1625915345-25e0823d1194a9e698afe0ea9e51e06f (843920), страница 5
Текст из файла (страница 5)
(Рйатрпцы А = ()а,ь(х))), В = ДЬ,Ь( спммст. рпчны и А положительно определенная матрица.) Гиперболнчссгеая система называется консервативной, если интеграл энергии пе меняется со временем. Для этого достаточно краевые условия выбрать так, чтобы квадРатвчиаЯ фоРма Ьи ига+ 2Ьтзи,из + Ьззиз обРаща. лась в нуль при х=О и х Е; Ьеэ здесь предполагаются постоянными. В случае нопсервативной гипербалнчесной системы собственные вентер.ф! пнцпп и» = [им, и»з) и ир — — [и„,, и соответствующие различаым собственным значениям, ортогоиальны в таком сналярном пропзведснии: г [ и», ир) = ] [агг ™»! и р! ф агт [ иы гггз + и»а п„1) + паз "»з ггпу с(к.
о Это лает возмозниосгь для задачи (22), (17), (18) подбирать нозффициеиты с» решения (21) тан, чтобы удовлетворились и начальные условия. (с» суть нозффициенты Фурье прн разло'ненни начальной вектор-функции [гр,(т), фг(к)] в ряд Фурье по собственным вектор- функциям.) Более подробно с преобразованиями Лапласа и методоьг Фурье для гиперболпчеснпк систем моасно озпаномпться в нппгак: 1. Годумов С. К. Урагнгенпя математичесной фпзннп, гл. !У. 2. Лаврентьев М.
А., Шабат Б. И. Методы теории функций номплснсного переменного. !(зд. 2.е. М,, Фпзматгпз, 1958, гл. УИ С поыощыо преобразования Лапласа решить следующие задачи: 13!. х'" — 2х"+х'=4, «(О) =1, х'(0) =2, х" (0) = — 2; 132. х"+пах=а и!п (11(+се), х(0) =х'(0) =0; 133. х' = 2х — у-';г, у =х+2у — г~ г' =- х — у+ 2г, х(0) =у(0) =О, г(0) =1; 134. х' = 2х — у — г, у' = Зх — 2у — Зг, г' = 2г — х + у, х(о) =1, у(0) =г(0) =О; 135. /х' — х — 2у = 1, ( — 2х + у' — у =-1, «(0) =2, у(0) =4.
89 136. Построить с помошью ннгеграла Дгоямеля решение зздзчгг ! х' = Зх+ 2у+ 4хгг, у' = к+2у, х(0) =О, у(0) =О. Выведите асимптотические формулы для собственных значений следующих систем. Сравннге с точнымп фс>рагу- лами собственных значений, если удастся их найти. Л и + (1+ х) — + и = О, Ло + (1+ х) е — о = О, и(О) =О, и(1) =О, 0(х(1.
1 38. Ли + (2 — к) — -1- х'и = О, гГо гГх Ло + (2 — х) — — х' о = О, гГи гГх и(0) =О, о(!) =О, 0<х(1; 139, сЬ Ли+ — — бо= О, гГх гГгг Ло + — — и=О, ггх и(0) — 2о(0) =О, Зи(!)+2о(1) =О, 0(х<1; 140. гГо Ли+ — „+ 2о =-О, гГи Ли+о,— — О, и(0) — Зо(0) =О, 2и(!) +о(1) =О, О=х:а 1; 141., но Ли+ — зг хи = О, гы Л (1+.') о + х — = О, Зи(0) — о(0) ==О, 4о(1)+и(1) =О, 0(х(1. Выписать и решить дифференциальные уравнения для преобразования Лапласа. С помощью формулы обраше. 40 нпя разчожпть решение по собственным функциям 1 42, да до ~ ~ ~ ~д ~ ~ ! с ~ ? ~ к ~~ ~ ~ ~ ~ ! ~ ~ ~ ~ ~ | ~ л ~| — + — =О, д! дх и(0 !)=и(1 !)=О, и(х, 0)=0 о(х 0)=сов до да ! + — х=О д! дх и(0, !)=и(1, !)=0; и(х, 0) з(ппх, о(х, 0)=0 ~ до да — !+ — к =0 д! дк и(0, !) =и(1, !) =О, и(х, 0) =в(п их, о(х, 0) =О.
