54676_47af5332d12a983f86c22596d809b788 (842909), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

1Eile!;_dit\!_iewРис.ПримерI ools~ndowt!elp4.9. Динамика состояний х1 , х24.3.нием х + 4х104Insertи управлений и 1 , и 2Для объекта, движение которого задается уравне­= 2и ,найти управлениеu(t),переводящее перемен-нуюx(t)из состояния х(О) = О в состояние10x(lO)=4и минимизи-fрующее функционал J = и 2 (t)dt .оЭто задача на минимум энергии, функционал которой задает­ся квадратичной формой.Для решения задачи составим гамильтониан2Н(р,х,и) = и + р(-4х + 2и ),в котором p(t) определяется из уравнения Эйлера -.анр=- - =ахприЛагранжа:4рp(tk) =1.В результате интегрирования этого уравнения получаемp(t) = С1 e4t,гдеp(tk) =1, откуда постоянная интегрированияУправление, минимизирующее функционал, определяется изнеобходимого условия оптимальностиан-аи= 2и + 2,р = О'откудаu(t) = -p(t) =- е --4О е t.4Подставив полученное управление в исходное уравнение дляобъекта,получимПроинтегрируем это уравнение:x(t) = C2(1-e--4t )(- 2e--4°e4 t ).105Подставим в него значениеx(l О) = 4и найдемС2 = -2 и x(t) = 4 e-4°e4 t (1-e-4t ).Графики оптимального управления и оптимальной траекто­рии приведены на рис.4.10.- 1~-----------~1t------------......:::~о12234s ~-~--~--~-~-~ОРис.2468104.10.

Графики оптимального управленияи оптимальной траектории:1 - u(t); 2 - x(t)Примернием .х4.4.=и -Для объекта, движение которого задается уравне­4х , найти управлениеu(t),переводящее систему изпроизвольной точки пространства в конечную точку X k=О и ми­нимизирующее функционалтJ= f(х 2 + u 2 )dt.оВ нашем случаеf(x, и)= и -4х; L(x, и)= х 2 +u 2и гамильтониан системы примет видН= х 2 +и 2 + р(и -4х).Функцию р найдем, решив уравнение Эйлера -р=- дН = -2х+4р.дх106Лагранжа:Поскольку на управляющий параметр и не наложено никакихограничений, то для определения минимума необходимо про­дифференцировать функцию Гамильтона по и :ан- =2и+р=Оди'откуда1и =- -р.2Решив краевую задачу.х =-4х- 1 р;2р =- 2х+4р,аналогично примеру4.3 получимоптимальное управление в видеи = (4-Ю)х.Примерния4.5.Решим задачу нахождения оптимального управле­u(t), переводящего объект, описываемый системой уравненийХ1= Х1 + Х2;х2 = ✓и,из состояния х0 (х1 0 , х2 0 ) в начало координат. В качестве конечнойточки выберем начало координат x k = (О, О).

