54676_47af5332d12a983f86c22596d809b788 (842909), страница 12
Текст из файла (страница 12)
1 %от длины круговой орбиты. Такжеможно считать прямолинейной и траекторию движения перехватчика, это следует из начальных условий.Для удобства расчетов выберем начало системы координат,совпадающее с целью.В роли функции управления выступает ускорение перехватчика.115Запишем исходную систему уравнений :Vi = а1 = fi ;i1 = Vi = f 2;.рV2 = - =fз ;тi2 =V2=/4.Составим гамильтониан системы Н:(4.10)где= Х1;Х3 = V2;Х4 = Х2.Х2Уравнения для сопряженной системы имеют видилианР1=-- - =-р2;а х1анР2 =- - =О;ах2анРз = -- = -р4 ;дхзр4Отсюда следует, что р 2ан=--дх4=0.= constи р4= const.Тогда решениесопряженной системы уравнений будет выглядеть так:116Р2= С2;Р4 = С4;Чтобыано,ди =•=-рi+Сз •Р1 =-p2t+C1Р1 =-C2t+C1;РзРз =-C4t+C3.использовать необходимоебусловиеоптимальности~тре уется учесть деиствие на силу тяги астатическогорегулятора ускорения ( 8 = КР (и -V2 )).Для этого рассмотримследующие уравнения:Следовательно, можно записатьтV2 m = Р = к0 f КР(и -V2 )dt,оилиИсходя из условия выбора системы координат, имеемТогдаили117Подставив последнее выражение в гамильтониан (см.(4.10))и используя необходимое условие оптимальности, получимк0 к тан---== - р3аиfР udt + 2и = О;mdu0тК0 КР2и=р3 --fudt0тт2f udu =р3к ктои2,du° Р fudt;тоKr:,Kp тf2 - =р 3 -2тudt,0илии2Kr:,Kp-т- =РзfudtтоВ начале и конце процесса стыковки управление будет максимальным, но с отличием в знаке, т.
е.тfudt = -и - и = -2и .оС учетом последнего выражения можно найти и:и2- =р3-2иKr:,KpтоткудатттНайдем время переключения. Так как управление симметрично относительно времени переключения,тельно, можно написать118и(tпер) = О. Следова-илиоткуда- иОкончательно,подставив впоследнюю формулу численныезначения С3 , С4, найдем времяпереключения tпер=15.оСхематично построим график управления и (рис.4.18).Рис.Управление и = 66,7(С4t-Сз).4.8. Управление4.18.
График управления искоростью дисковых ножницДисковые ножницы должны нарезать материал строго определенной длины. В связи с тем, что скорость подачи материала впроцессе управления несколько изменяется, она измеряется совместно со скоростью вращающихся фрез. Эти сигналы используются в действующей модели для поддержания длины нарезаемогоматериала в допустимых пределах.Рассмотрим частную задачу, а именно переход от одногоразрезанногокуска к другомупутемизмененияскорости вращающейся фрезы. Чтобы избежать брака материла, подводимогок ножницам, изменение скорости должно быть плавным .
Однакооно должно быть и быстрым, чтобы уменьшить количество производимого за один проход материала нежелательной длины, таккак подобный материал составляет отходы производства. Желае-мое изменение скорости фрезы в функции времени= 0,5[1 + cos(nt/10)]показано на рис.у; (t)=4.19.Для простоты начальное значение скорости нормализуем иприравняем единице , а начало перехода соответствует нулю .119жУ!1,00,5оРис.246108t4.19. Желаемое изменение скорости фрезыУравнения объекта управления имеют видх=Ах+Ви·'у=Сх ,где А=[~~25-~.J В=[~ 1~} С=[~ пЦелью построения является линейный регулятор, стремящийся, чтобы выходной сигналyf (t)y 1(t)воспроизводил желаемый сигналпри ограничениях типа зоны насыщения:1и2(t)1 ::;0,2; 1 Y2(t)1 ::;0,2.Реакция системы при единичном начальном условии должнабыть несколько задемпфированной, т.
