54676_47af5332d12a983f86c22596d809b788 (842909), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Кроме того, заранее не известны точки сопряжения экстремалей и приходится записывать уравнения трансверсальности длявсех возможных точек сопряжения экстремалей. В силу этого длясложных задач практический учет ограничений в форме неравенств методами классического вариационного исчисления невозможен, поэтому необходимо искать иные решения.Контрольные вопросы и задачи1.Как найти оптимальное управление методами классическоговариационного исчисления при наличии ограничений?2.Как учесть ограничения на траекторию? В силу чего онирассматриваются?3.
Как учесть ограничения на регулируемые переменные? В силучего их рассматривают?4. Как учесть интегральные изопериметрические ограничения?5. Как учесть ограничения в виде равенств на управление?6. Как учесть ограничения в виде неравенств на управление?7. Как учесть ограничения в виде равенств на функции управления и фазовых координат?8.Как учесть ограничения в виде равенств на функции фазовых координат?9.Изложите методику учета ограничений с использованиемфункций штрафов.1О.Запишите гамильтониан, полученный после введения в алгоритм решения задачи АКОР ограничений на управление.8011 . Объект управления описывается дифференциальным уравнениемМетодами классического вариационного исчисления найдите оптимальный закон управления и, переводящий объект изположения х=О, х=О приt=О в положение х= x k,х = О за минимальное время; на управляющее воздействие наложено ограничение lиl ~ Иmах• Составьте структурную схему оптимальнойсистемы.12.
Для объекта, движение которого задается уравнениемнайдите с помощью классического вариационного исчислениярешение о переводе фазовой точкиначального состояния х (О)= (2,0)х = (х 1 , х2 ) из заданногов начало координат так, чтобыфункционалtkJf= (1 + и 2 )dt,огде время tk не фиксировано, принимал свое наименьшее значение. Составьте структурную схему оптимальной системы.Глава4Примеры решения задачВ этой главе изложены различные математические постановки задач оптимального управления непрерывными детерминированными системами и пути их решения методами классическоговариационного исчисления.Методы классического вариационного исчисления, как правило, позволяют находить оптимальное управление как функциювремени .4.1.
Задача о брахистохронеЗадача о линии наискореишего спуска, или задача о брахистохроне,-это в действительности целый класс очень интересных задач.Начнем с практического вопроса. Представьте, что ремонтируется жилое здание, и при этом возникает вопрос, как кратчайшим образом доставлять предметы с верхних этажей на нижние,используя только силу тяжести .Естественно рассмотреть наклонный пандус, который позволяет за оптимальное время скатывать предметы с верхних этажейна нижние. В этом случае и возникает задача о брахистохроне(линии наибыстрейшего ската).Термин «брахистохрон» имеет греческое происхождение исостоит из двух слов: брахисто- самый короткий;короткий, xpovo~ - время).хроносвремя (~рахн:по~ В 1696 г.
Иоганн Бернулли опубликовал в журналеEruditorum-Actaстатью «Новая задача, к решению которой приглашаются математики» . Эта задача была сформулирована так:«...В вертикальной плоскости даны две точки А и В. Определить путь АМВ, спускаясь по которому под влиянием собственной тяжести, тело М, начав двигаться из точки А, дойдет до другой точки В в кратчайшее время».82Поставленная задача получила название задачи о брахистохроне, т. е. кривой наискорейшего спуска. Решение задачи былодано самим И.
Бернулли, а также Г. Лейбницем, Я. Бернулли,Г. Лопиталем и И. Ньютоном. Вскоре в работах Л. Эйлера и Ж. Лагранжа она была включена в более общий класс аналогичных задач.Формальная постановка задачи о брахистохроне такова.Тело М (бусинка) скользитАбез трения по проволоке междух.------------------,1•точками А и В в постоянномгравитационном поле.Началь-ная скорость бусинки в точке АравнамуV0(рис.должна4.1).Какую фор-иметьпроволока,чтобы бусинка проходила путьмежду двумя этими точками заминимальное время?вуРис. 4.1. к задаче O брахистохронеЗадача состоит в том, чтобы найти оптимальный закон изменения0(t),при котором время переходаJ=Т из точки А в точку Вминимально .Две заданные точки А и В и вектор гравитационного ускоренияgопределяют вертикальную плоскость ( см. рис.4.1).Прежде всего можно предположить, что достаточно провестипрямую линию, соединяющую точки А и В.