Изучить применимость метода Фурье и системам: 14 5, да до е* —,+ — х=О д! дк и(0, !) =О, о(1, !) =О, 0(х(1; Иб. да до — + — + хо = О, д! дх (1+х') — + — — хи = О, и(0, !) =О, и(1, !) =О, О(х(1. В каком скалярном произведении ортогональны собственные вектор-функции? 147, (1+х) — + х —, + — = О, да до до да до да х — +(1+х) —. + — = О, д! д! дх и(0, !) =О, и(1, !) =О, 0(х~1; 148. да до (1+ х) — + — + х'о = О, (2 — х) —" + —" — хои = О, д! дх и(0, !)=О, о(1, !) =0 0(х<1 Найти собственные функции следующих краевых задач: 149. ди да — — —, =О, дС дх дс дх О, и(0„() =О, о(0, () =О, 0<х<1, 150. ди, ди г х 0 дС ' дх дс д„+и=О, и(О, !) — (О, ()=О, и(1 !)+ро(1, ()=О, ар=сонэ(, 0<х<!.
Выписать асимптотику собственных значений и форхсулы вычисления коэффициентов Фурье у следующих систем: 151. 1 ди ди — ч ° — +2 — «=0, 1-,'- х дт дх и(0,()=0, и( —, !)=О, 0 х< —,; 152. ' ди,, «ди ~ ! ~ ~ ~ 2 ~ ! ~ ~ ~ т ~ ~ ~ ~ х — — ', (1-'х') — + е«и = О, дс ' ' дх дс ди с е — «и==О, ис дх и(0, 1)+о(0, с) =О, и(1, с)+о(1, () =О, 0<х<1, 153. Указать граничные условна для системы ди , ди ди , ди 2 — + х — + — + — -с- х'и = О дС ' дт ' дх дх дс дС ' д.с дх на отрезке 0<х<с', прп которых она будет консервативной.
Выписать формулы для вычисления коэффициентов Фурье, 154. То же самое сделать для системы ди . до ди , до 5 — + ыпх —.+ — + 2 — = О, д! до дх дх ди до ди ао ып х — + 2 — -? 2 —. — — = О, до д~ ах ах 0<х<п. 156. Указать граничные условия для системы < до , ди ао — +2 — — — =0 М дх ах = на отрезке 0<х<1, при которых она будет консервативной. Определить собственные значения и собственные функции.
156. То же самое сделать для системы а~ дх ах 0<х<1, до ди до — +2 — — — =О, дт дх дх Вычислить преобразование Лапласа для решения следующих задач: до ди — + — = О. дг ох и(0, 1) =о(п, 1) =О, и(х, 0) =х~, о(х, 0) =О, 0<х<п; 158. ди до дв — +9 — + — =О, дГ дх дх , аи -' — = 0 до ' ах дв ав ' — + — =0 1аГ дх и(х, О) =О, о(,, О) =О,, (х О) = и(О, 1) Зо(О, г) =О, в(О, г)=0, о(1, Е)=0, 0<х<1; 43 д ти + 4 д + и = О, и (О, 1) = о (и, 1) = О, и (х, 0) = О, о (х, 0) =з)п' х, д>'+ дк+ о 0' 0<к<я, 160. Разобрать вопрос о представлении решений сис- темы ! д +27д +и=О, ди до дС дк до до — +3 — — о= О, >Н дк и(0, 1) +о(0, 1) =О, и(1, 1) — о(1, 1) =О, 0<х<1.
То же самое сделать для следующих систем: у + 27д— — и 0> до ди — +3 — — и=О дт дк и(0, 1) =о(1, 1) =О, 0<х<1; 462. до до, г — + — +х и-'-(1 — х)о=О. г до ди г д> дк — +4 — +(1 — х)и+хо=О > и(0, 1) =О, и(1, 1) — и(1, 1) =О, 0<х<!. Решить методом Фурье следующие системы: 163.
