1625915345-25e0823d1194a9e698afe0ea9e51e06f (843920), страница 4
Текст из файла (страница 4)
и=о при х= — 1, о=9и при х=!. ди ди ! + —.=' д! дх дю дю — — 3 — =О, д! ох дю дю — — 7 —.=О, д! дх 109 3 09. и=2о при х= — 1. и=о прп х=1. и=4о при х= — 1, и=о при х=!. 110. Привести систему — +2 х +о=О' ди ди д! ' дх дю д, —,— — и+и=О д! дх ди ди ~ +и д! дх а, Ь=сопз! с грани иными условиями и(0, 1) =5о(0, 1), о(1, 1) =- =Зи(1, 1) к диссипативному виду и оценить интеграл энергии. 111. При каких значениях параметров а, (! у системы граничные условия и =схо прн х= — 1, с=с3и прн х=1, сс, р=сопв1 будут диссипативными? Оцепить интеграл энергии, если начальные данные и(х, 0) =О, о(х, 0) =х'-1 112.
Вывести закон сохранения энергии для решений и(х, !) уравнения и„— и =О, удовлетворяющих граничным условиям и(0, С) =О, и(п, !) =О, 113. Доказать, что если и(х, !) — гладкое решение уравнения и,=и, удовлетворяющее граничным условиям и(0, С) =О, и(п, 1) =О, то 114. Оценить с у (С) = ~ Сии (х, 1) + и, (х, 1) + ис (х, 1)1 с(х о для решения смешанной задачи и(х, 0) =ср(х), и, (х, 0) =сР(х), и(0, 1) =и(Е, !) =О, 0(х(1, Г)0 у волнового уравнения и,с — и =О.
!!5. Доказать единственность задачи Гурса и(х, у, С1, при С)ух'+у' для уравнения и„— и — и„„=О, В качестве граничного условия полагается и (х, у, )/ х'+ уо) = ср (х, у). й 4. урйвненне ГАмильтОИА-якОБН, ОБЛАСТЬ ЕДИНСТВЕННОСТИ Пусть нам задана система уравнений ди ди ди А — +В х+С д! дх ду (14) где матрицы А, В, С вЂ” симметричные и матрица А — положительно определенная.
Равенство беЦ(тА+$В+ПС(! =6 называется конусом характеристических нормалей. Ои делит все пространство иа несколько частей. Рассл|отрпм ту часть, которая содержит вектор (1,0,0). Пусть граница этой части пространства описывается уравнением (! 5); к+На, л)) =О, которое называется уравнением Гамильтона — Якоби, С помощью этого уравнения лложно описывать области единственности у систем (!4). Пусть начальные данные заданы в обласги Ч.л(х, у)(0.
В какой области решение системы (14) по этим начальным дайиым можно однозначно определить? Обозначим гранину этой области единственности ф(х, у, г) =О, причем выберем так, чтобы внутри области ф(х, у, 1) (О. Оказывается, ф(х, у, 1) есть решение уравнения Гамильтона — Якоби р, + Н(ф„ф„) =О, 116. При каких а плоскость (=1 — ах+ау может служить верхней границей области единственно- сти для системы < ди ди до ди до — +2 — +3 — + — — — =О дт дх дх ду ду до ди до ди до — +3 — ф — — — +2 — =О? д! дх дх ду ду удовлетворяющее начальным данным ф(х, у, 0) =фл(х, у). Более подробно с этими вопросами, а также с методамн интегрирования уравнения Гамильтона — Якоби можно познакомиться в кинге С. К„Годунова «Уравнения математической физики», гл. П, $11, 12.
ОС дс да= ' 3 — + — +9 — = О. дссе дис ди, дс дС ду 3 — "'+б — '+9 — *= О, дС дх ду 117, у) Зи; дС де дх 3 — "' + 12 — "' + 3 — "' = 0 $18, ху) 0; 3 — +б — +3 — = О, див дис дие дс дх ду 119. — +2 — +2— ди до дв дС дС дк 2 — + 5 —. +— ди до дв дс дС ду 2 — + — +4— ди до дсо дк ду дС 120. = О х>0, у>0; =О, — +2 — + — =о ди ди ди дс дк ду до до до — + — + 2 — = нс дС дк ду дв дв дв — — — — — =и дс дк ду 121. х+у~ (х — у) ', С.