Поскольку управле­ние и содержится под корнем, то и::::: О.Качество процесса оценим функционаломтJ=f u(t) dt.I1оОпределим оптимальную стратегию и=-8(х 1 , х2), котораяобеспечивает перевод фазовой точки из произвольного начально­го состояния в начало координат и притом так, чтобы на траекто­риях движения функционал J, характеризующий расход топлива,принимал наименьшее значение.107Запишем гамильтонианв котором р1 и р2 найдем из уравнений Эйлера -Лагранжа:Для определения минимума необходимо продифференциро­вать гамильтониан по и. Учитывая ограничения, наложенные на и,получаем равенство1+ Р21г2-vи= О,откудаи, следовательно,Уравнения Эйлера -Лагранжа примут видРешив уравнения Эйлера-Лагранжа, найдем, что оптималь­ное управление является квадратичной функцией вектора состоя­ния: и= 4(4х1 + 4х2)2.4.6. Посадка на поверхность планетыобъекта постоянной массыРассмотрим задачу нахождения оптимальной по расходу топ­лива тяги двигателяP(t)при посадке КА постоянной массы т наповерхность планеты, лишенной атмосферы, в функции от высотыи вертикальной скоростивысоте108h.hКосмический аппарат находится наh = х1 (t) и движется с вертикальной скоростью h = x2(t).Уравнения движения КА имеют видxit) = P(t) - g,тгдеabs(P(t)) :::; Рпшх;х2(О)x2(tk) = X2k; g = const - ускорениесвободного падения на планету; тяга Р= ~ mg; время tk не задано .=х20;Количество потребляемого топлива определяется соотноше­ниемtkJ=f P(t) dt.I1toЭто задача, как и задачи, рассмотренные в подразд.на4.5,минимум расхода топлива.Поскольку при решении используем классическое вариаци­онное исчисление, то, чтобы учесть ограничение на силу тяги Р,введем штрафную функцию вида и =ТогдаР(t)=sinа, так какabs(sinа):::;1.Р;ахи.Представим исходную систему уравнений как х = f (х, и) иполучимЗапишем функцию ГамильтонаН=L + P1fi + P2h = abs(Pmaxsin а) + Р1Х2 + р2(Рпшxsin а/т - g) =Система уравнений для нахождения составляющихPi име­ет вид109Интегрируем сопряженную систему:Р1 =const = P1(tk) =С1;Р2 =-p1t + С2 = -C1t + С2.Оптимальное управление найдем из условиядН-да= abs(Pшах cosa) + р2=cosa[Pmaxsigna+ P2Ршахcosaт=:max ]=О,откуда либоcos а = О,и тогдаsin a=±l, либоПоследнее выражение может вьmолняться на интервале време­ни лишь при а=О, так как в противном случае ему будет удовле­творять лишь одно значение времениt.

Таким образом, управлениеи может принимать три значения: (-1; О; 1), а исходя из физикипроцесса спуска КА лишь два значения: (1; О), т. е. либо естьтяга, либо двигатель выключен. Момент включения/выключениядвигателя определяется из условия обеспечения конечных значе­ний на траектории спуска КА.Поскольку рассматриваемая задачаными концами, то р 1 (tk) =откуда110-это задача с закреплен­1 и pl(tk) = 1. Следовательно,ОбозначимK(t)= (tk-t +tk) +l ,тгдеK(t) -линейная функция от времениЗначение и=О оптимально лишь приt.- 1 ::; K(t) ::; 1,т. е. и=Овозможно на единственном интервале.

Для определения этого ин­тервала построим фазовые траектории движения КА (рис.4.11 ).Ji, м/с400200100О н---н---+---+---++---+~f----1-+--+------,f+--+---++--+---+--+----+---+-+--~- 100-200- 300-400-50 0 ~ - ~ - ~ - ~ - ~ - ~ ~ -~ - ~ - ~ - ~ - ~20004000 h, м-4000-2000оРис.4.11. Фазовые траектории в координатах высота (h) -( h)скоростьпри различных значениях силы тяги:] -фазовые траектории при свободном падении (и= О); 2-фазовые траекто­рии при максимальной тяге вверх (и = 1); 3-фазовые траектории при макси­мальной тяге вниз (и= - 1); 4 - три фазовые траектории, проходящие через нульЗаметим, что и начальные, и конечные условия находятся вчетвертом квадранте( скоростьотрицательна, а высота-поло­жительна).

Далее, так как конечные условия малы и точка, соот­ветствующая им (конечная точка), находится вблизи начала ко­ординат, дальнейшие рассуждения в целях упрощения будемпроводить, предполагая, что конечная точка совпадает с началомкоординат.111Единственная траектория(обозначимее Т1 ), находящаяся врассматриваемом квадранте и проходящая через начало коорди­нат, соответствует максимальной тяге вверх. Из любой точкиквадранта выходят две траектории, пересекающиеся с Т1 , -онисоответствуют свободному падению и максимальной тяге вниз.Легко убедиться, что оптимальная из них - та, что соответствуетсвободному падению. Учитывая полученный с использованиемклассического вариационного исчисления результат, т.

е . то , чтов программе спуска может быть не более одного участка свобод­ного падения , получаем, что оптимальная программа посадки со­стоит из двух участков: вначале свободное падение, а затем-максимальная тяга вверх .На рис .4.12показаны зависимость траектории и области ма-невра в координатах от высотыhи вертикальной скоростиh.Ji, м/с400300200100о Н---++-----+----+-----Н----+--------+---+-----+-----+---+-t--+-Н---1----+--+---+--+---+------f- 100- 200- 300-400- 500,____,.,____,"'------"'------I..._--'-4000-2000оРис.20004000 h, м4.12.