ди + 2 >то 0 д>' дк до ди дг дк —,+5 — к=О и(0, 1) =О, о(1, 1) =О, и(х, 0) =х, о(х, 0) =О, 0<к<1; 164. до до дт дк — — 2 — к=О, и(0, 1) =О, о(1, 1) =О, и(л, 0) =О, о(х, 0) =х, 0<х<1; через стоячие волны. Выписать асимитотическую форму, лу для собственных значений. — +2 — =О, ди до дс дх до дп +3 — =о, дС дх о(0, С) =О, и(1, С) =О, о(х, О) =х, и(х, 0) =О, 0 ~ х ~~ 1; —" — 3 — =О, дС дх до ди — с-5 — я =0 дС дх и(0, С) = — О, о(1, С) =О, и(х, О) =х, о(х, 0) =О, 0(х(1; 1Ву. ди+ д дС дх до ди д +2д =О, дС дх о(О, С) =О, о(1, С) =О, и(х, 0) =-1, о(х, 0) =О, 0(х(11 й 6.
УРАВНЕН Н Е ЛАПЛАСА 1. Для решения задач йй !68 — !73 н !79 — !84 необходимо знание материала гл. 1П 5 20 — 23 шп!ги С. К. Годунова «Уравнеиля математической физики». 2. Функция Грина для уравнения Лапласа первой краевой задача (задачи Дирихле) определяется следующими условиями! а) в трехмерном случае ! 4лг + (23) где о Ч(х-к)з+(у-т!)з+(х-ч)з — расстояние между точкачп М(х р. е) и Р($, В, в), а о(М, Р) — функция регулярная н гармоническая всюду в рассматриваемой области Т с границей о. На границе о функция б удовлетворяет услоашо б(о=О! б] в двумерном случае ! ! б(М, Р)= 2 !и г +о(М, Р).
(24) Исаи функция Грина известна, то решение первой краевой задачи для уравнения Лапласа ли= — о, п(о=-/ зздасгся формулой до и (М) == - Г /(и) — оот, ап„ (25) оо гле — — пронзводная функншг 6 на гранаде о, взягая по напрввлсюзю впешнейг нормали к о. В качестве литературы по эгону вопросу можно порекомендо. вать книгу А. Н. Тнконова, А.
А (.амарского «Уравне1гпя матемвтнческой физикн» (Изд. 3-е. М., «Наука», )йт)6, гл. )У, $ 4). 168. Доказать разрешимость задачи Дирихле для составной области, предполагая ес разрешимость у исход- в/ иых областей. Дать оценки скорости сходпмостн альтернирующего процесса Шварца: 169.
Пусть и(х, у) внутри квадрата 0<х<1, 0(у<! удовлетворяет следующим условиям: и.,+и =О, и(х, д) ) — 2, а в центре квадрата и(г/з,г/з) < < !. Оценить: а) ! и ) в точке (в/в, в/в); б) оценить сверху и(1!в, Чв). 170. Пусть и(х, у) — гармоническая внутри равностороннего треугольника ЛВС; и(Р) <1, где Р—.центр тя- жести треугольника.
Оценить сверху и(Я), если точка О лежит на отрезке АР и АЯ = —, ЦР. 1 в 171. Пусть и(х, у) — гармоническая внутри области 0 ( х ) О, у ) О, х + у ~ 1) н ) ) иЧхйу ( —. о Оцепить!и ~ в точке Я(Чз, Чо) ° 172. Пусть и(х, у) — гармоническая внутри области 0(х) О, у)0, х'+уз(1) и и ),1 (х' + у') и' (х, у) сХхИу <, 1.
о Оценить )и ) в точке Я('Й, '/о) 173. Пусть и(х, у) — гармоническая и положитечьна внутри квадрата 0(х<6, 0(у 1 и, кроме того, Ц и'(х,у) ихбу(1. оо Оценить сверху и(х, у) в точке Р(5,2). Можно лн оценить ~ и.) и )и„~ в той же точке? 174. Построить функци1о Грина и решить задачу Дн. рихле для уравнения Лапласа в полупрастранстве г= О. Какие ограничения надо наложить на решение, чтобы обеспечить его единственность? !75. Решить с помощью функции Грина задачу Ди- рпхле для уравнения Лапласа в полуплоскостн у)0, если (О пр х<О, )У прп х )О. 176. Построить функцию Грина для следующих об-.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
