриц порядка л=~л1+...+гл„. Каждому элементу деи6 сопоставляется клеточно-диагональная матрица Т(И) с диагональными клетками Т1(к), ..., Т,(Я. Доказать, что Т вЂ” представление матрицами порядка л. 195. Найти все непрпводимые конечно-мерные пренс»валеная аддитивной группы вещественных чисел, все неприводнмые унитарные представления. 190. Найти все неприводимые конечно-мерные унитарные представления группы вращений плоскости, или, ч»о то же самое, группы ортогональных матриц с определи.
телем +1 (группа 50(2)) ' соз р — з!пгр», ~, ып ~р соз ~р /' 197. Рассматривая тождественное отображение 9(Ч)-»д(гр) как представление группы 50(2), разложить его на одномерные. 198. Выписать базис в пространстве однородных гармонических полнномов 4-й степени от двух независимых переменных.
Ввести каков-нибудь скалярное произведение и подсчитать норму векторов базиса. 199. Выписать базис в пространстве однородных гар. монических полнномов З-й степени от трех независимых переменных. Определить инфинитезимальные операторы поворотов вокруг координатных осей и привести соответствующие им матрицы в выбранном базисе. 200, Доказать, что гармонический полипом, равный нулю на сфере х»+уз+в»=х+у+г, тождественно равен нулю. 201. Коэффициенты а„„полинома У„аи» х'у!г» гч ль»» при повороте системы координат преобразуются по некоторому представлению группы вращений. На какие не- приводимые это представление раскладывается? 202.
Выписать явный вид полиномовЕ„"', Е„, образующих базис в пространстве гармоничеоких полиномов 2-й степени и матрицы представления, отвечающие поворотам на и/4 вокруг осей г и у. Полнномы Е„"', Е'„" определяются так: 1, (гп=О) Е~" ~ = к 3 5... (2)т( — 1)(2(ги)+ В 2 я 4 (2рч( г) г( ) (х+ с(з!яппи)у)™е (гл =,г= О); 2(т(+ ! щ Е(„(к! =, гЕ! (! г' 2 !«Н+ ! Е =у . гŠ— у г /(2« — !)(2« -(- !) щ Г 2л -(- ! (л — !)г — е~ г иг пн к — ! 2«З ' ег щг Х Х Е„"г (и > «! + 2). 203. Доказать, что если Р(х, у, г) — однородный гар.
ионический полипом степени л, то ~(г —.' — у — ) -) ~х — — г — ) + (у — — х — ) 1Р„(х, у, г) = — л (л + 1) Р„(х, у, г). 204. Проверить, что для группы вращений трехмер. ного пространства (йе,Ывуч,) ' =(Ы вЂ” е,уеу — ч,) где уе — матрица поворота на угол !р вокруг оси г; уе— матрица поворота на угол 0 вокруг оси у. 206.
Проверить, что для операторов д д д д, д д А=г — — у —, В=х — — г —, С=у — — х— ду дг' дг дк' " дк ду действительно выполнены соотношенвя коммутации А — ВА=С, ВС вЂ” СВ=А, СА — АС=В. 206. Для неприводимых представлений группы вра. щений в четно-мерном пространстве имеем тг(а+г ! = — Та(е), где д(!р) = вращение на угол се вокруг оси г. Доказать, что это равенство верно для вращения вокруг любой оси, Рассмотреть аналогичные тождества для неприводимых представлений в нечетко-мерном пространстве.
207. Представление группы вращений в пространстве всех однородных полиномав степени л разложить на иеприводимые. 208. То же сделать для неоднородных полиномов степени л. Показать неоднозначность разложения. 209. Вращения сферы допускают представление дробно-линейными преобразованиями плоскости с матрицами (сссс + р() = 1). — ра/ При этом вращению й!,(га) вокруг осн г на угол о! соог!!! !!! . »! ветствует !х=-е д 4=0;л,(е!) аналогично х=соз —, (1=-(з!и —,. Найти и и р, соответствующие п„(гв).
