1625915345-25e0823d1194a9e698afe0ea9e51e06f (843920), страница 3
Текст из файла (страница 3)
дх дх ду ду Указать, на какой части границы круга можно задать граничные условия (и в каком виде), чтобы задача имела единственное решение. 77. Предложить способы свести волновое уравнение и +и„=и„ а) к системе трех уравнений первого порядка, б) к системе двух уравнений первого порядка. Рассмотреть характеристики полученных систем. Какие задачи для этих систем могут считаться эквивалентными задаче Коши для волнового уравнения? 78. Для системы дсс ди — — — х=О дс дх ди ди — — — =0 дг дх с начальными условиями и(х, 0) =О, о(х, 0) =ха(1 — х), 0<х<1 найти параметры аь Ьс, ась Ьсь обеспечивающие непрерывность функций и, о вместе с их первыми производными у следующих граничных условнй; (1) и(0, 1) =ас+Ьсг, о(1, 1)=а,+Ьз(; (2) и(0, 1) =а,+Ь,1, и(1, 1) =ах+Ьз1; (3) и(0, 1)+о(0, 1) =а,+Ьс!, о(1, 1) =а,+Ь,1; (4) и(0, 1) =а,+Ьс1, о(1, 1)+2и(1, 1) =а,+Ьхг; (5) и (О, 1) — и (О, 1) = а с + Ь, 1, и (1, 1) +о (1, 1) = аз+ Ь,1; (6) и(0, 1) — о(0, 1) =ас+Ьс1, и(1, 1)+За(1, 1) =ах+ +Ь 1.
79. Для системы ди ди ди — +2 — +3 — =0 дс дх дх 2! с начальными условиями и(х, 0)=х, о(х, 0)=1 — х, 0<х<1 поставить какую-нибудь разумную краевусо задачу, обеспечивающую непрерывность решения вместе с первыми производными. 80. Система уравнений — '„'," — —",,'- = о, ди, ди, —" — — =0 дС дх дополнена гранпчнызссс условиями ис(0, С) =Р, ис(1, С)+2ссз(1, Е) =е-' и начальными данными ис(х, 0) =х, ссз(х, 0) =Зх(1 — х). Существует ли решение с непрерывпымн первыми производными в области 0<х<1, 0<1<1? 81.
Для системы уравнений < дис ди. ди, Уи. — — — — '+ — — 5 — '=О, дС си дх дх поставить в области х)0, 1)0 разумную краевую задачу, имеющую в этой области дважды непрерывно дифференцнруемое решение. Каким условиям должны удовлетворять начальные данные при заданных краевых условнякр 82. Для системы уравненпйс 7 — — 2 — '+2 —,— — ' =О, с ди, ди дис ди., дх дх ду ду ди, ди, дии — — +1Π— — 3 — '=0 дх ду ду поставить в области д<2х, у) — х разумную краевую задачу, имеющусо дважды непрерывно дифференцирусмое решение.
Каким условиям должны удовлетворять начальные данные? 83. Подобрать коэффициенты а, Ь, с так, чтобы реше. заве системы о) + дх + дх « + ! ° ди до дм до ди оТ+ дх 2« дм да +2 — 0 дг д определенное при Г>0, 0<х(1 н удовлетворяющее начальным и граничным условиям и(х, 0) х', и(0, !) О, о(х, 0) =О, о(1, г) ЬГ+ с!', ш(х, 0) х, ш(0, !) = а1, имело непрерывные вторые производные. 84. Для системы ди до дм — +2 — + — =о, дГ дк дх до ди — +8 — =ш д~ дх да дв — +3 — =и д~ дк с граничными условиями и(0, Г) =Г, ш(0, Г).=Р, о(1, Г) =! указать условия на начальные функции, которые бы обеспечивали существование дважды непрерывно диффе.
ренцируемого решения. 85. Найти решение уравнения д'и д'и а области 1(Ах, если известны ий о ф,(х), х>0; ди ~ — ~р, (х), х ~ 0; ш 1с-а ин ы ф(х), х)0, А)1 Каким условиям должны удовлетворять функции ~ро(х)> ч?1(х), ф(х), чтобы решение было непрерывным? 86. Найти решение системы 7 — — б —.