К Гехт аов, Е. В. Зеаотаоеаа Описать область единственности, если начальные значения искомых функций заданы при С=О в указанных областях: 1 дА, 1 Г гт, дн,1 о+ ггЛ) ~ с 1 Л,1 о дг г )дг с дн) дА„ + — „," + ЗоаЛ, = О, 1 дАо + — д гЗа~В,=О, г дв ди, дос, — — — + ссо = О, дг дх 123. ди, до, — — 2 — +ж,=О„ дх ду дс, ЙО~ дс дио дС до, дг дсоо — +о =0 ду ди о доо 2 — ' — ф+ис О, дх 'оу х>0, у>О, х+у(1. 124.
Для систеиы О, О, дис ду оннсагь область единственности, если начальныо лассссыс заданы в следуюшых областях: а) к>0, у>0, х+у(1; б) х>0, у(0, к-у>1; в) х(0, у>0, — х+у(1; г) х(0, у(0, х+у> — 1; л) х>0, у О, х'+у'(1; е) х(0, у>0 хо+уз(1.
ЗФ ди — + дС до — + дС дсо — + дс ди дк до ду дис — + дт ж) к>0, и ого «'1 «Р:=1; з) х~О, у 'О, хо+у«<!. 125. Для системы Гди«ди, ди, дв, — + — + 2 — + — + и«+ о«+ а = О, д«дх ду дк « + д" + 2ди«+ дв«+ „. д«а«дв, дв, ди«ди« вЂ” + — + 2 — + — + — + и«« =- О, д«дк ду дх ду — ' + 2 — "' + —."' + 4 — * + ио + оо-1-и = О, — *+ 2 — ' + — ' + 4 — *+ и«+ о«+п«„0, д! дк ду ду дво дво дв«ди«ди — +2 — + — +4 — +4 — +о =О д« дк ду дх ду описать область единственности, если начальные данные заданы в следуюптих областях: а) х)у; б) хо+ух(1.
126. ди ди«« ди« Ро — = — +— д«дх ду до ди««ди«, Р— = — +— о дт дх ду (нестационарные уравнения линейной теории упругости: ро — плотность среды; (и, о) — скорость деформации; о„— теизор напряжений (оо«=оы); й — модуль всестороннего сжатия; р — модуль сдвига; напряжения и деформация вдоль прямых, параллельных оси г, постоянны). Описать область единственности, если начальные данные заданы в области х~у~2х, Зк Построить из бихарактеристик характеристические поверхности для заданных систем.
Эти характеристики должны проходить через указанные прямые. ди до Аа 3 — + — + — =О, дС д1 дх да до йо — +3 — + — О, дс дс ду ди до дэ — + — + — О, дх ду дс иу. пряхтая х=О, у=1. 2 — + — = О. до дм д1 дх до Йо 3 — +4 — =О, дс до до дсо — + — =0 ду дс 128. прямая у=О, 4х+31=0. 129. Для системы уравнений ди — + дс до +о+ ди дх до дис — + — + и+со =О, дх ду дю до †+ †, +и+о=О дх ду дс дсо дс начальные данные, заданные при 1=0 и всех х, р, от. личны от нуля лишь в полосе 0(х+у(1. В какой области полупространства к, у, 1>0 решение так постав ленной задачи будет нулевым? 130. Для системы уравнений ди ди 3 — +— дс дх до до 4 д1 дх дис дис 4 —.