Возможные области маневра КА на фазовой траекториив координатах высота скоростьВ случае, если КА находится в области, закрашенной чернымцветом, авария неизбежна. Математическое выражение для высотына этом участке :2Х101122Х20X 2k2g2g>-- + Xlk + --,илиИ22X2kh >--+xlk +-- .2g2gКогда КА находится в области, закрашенной серым, задачапосадки КА в принципе может быть выполнена.Если же КА находится точно на границе этих областей, макси­мальная тяга вверх обеспечит его вывод в заданную точку.

И этатраектория единственная, т .е. оптимальное по расходу топливарешение единственно, если не учитываются возмущения .Для исходных данных х 10= - 225 м/с, X1k = 40 м,x2k = - 4,0 м/с, т = 4000 кг, ускорение Марса g = 3,76 м/с2 и Ртах == 1ООт путем моделирования при заданных условиях в системеМАТLАВ получены результаты, представленные на рис. 4.13- 4.15.= 5400м, х 20x1(t)40001000оРис.5101520t,с4.13.

Зависимость высоты снижения от времени- 100-200- 300 c=====;=:::::::::::r===J_L___Jо5101520t, сРис.4.14. Зависимостьскорости снижения от времениh, м/со~-------------~- 50-100- 150- 200-250-300 L_-=----'----L_--'-------'-----'------------'о1000 2000 3000 4000 5000 h,мРис.4.15.Фазовая траектория снижения КА1134.7. Задачастыковки и причаливания космических объектовНа орбиту по криволинейной траектории выводится пере­хватчик. По орбите движется цель, с которой должна пройтистыковка перехватчика (рис.4.16).ЦельПерехватчикРис.Перехватчик4.16. Схема перехватаЦель1.--.. _ _200_м_~rРис.4.17.

Этап перехватаи стыковкиЭтап стыковки можно счи­татьпрямолинейным,егодлинапримернотаккакравна200 .. .400 км, что составляет0,5-1 % от длины круговой ор­биты, равной 41 ООО км . Приэтом положение тел друг относительно друга выглядит так, какпоказано на рис.4.17.В этом случае можно допустить, что наобъект действуют лишь гравитационная сила, перпендикулярнаятраектории, и сила тяги реактивного двигателя, управляемогоспомощью системы автоматического управления.Уравнения движения двух объектов вдоль оси х при этомпримут видVi = а1;±1 = f!i;. рV2 =- ;т~=v;,где х 1 иV1 -координата и скорость перемещения первого объек­та (цели); х2 и114V2-координата и скорость перемещения второгообъекта (перехватчика); Р- сила тяги двигателя перехватчика; т-масса перехватчика.Сила тяги может менять направление и зависит линейно отперемещения управляющего органа: Р= Kr/>.Астатический регулятор ускорения описывается уравнениемв котором КРкоэффициент передачи рулевого привода; и-требуемое ускорение, подлежащее определению;= u(t) -=V2 -текущее ускорение перехватчика, измеренное вдоль оси х.Исходные данные: время процесса стыковки Т =ная координата цели х 10 == 80001200м/с, начальная координата перехватчика80 =с, началь­м, начальная скорость целиначальная скорость перехватчикаруля30V20 = 8000V10 =х20 = 1000 м,м/с, перемещениеО рад, масса т =2943 кг, коэффициент передачи управ­К0 = 9810, коэффициент передачи КР = 10.ляющего органаВ конце процесса стыковки координаты и скорости перехватчикаи цели совпадают.Постановка задачи оптимального управления: предполагая, чтоцель движется без ускоренияния ускорением и= u(t)( а1 =О), определить закон управле­перехватчика, обеспечивающий плавнуюбезударную стыковку двух космических объектов и при этом ми­нимизирующийуправления [О,энергиюуправленияна промежуткевремени1]:тf2J = u (t)dt • ~о.u(t)При решении данной задачи рассмотрим последний этап вы­ведения на орбиту перехватчика-этап его стыковки с целью.По условию задачи этап стыковки прямолинейный, поскольку егодлина составляет0,5 ...

Характеристики

Список файлов книги