+ б — = О, ди ди до дг дх ох 7 — +4 — и+5 — '" =0 дГ дх дх в области х~О, т>0, удовлетворяющее условиям и(х, 0) =О, о(х, 0) =х, и(0, 4) =т. Будет ли оно один раз непрерывно дифференцируемым? 87. Для системы б — +4 — ". +3 — — 4 — =О, < ди~ ди, ди~ дии дх дх ду ду 3 — +8 — + — — 2 — =О ди, дии ди, дии дх дх ду ду в области х)0, ()О привести пример разумной краевой задачи, имеющей в этой области один раз непрерывно днфференцнруемое решение и найти его. 88. Для системы ди1 ди, Ри, ди, 2 —. — б — — 3 — + 8 — = О, дг д~ дх дх ди~ ди, дии — — + 3 — — 4 — =0 дГ дх дх в области х)0, 4>0 привести пример разумной краевой задачи, имеющей в этой области один раз непрерывно дифференцируемое решение и найти его.
Для следующих систем проверить, является ли кор. ректной задача Коши с данными при т=О: 89, (ии+. ох = О, 90 (ип и, — о„= О, (ои — их = 0; (ои + и, — о, = О. 91. )пи+ и, + о, = О, (ои — и„+о = 0 92. Показать, что задача и„= и — и„о и(х, у, О) ~р(х, у), и,(х, у, 0) =ф(х, у)' некорректна. 24 93. Показать, что при любом комплексном а задача Коши с данными при 1=0 для уравнения и„=аи„ некорректна. 94. Решение волнового уравнения при 1=0 удовлетворяет начальным условиям и~~=о = О, — = 9 (х) $ ()/хо + уо + г'), где 1 при г(а, Фо)= э,о~ р («в, = уР~Р 0 прк г)2а. Определить те интервалы времени, при которых оно может быть получено решением «одномерного» уравнения дои од и —,.
=с —. дР дх" ' 95. Решение волнового уравнения при 1=0 удовлетворяет начальным условиям и !~=о = О. 0 прн ~г) 2, да ~ 9 ()Гх'+у') при ~г~ 1, д' !с=о [1 — ( а ) ] 9(1~ х'+У') пуи 1<!4(2 где <р(р) =О при 1р-21)1, р=)хо+уз. Изучая это решение на плоскости г=О, определить те интервалы времени, при которых оно может быть получено решением «двумерного» уравнения При каких Е заведомо и 10, О, О, 1) =О?, при 1:=О удовлетворяет начальным условиям и1г е гр(х) дг ~ =ф(х) оо <х< оо. Вывести формулу этого решения. Сравнить полученное решение с решением задачи Коши для «одномерного» уравнения деи деи дта дхв ' — = сев ди ~ и)г-е = Ч(х), д = ф(х).
дг 1г=о оо <х< оо. 9 3. ИНТЕГРАЛ ЭНЕРГИИ И ДИССИНАТИВНЫЕ КРАЕВЫЕ УСЛОВИЯ Е Пусть дана система уравнений ди ди ди А — + — +С вЂ” +О =( дг дх ду (9) где А, В, С вЂ” симметричные матрицы. Умножим систему 19) скалкрно на вектор 2н и ироннтегрнруем оо некоторой области О, ограниченной поверкностьго 5. Нсиольауи 98. Решение волнового уравнения при 1 О удовлетворяет начальным данным и ( -о=~р(х+у+х), $~ -«О'итг'~ ). Вывести формулу этого решения. 97.
Дать физическую интерпретацию формулы Кирхгофа для волнового уравнения, если начальные данные отличны от нуля в ограниченной области. Почему у «сферической» волны есть передний и задний фронт, а у «цилиндрической» волны задний фронт отсутствует? 98. Решение волнового уравнения ~~([«А+ [В+«)С]и, и)Н5= = Щ[(1!и, и)+ 2(/, и)] Нхдудт, с' (10) где (т, С, т!) — единичный вектор внешней нормали к поверхности З,а д д д (! = — А + — В + — С вЂ” (!] + !]*). дт дх ду Тождество (1О] называется антегралом энергии для симметрической системы.