В этом случае отрезок прямой будет кратчайшим расстоянием между точками А и В,однако это не означает, что время, затраченное на движение поэтому отрезку, будет наименьшим.В соответствии с физическими законами ясно, что вначале тело должно максимально ускориться, чтобы затем это ускорениеработало на всем пути. Двигаясь по прямой, тело имеет постоянное ускорение. Это заставляет предположить, что есть траектории,которые позволяютспускатьгруззавремя,меньшее,чемпри движении по прямой.Чтобы найти такую траекторию, формально нужно перебратьвсе линии, соединяющие точки А и В, и определить оптимальнуюлинию, для которой время Т минимально.
Это и будет линиянаискорейшего спуска.Пусть ось у направлена вниз, а начало координат совпадает сточкой А. Так как сила реакции проволоки на бусинку направленастрого под прямым углом к ее скоростиV,система консервативна, т. е . полная энергия системы постоянна:83mV 2- - = mgy или2V =figy = V(y).Компоненты скорости удовлетворяют следующим уравнениям:х = х1= V (у) cos 0;у = х2 =V (у)sin 0.Формально скорость скатывания тела по дугеSопределяетсявыражениемV(t) =dSdt,откудаdt = dS .VВремя спуска Т по всей линии вычисляется как суммаJ=Т=dt:fто dt f-dSV ,=lа интеграл берется по кривой у(х).Линия у(х) задана в явном виде как функция от х, поэтомуможно считать, что интегрирование ведется от О до х 1 • Дифференциал дуги вычисляется по формулеdS=)1+(:Jdx.Следовательно,J=T=fat = fdS = 1,/1+(у'(х))2 dxоlVоVили, подставив в это выражение значение скорости, окончательнополучимJ = Т=84fdt = fdS =-1-11 + (y:(t))2 dx .оzVfigоу(х)Составим гамильтонианН=1+ ((t))2:с:)1+ р1 V(y) cos 0 + р2 V(y) sin 0,где функции р1 и р2 удовлетворяют уравнениям.дНдН- - -- о•'р1 = - - дх1дх.
дН---р2 дх2где у(О)=О; у(х)>1 + (y:(t))дН--у2(х)дуО.Оптимальный закон изменения углаоткуда оптимальное изменение углаили 0=0 находим из условия0 имеет видarctg р2=Р1так какр 1 =2arctg РС2,1const = С1 •Задача оптимального управления траекторией сводится к решению двухточечной краевой задачи. Ее решением являютсяциклоиды, т. е. траектории, образованные точкой на окружностиколеса радиусомr,катящегося без проскальзывания по горизонтальной плоскости, и0= const.Найдем аналитически параметрическое уравнение циклоиды.Поскольку интегрантL(y,y) =1 + (y:(t))2у(х)явно не зависит от х, для поиска экстремали можно применитьинтеграл энергии, в соответствии с которым для экстремали"усправедлив принцип Эйлера85yLy(y,y)-L(y,y) = const,"следствием которого является то , что экстремаль у удовлетворя-ет дифференциальному уравнениюРазделив переменные, получимилиdx =fВведя новую переменнуюzdy✓~ -]=.с'\J у и учитывая, что dz =dyГ..
,2,,.,;уимеемdx =ff 2z dz22zdz =W:~-;z-✓C -z2.1Выразив z = ✓с sin t и dz = ✓с cos tdt , получимх=f2Csin t✓C costdt = 2 SШsin2t). 2 td t = с( t- - -= = = = -- + С21 ·2✓C-sin t2f2Итак, параметрическое уравнение брахистохроны будет выглядеть так:х = ~ (2t у86сsin 2t);= -(1-cos2t).2Это решение есть циклоида. Циклоидафункция по оси абсцисс с периодом2nr,периодическая-которая описывается вобщем виде параметрическими уравнениями:х= rt - r sin t;у =r- rcos t.Циклоида может быть получена как решение дифференциального уравнения2r-yуОтметим, что задача о брахистохроне является частным случаем проблемы Ферми о траектории минимального времени прохождения через область, в которой скорость зависит от фазовыхкоординат.4.2. Максимизацияскорости в конце участка выведения КАна прямолинейную траекториюРассмотрим материальную точку (ракета-носитель с КА) массой т, находящуюся под действием силы тяги Р=та (рис.4.2).у.J:::11хоРис.4.2.