е. перерегулирование недолжно превышать пяти процентов.Диапазон начальных условий для вектора состояния объектауправления:В качестве показателя качества примемtkJ=~f[(хж - х)ТQ(хж -x)+uTRutoгде хж (t)120-желаемое поведение системы, т. е.]dt,x;"(t) =жХ2 ( t )для Оo,2s[ +1 cos;а= Х1.
ж ( t ) = - ( -7t )40. 7ttSШ10::; t::; 1О.С целью определения весовых коэффициентов показателя качества положимtk равным бесконечности.Передаточная функция замкнутой линейной стационарнойсистемы определяется как1Ф(s) = ----.2 2T s + 2½Ts + 1Так как проектируемая система должна иметь перерегулирование, не превышающее пяти процентов, и нул евую позиционную ошибку выбираем из первой стандартной формытабл .( см.2.1) ½= 0,7.Для определения постоянной времени Т решим уравнения(2.41) относительно v~(0) при v(tk)= О :Подставим результат в уравнение(2.45)совместно с уравне(2.44) и «худшими» значениями х1 (0)и 2 (О) = - 0,2 и получим решение:ниямииТ= 0,43834965; q11 = 0,06786696;q 22=0,75, х2 (0)=0,2= 0,02075401.Далее после определения этих величин предположение о бесконечном tk отбросим и рассчитаем оптимальную систему дляНа рис.s22 (t)и4.20s21 (t)показаны графики измененияtk= 10.*переменных v 2 (t) ,на интервале управления.121* S22, S21V2,30,050,0420,030,020,01о42Рис.6810 t4.20.
График изменения переменных:] - v;(t); 2 - S22 (t); 3 - S21 (t)На рис.и4.214.22показаны переходные процессы по выходным координатам у1 (t)и у2 (t)начальных условий: у1 (О) =у1 (О)при двух крайних значениях1,5, у2 (О) = 0,2 (пунктирная кривая);= 1,0, у2 (О) =О (сплошная кривая).YI1,61,41,2-\1\\,.,,,.- 1\\\\1,0\\0,80,60,40,2о246810 tРис. 4.21. График переменной у1 (t):1 - при у1 (0) = 1,5, У2(О) = 0,2;2 - при у1 (0) = 1,О, У2 (О) = ОНа рис.4.23приведены значения управляющего сигналатакже при двух крайних значениях начальных условий.122uit)У20,240,160,08141610 tо t,1;:::-------,------,-------,-------г-----,::::;о,...-------О, О 8-0,16-0,24Рис.
4.22. График переменной у2 (t):1-при у1 (0)=1,5, у2 (0) = 0,2;2 - при у1 (0)=1,О, у2 (0)=0И20, 160,08о21---✓' -2- 0,0846810 t- 0,24Рис. 4.23. График управляющего сигнала112 (t) :1 - при у1 (0) = 1,5 , у2 (0) = 0,2;2 - при у1 (0) = 1,О, у2 (0)=0Как следует из графиков, приведенных на рис.4.20 - 4.23,синтезированная система отвечает всем требованиям, за исключениемограничения наy 2(t),которое можно учесть, используя методштрафных функций или синтезируя нелинейный регулятор.Для поддержания у2 (t) в заданных пределах можно ввести впоказатель качества штрафную функциюв которой показатель степениµследует выбирать так, чтобы соблюдалось ограничение, накладываемое на у2 (t) , путем итерации123закона управления до тех пор, пока-½ (t)не станет соответствовать заданным пределам.