210. Доказать, что опера горы А, В, С из 205 задачи удовлетворяют тождеству — (сА + В)((А — В) + — (сЛ вЂ” В)(юЛ + В) + (!С)' =- = — (А'+ В'-'+ Са). Показать, что оператор Л'+В'+С' иерестановочен с А, В, С. 211. Доказать, что (А + В'+ С') Е» = — и(и+ 1) Е„ !см. задачи 205, 210). 2!2. Выписать матричные элеменгы спннорного представления, если в качестве базиса взять элементы Е»!» ( 1)„,Š— !» где Е„= ~ (2л (- !) ! !» — »!!в!! +»! Г (и — л!) ! (л+ л!) ! 1 Сделать это при и = — и при и=1.
Спннорное представление в пространстве однородных полиномов !»=» 1(1, и!) = Х гх»,Е» !» — » задается как представление группы ЗУ(2) матриц вида И5 с определителем, равным 1, порожденным преобразова- нием независимых переменных ч Е = !х) + рн!, ' = — ()1+ 213. Представление 5У(2) задается формулой и!! = !хп!! + К~ 1! — а!в!+ Ы! 53 в пространсгве четырехмерных полиномов Г = Р11114+Р411 во+Рогов, +Р,в, в,. Определить инфинитезимальные операторы этого представления.
214. На какие непрнводимые представления раскладывается представление группы 50(2) из задачи 213? 215. Для решения задачи Днрихле С и (х, у, г) = 9о + ~ы — '„Ял (х, у, е), 1оы ~~л где 4)л (х У е) 4 ~ ~ Чл (х У' а' $ г1' ) / (О, р) з)п 0г(0ЙР о о выполняются оценки ! ! ! г — Цл (х, у, 8) ~ «~ соп51 — „° Доказать, что всякую непрерывнуго функцию на сфере можно как угодно точно приблизить конечной линейнон комбинацией гармонических полиномов (теорема о полноте множества гармонических полиномов на сфере), 216. Пусть 1(1, в) = ~ а,„(лч- в" — (и =О, —,, 1, —,, ...) 1 3 п~= — л — однородный полипом (целый) степени 2п.
Вводим скалярное произведение (г, д) =4 ) ) 1~е'"с1й —,1)д~еоос1ь 2,1) Х вЂ” 4л .),) о о а ;; з(п4 — сбп 0г(0г(гр. Оно инвариантно относительно преобразования Те)'(1, в) = 7(а(+ рв, — р1+ ав) ,'(спинорного представления группы вращений), где мат- рица унитарна и ее определитель равен!. Его можно записать в виде ОЪ 66 Ю Показать, что оно же равно (~. ) - —,', ( ~' ~ ~ ( „*, „.,",,) ( г е ~ '! Ихнулф (,р!+рр ' у~+! р! ('+~'р)' 2!7. Инфанитезимальные операторы поворотов д д д д д д А=~ — — т! —,, В=3 — — ~=, С=т)-= — 3— дч дй ' д, д„- ' д"; дч рассмотреть в сферических координатах, получить !А ~ В = а~'ч [! — + с1я 0 — ~, 1С = ! —.
а дз, д ао — ач ~ з<р . 2!8. Применяя операторы !А~В, !С к базясныч полнномам, получить рекурентные соотношения для нпх. 219. Мы имеем~В„"сопз(Е„+~+сопз1Е„~ Какие рекурентные соотношения между полиномами Лежандра отсюда следуютг (Определение Е„см. в задаче 202). 220. Пусть в пространстве Ь со скалярным произведением (х, у) действует представление Т конечной группы 6=(е, дь ..,, Ы~). Доказать, что билинейная форма (х,у) = — ~~~ (Т(я)х, Т(0) р), х, дбЬ аео есть новое скалярное произведение, относительно которого все операторы представления унитарны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