дх начальные данные Коши, заданные при 1=0 н всех х, 11, таковы: и=о=ш=О при х+2у(0, и=о=ш=! прн х+2у>1. В полосе 0(к+28(1 начальные значения нам неизвестны. Для каких 1>0 можно определить 1п(7, О, 1), о(7, О, 1), пс(7, О, 1) ] по зтпм данным? 2 — + ди дс + 4 ди дх дм + д +ш=О ду до + — у +и=(х+у)е" ду й б. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ФУРЪЕ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ ), Пусть функция и(«), определенная прп 0~«(аа, удовлетворяет неравенствам (и (г)) ( М е )и' (Г)( ( А!«ь«; (и'(А) — и'Иа)) < А((Т) . Р (1, — ««) прп 0 < ««< 2Т. Определим преобразование Лапласа и(Л) формулой о(Л) =) и(г) е «~а'г.
о (Иногда п(Л) называют «образом» функции и(«).) Тогда прн 0~«е~«~Т справедлнво неравенство ! а+«Ь ) М и т — 2 ! ~ с (Л) а«'«д« ~ < —, а ) й, а — «ь т, е, и(!) можно восстановить по о(Л) с помощью обратного пре« образования Лапласа. Примевеине преобразования Лапласа бывает иногда удобныч как при решении обыкновенных дифференциальных уравнений и систем,,так и для уравнений и систем с частными производными. В первом случае, т.
е. когда задано обыкновенное дифферепцнальное уравнение, воспользовавшись тем, что 60 и'(!)а лгд! — и(0)+Ло(Л) и т. д. для производных более высокого порядка, для нахождения «образа» функции в(Л) надо решить алгебраическое уравнение. Во втором случае, т, е. для уравнений с частными производны. ми, задача нахождения «образа» функции сводится к решению обынновенных дифференциальных урзвнений.
Иными словами, задача нахождения «образа» функции является более простой по сравнению с исходной задачеи. Далее, зная «образ» функции, можно с помощью обратного преобразования Лапласа восстановить решение исходной задачи. 2. Способ отыскания решення краевой задачи в виде суперпознцни частных решений вида е"'и (х), называемых «стоячимн» волнанн, носит название метода Фурье. Рассмотрим гиперболическую систему двух уравнений, записанных в каноническом виде +й, +т„(х)и, +т„(х)из=0, ди, ди, д! дх — йз ф т, (х) и, + тз«(х) иа = 0 диз ди« дС дх 7(редполагается, что 8,~0, йг)0, т. е. характеристики нмекп разный наклон.
Система (16) дополнена граничными а,и, (О, Е) + а,нз(0, Е) = О, И7) )Зтиз (! Е) + Огиз (! Е) = 0 и начальнымн условиями иг(х, 0) = ф1(х), иг(х, 0) = фг(х). (18) Если все коэффггцггенты аь аь ()ь йг отличны от нуля, то решение можно строить квв для Е)0, так н взя Е(0. Такие краевые задачи для гиперболических систеи называются обратпмыэш. Ищем частное решение системы (!6) вила ит (х, Е) = ехе и, (х); ие (х, Е) = еье из (х1, удовлетворяющее грапвчным условиям (!7).
Тогда вектор-функция [Ы,(х), пг(х)] должна являться решением следующей задачи: ! Е Х и, + Ьт — '+ тын, т тмиз = О, дх диз Хиз — Ьз з -(- тз и + тезиз=О; дх ! а,и,(0)+ а,и,(0) = О, (),и,(Е) + й,гщ(!) =-О. (19) (20) Те значения )ь при которых возможно нетривиальное решение задачи (19) — (20), называются собственными значениями, а соответствующее решение — собственной вектор-функцией.
Для обратимой гиперболической системы доказана возможность аппроисимации решения задачи (16) — (18) суммой «стоячих» волн гье )г ига(х) и= . Сее э (т пгь (х) (21) где суымироваппе производится по всевозможным собственным значениям. Рассмотрим систему аы (х) — + а„(х) — — , 'Ьы — + Ь,э — - "+ с (х) и, = О, з е дит диз, диг ди. дЕ дг ' дх ' дх дн, дне , ди, диз (22) ч|(х), г +вез(х) -гэт г +Ьзз з с(х)е6=0 дг дг дх ' дх 38 п краевые условия (17).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