Однако возможности линейного регулятора при большой области начальных условий ограничены всмысле качества управления. В подобных случаях желательноиспользование нелинейного регулятора.4.9. Задача с подвижным правым концомНа плоскости задана линия у = х и точка с координатами (х == О, у = 1О). Используя вариационное исчисление, найти линию,2соединяющую точку (0,10) с кривой у = х и имеющую мини2мальную длину.Функционал,определяющий длину кривой иподлежащийминимизации, выглядит следующим образом:ьJ=f✓1 + (z')2dx.аЛиния, которую надо найти, обозначимz(x), чтобы не путатьс кривой у = х (это разные кривые), но фактически z(x) есть у(х).2Минимум данного функционала определяет линию наименьшей длины среди линий, соединяющих точки (а, А) и (Ь, В).В рассматриваемом случае а=О, Ь= x k,граничные условия: А== z(0) = 10, В = z(b) = у(Ь) = xi.Данная задача относится к классу задач с подвижным правымконцом.
Запишем для нее уравнение Эйлера.!!_ дL _dtдхдL=Одхи условие трансверсальности8L-xLJ(дхФункция,'Бtt=tkдоставляющаяk+ дLдх t=tkминимум'Бхk =О.функционалу,являетсярешением уравнения Эйлера и удовлетворяет условию трансверсальности.124В нашем примереL= ,J1 + (z')2,t = х, х = z, а уравнение Эйлера приобретает следующий вид :J=odxl '11+(z')2 .~(z'Это уравнение имеет циюшческий первый интеграл, т. е. поскольку в функционаледL-= О,илидzлера имеет первый интегралL= L(z',x), то уравнение Эй-дL-=c=const.дz'Таким образом,z1---;::==='11 + (z')Выразим из этого уравнения2= С1.z':z'После интегрирования этого уравнения получимz(x)= пх+с2,(4.11)1-с12Постоянную с2 находим из краевого условия z(O)с2== 1О :10.Для нахождения постоянной с 1 используем условие трансверсальности.
Поскольку задано ограничение типа равенства на правом концеФ =х2-у = О,то125и тогда условие трансверсальности приобретает вид.дL)( L+(Ф-z')дz'= О.X=XkПодставим в это уравнение трансверсальности полученныесоотношения для L, Ф, z', тогда=Оили после упрощенияПосколькуz' = const = _c---"'1-✓1-ct 'тоПодставивxkв выражениеz(xk) =(4.11) для z(xk),получим1+ 1О = 9 52' '- -и с учетом z(xk) = х; найдем, чтоXk=ft:s;11с1=+----;::::===+--- ✓1+4х~- т·Исходя из логики задачи, выберем с 1 = -1261r,:;;::;.-v39Контрольные вопросы и задачи1.В чем отличие задачи, рассмотренной в подразд.дачи, рассмотренной в подразд.2.(см.4.2,от за4.4?Программа оптимального управления направлением тягиподразд.4.2) имеет следующий вид:Э 1 при ОЭ=где Э 1 =const.т::; t < - ;2Такая программа дает значение Э (Т) = О.Найдите такое значение-9-1 ,чтобы у (Т)= h,и определитеVх(Т) и х(Т).
Сравните полученное значение Vх(Т) снайденным в подразд. 4.2, для заданного h / аТОтвет: Э 1.2Vх(Т) = аТ cos Э 1 , х (Т) = - аТатmах(Т),•14h= arcsш--2 ,Vx22cos Э 1 •3. Решите задачу оптимального управления:3-п2J= ~ f (и 2 -x2 )dt;иох = и; 1и 1::; 1;х(О)=х(~,с)=о.4.Найдите оптимальное управление и оптимальную траекторию:1J= !!!_Щ fи 2 dt;иоХ1 (О)= 11; Х1 (1) = Х2 (1) = о.1275. Решите задачу оптимального управления:4J =~f (и -x )dt;2иох = и;1и 1::; 1;х(О)=О; х(4)=1.6.Найдите оптимальное управление и оптимальную траекторию :тJ=~f u2dt+T2;и,Т Ох = и;х(О)1и 1::; 1;= О;х(Т)= 1.7. Синтезируйте оптимальное управление:J=T• min;8. Решите задачу оптимального управления:тJ=~f (хи22+ u )dt;о.х=-х+и;uE R1 .9. Решите задачу оптимального управления:1J =~f (хих=12822+ 2u )dt;о)2 +и; x(O)=l.10.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