Вывод КА на орбитуУгол направления тяги Э(t) с осью Х (угол тяги) для даннойсистемы является управляющей функцией.Движение тела без учета силы тяжести описывается следующими уравнениями:V:х = а cosЭ·'87Vу= а sin "\]''('\.x =V.·х,где ускорение апод действием силы тяги по предположениюявляется известной функцией времени.Введя обозначениях1=Vx;х2 =Vy;хз= х;х4 = у,получим систему уравненийЭ= fi;~ =а sin Э=h;х1 =аcosдля которой заданы начальные условияxi(to) = xio, i = 1, 2, 3, 4.Поскольку функция зависит только от конечных условий(L = О),критерий качества выглядит следующим образом:Заданы отдельные компоненты вектора состояния при tkХ2(1) =Vy= О;fk=изменения вектора тяги,которое в конце участка выведенияТ обеспечивает максимум горизонтальной составляющей скорости х 1( 1)= Vxmax при нулевой вертикальной скоростина заданной высоте88v,Т:Х4(1) = Узад•Найдем оптимальную программут.
е . такое управление и ==х4(1)= Узад = h,т. е.Область допустимых управлений зададим условием22cos Э + sin Э = 1.Составим гамильтониан :пH(x,u,p,t) =L+ LPih =p1acos Э +p2asin Э +рзх1 +р4х2,i=lв котором Pi найдем, решив сопряженную систему уравнений.анРз = - -- =дхз0;Эти уравнения легко интегрируются:Рзt + С1;Р2 = - р4t + С2;Р1=-Рз= Сз;р4= С4,где С1 -С4 -постоянные величины, определяемые из начальных (конечных) условий.Для этой системы задано единственное граничное условие вконце участка вьmедения (х 1 (Т) = Vх(Т) =Р1 (1) [8:xk]=1Vxmax),=Следовательно,1.t=tk89Остальные граничные условия, с учетом того, что конечноезначение координаты хне представляет интереса (т.
е. х3бодно и, следовательно, 8х3 (Т)Х1 (О)= Vx (О) =х2 (О) = Vy(O)Хз (О)= х (О) =Х4 (О)где=v 1 и v2 -О; Р1 (Т)О; Р2 (Т)О;Рз (Т)= У (О) =* О), имеют видх= Pvу(Т)=О;О;,=Хз (Т) Х4 (Т)= V2;постоянные величиных2 (Т)= v1;= р х(Т) =О; р4 (Т)Vу (Т)Х1 (Т)= Pv. (1) = 1;(1)сво= Vx max;Vr(Т)= О;свободно;= Узад = h,определяемые из условийу (Т)= h.Условие оптимальности выглядит так:Таким образом, оптимальное управление направлением силытяги определяется соотношениемtg Э- = P2(t) = -p4t+C2 ,P1(t) - Рзf + С1которое часто называют законом дробно-линейного тангенса.Поскольку Рз (Т)= Рх(Т) =Сз=О, то Р1= Pv. =хС1= 1вдольвсей траектории, и поэтому оптимальная программа управлениястановится законом линейного тангенсагде tg Э-0В= V1 + V2 Т; С = V2.случае а = const дифференциальныеуравнения движениялегко интегрируются при управлении по закону линейного тангенса, если вместо независимой переменной временивать уголv.Тогда получимVx = ~ In tg Э-о + sec Э-о ;С90tgЭ + sесЭ-tиспользоаVy = - (secсха= 2 (secСЗ0 -secЗЭ-0 --tgsecЗЗ);tgЗ 0 +secЗ 0ln- - - - );tgЗ+secЗа [tgЭ-0 + sесЭ-0 ] .у=- (tgЗ0 -tgЗ)secЭ-0 - (sесЭ-0 - secЗ)tgЗ - ln---22СtgЗ+secЗВеличины З O и С ( а следовательно, v 1 и v 2) определяются издвух граничных условий Vy(T) = О и у(Т) = h.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