В частности, если число переменных равно двум и гиперболическая система не симметрическая, то мы можеы привести ее к каноническому виду и для него выписать интеграл энергии, 2, Пусть гиперболическая система уравнений задана нам в ка. ионическом виде ди! ди! л дт + й! дх + 2~ гл ги! = Уг(1 = 1, 2, ..., л ) !=1 ди! ди! — — й! д + 1„тип = Г',. (1 = л + 1, ..., и) ! в полосе 0(х~( для 0<1( Т. Рассмотрим для системы (!1) следующие граничные условия! л и! «« ~з„аии; при х = 0 (1 = 1. 2 ° ° ° «ие)1 / л«91 и! = ~~ й! и прн х = 1 (1 = яр+ 1, ..., л). / ! (12]' Граничные условия (12) называются днссипативнымя, если в кочках границы выполнено неравенство — ~~Р~ й!игз + ~~Р й! и с 0 (13) ял пал«од«шлл ! лл т«лх«жлл ! («по приходящим Ь означает суммирование но всем тем 0 для которых соответствующая характеристика — приходщцая, аналогично «по уходящим Ь).
Со всеми вышеприведенными определеннямп можно познакомиться более подробно в кинге С. К. Годунова «Уравнение метена. тической физики», гл. П, $9, 13, 14. 99. Дли системы < дг дх до ди х дт дх теорему Гаусса — Остроградсхого, получим интегральное тождество исследовать вопрос о днссипатнвности следующих краевых условий: (1) и(0, Е) =О, и(Е, Е) =0; (2) и(0, Е) =О, о(Е, Е) =0; (3) и(0, Е) =о(0, Е), о(Е, Е) =0; ',(4) и(0, Е) =О, о(Е, Е)+2и(Е, Е) =О; (5) и(0, Е) =о(0, Е), и(Е, Е)+о(Е, Е) =0; ,'(6) и(0, Е) =о(0, Е), и(Е, Е)+Зо(Е, Е) =О.
100. Для системы ди Ри — +2 — „+о=О дг дх до до — — — +и=0 дЕ дх выписать какой-нибудь интеграл энергии н проверить, диссипативны ли граничные условия и(0, Е) =Зо(0, Е), и(1, Е)+7о(1, Е) =0 и как можно добиться их дисснпатнвности? 101. Для системы < до йо — — Š— „=О дЕ дх дŠ— — д = О. Е, р = сопз1 проиллюстрировать неоднозначность интеграла энергии. 102. Для системы И вЂ” + — =0 дН, дЕ, дЕ ох дЕэ дН, е — — — =О, д! дх дН, дЕ, р — ' — — '=О, дЕ дх е — + — =0 дЕз дНэ дЕ дх проиллюстрировать неоднозначность интеграла энергин. 103. Написать интеграл ввергни для уравнений — +3 — '- — у- —,— Зу —" =0' ди, ди.
ди, з диз дЗ дГ дх дх 2 — '' + (1+И) —" = 0; ду ду (1+(з) ди- = О, ду диз диз — + —— дЗ дх дЗ дх — + — + диз ди, приведя систему предварительно к симметричному виду выбором новых неизвестных функций, 104. Для системы уравнения Максвелла =О, =О, дх дН. + —" их в области 0<х(1, 1)0 с начальными данными Нз(х, 0) =йз(х), Ез(х, 0) =ез(х); Нз(х, О) =йз(х), Ез(х, 0) =ез(х) получить оценку интеграла 1 Нз-~- Нз Еа-(- Ез ) ~и)=(~р ',, '-;. ', '1и а через 1(0), если заданы следукнцие граничные условия: УрНз(0, 1)+)~еЕз(0, 1) =1; Нз (О 1) — Ез (О 1) = 0' Н, (1, 1) = 0; Н (1, 1) = О.
105. Привести для системы с да да — — — „=О дЗ дх дН, Р д, дЕз е— дз дН Р дз дЕ, е —,' да дЕ + дх дНз дх дЕ, с граничными условиямн и( — 1, 1) =2о( — 1, 1), о(1, 1) =и(1, 1) диссипируюшийся интеграл энергии и получ!ыь оценку +! +1 (и'+ !Р)с(х), ! ! через ) (и!+о!))!!х)! ю ! Для задач 106 — 109 проделать то гне самое, что в задаче 105. 1 06, ди ди — + — =О, д! дх дю дю — — — =О, д! дх и=о прц х= — 1, Зо=и при х=1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
