54676_47af5332d12a983f86c22596d809b788 (842909)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Московский государственный технический университетимени Н. Э. БауманаН.П. ДеменковОптимальное управлениев классическом вариационном исчисленииУчебное пособиеМоскваИЗДАТЕЛЬСТВОМГТУ им . Н . Э. Баумана2О17УДК519.3(075.8)ББК 22.161.8Д30Издание доступно в электронном виде на порталепо адресу:ebooks.bmstu.ruhttp :// ebooks. bmstu.ru/catalog/200/Ьook 1678 .htmlФакультет «Информатика и системы управления»Кафедра «Системы автоматического управления»Рекомендовано Редакционно-издательским советомМГТУ им. НЭ.

Баумана в качестве учебного пособияРецензенты:д-р техн. наук профессор К.А. Неусыпинканд. техн. наук доцент В.А. СухановДеменков, Н. П.Д30Оптимальноеисчисленииуправление: учебноепособиев/классическомвариационномН. П. Деменков.дательство МГТУ им. Н . Э. Баумана,2017. -- Москва : Из­133, [3] с. : ил.ISBN 978-5-7038-4714-5Приведены необходимые теоретические сведения и даны примерырешения задач оптимального управления на основе классического вариа­ционного исчисления.Для студентов МГТУ им. Н.Э.

Баумана, обучающихся по направле­нию «Управление в технических системах» и изучающих дисциплины«Оптимальное управление детерминированными процессами»,«Алго­ритмическое и программное обеспечение систем управления», «Управле­ние в технических системах», «Основы автоматики и системы автомати­ческого управления».УДК519.3(075.8)ББК 22.161.8© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2017© Оформление. ИздательствоISBN 978-5-7038-4714-5МГТУ им.

Н.Э. Баумана,2017ПредисловиеПри управлении производственными процессами и техниче­скими объектами приходится выбирать из всех возможных вари­антов наилучший(оптимальный),что требует развития такогораздела математики, как вариационное исчисление.В данном учебном пособии рассмотрены вопросы примене­ния классического вариационного исчисления к решению задачоптимального управления. Так как задачи оптимального управ­ления-это задачи на условный экстремум функционала, то онипохожи на задачу Лагранжа в классическом вариационном ис­числении.

Однако задачи оптимального управления имеют рядсущественных отличий от задач в классическом вариационномисчислении. Они заключаются в следующем.Существуют ограничения на управление1.торию2.u(t) Е И итраек-x(t) Е Х.Подынтегральная функцияLв критерии качества не зави­сит от и, т. е. существуют первые интегралы уравнений Эйлерадля переменных ui (t).3.Управленияu/t)являются кусочно-непрерывными функ­циями и могут иметь точки разрыва первого рода, в то время каквклассическомвариационномисчислениивсенеизвестныефункции дважды непрерывно дифференцируемы.Методы классического вариационного исчисления не позво­ляют учитывать при решении задач многие ограничения, реальносуществующие в управляемых процессах.

В силу этого матема­тический аппарат вариационного исчисления использовался припроектировании систем управления крайне редко и давал весьмаограниченный эффект, да и то лишь в частных задачах с приме­нением искусственных приемов.Вариационное исчисление удалось распространить на задачиоптимального управления только после опубликования принципамаксимума Л.С. Понтрягина усилиями ученых разных стран.3Однако получаемые таким образом условия оптимальности ока­зываютсяаналогичнымипринципумаксимумаиявляютсяпосравнению с ним более слабыми.

Именно в вариационном исчис­лении область допустимых значений вектора управления обяза­тельно должна удовлетворять условию связанности. В принципемаксимума эта область может быть любым множеством вектор­ного пространства, например состоять из совокупности изолиро­ванных точек.Таким образом, методами классического вариационного ис­числения могут быть решены задачи оптимального управлениябез ограничений на траекторию и управление и некоторые задачис ограничениями.Напрактикепредпочтениеприопределенииотдается ,как правило,оптимальногопринципууправлениямаксимума илидинамическому программированию Р. Беллмана. Однако изуче­ние вариационного исчисления как одного из методов построенияоптимального управления позволяет более глубоко понять со­держание математических методов теории оптимального управ­ления и их возможности.

Это и послужило основанием для напи­сания данного учебного пособия.Цель учебного пособия состоит в изложении в доступнойформе примеров решения задач оптимального управления на ос­нове классического вариационного исчисления и в рассмотренииалгоритмов решенияоднокритериальнойзадачиоптимизации,использующих современные информационные средства с приме­нением классического вариационного исчисления. Вприведенымальногоразличныеуправленияматематическиенепрерывнымипостановкипособиизадачопти­детерминированнымиси­стемами и пути их решения методами классического вариацион­ного исчисления, изложены методы повышения эффективностиэтих алгоритмов, представлено большое число примеров решениятестовых и практически значимых задач оптимизации .Задачи оптимального управления являются задачами миними­зации на множестве функций. Поэтому в первой главе рассмот­рены необходимые условия оптимальности в различных поста­новках.Вторая глава посвящена вычислительным аспектам, возни­кающим при управлении объектом с обратной связью по состо­янию.4В классическом вариационном исчислении исследуются толь­ко гладкие траектории движения системы, в то время как во мно­гих задачах управления область допустимых траекторий и управ­лений оказывается ограниченной и замкнутой.

Поэтому в третьейглаве изложены методы решения задач оптимизации динамиче­ских систем при наличии ограничений на траекторию.В четвертой главе рассмотрены различные математическиепостановкизадачоптимальноготерминированнымисистемамиуправленияипутиихнепрерывнымирешенияде­методамиклассического вариационного исчисления .В результате освоения материала учебного пособия студентыприобретут навыки и умения по расчету оптимальных системуправления методами классического вариационного исчисления.Глава1Необходимые условия оптимальностиЕсли математическое описание системы управления и огра­ничения даны в виде дифференциальных или алгебраическихуравнений и функционалов типа определенных интегралов, а ко­ординаты управления и входящие в уравнения функционалыфункции имеют2nнепрерывных производных (п-порядокуравнения объекта управления), то задача оптимизации в прин­ципе может быть решена методами классического вариационногоисчисления.Классическое вариационное исчисление применяется в техслучаях , когда ограничения на переменные состояния и управле­ния отсутствуют.

Это бывает, когда рассматриваются малые от­клонения вектора состояниях и вектора управленияиот ихустановившихся значений.1.1. Необходимые условия оптимальностина фиксированном интервале времени1.1.1.Оптимизация при отсутствии краевых условийна правом конце траекторииРассмотрим следующую задачу Больца. Определить непре­рывнуювектор-функциюи (t)идифференцируемуюфункцию х (t) со значениями из пространстввектор­Rm и Rn соответ­ственно, доставляющие минимум функционалуtkJ( х' и) =JL ( х ' и ' t)dt + Gk [ х (tk), tk],(1 .1)toгдеL-скалярная, непрерывно дифференцируемая функция сво­их аргументов, при условиях6J (х (t), и (t), t ), х (to) = хо, to ~ t ~ tk,х =Здесьf-(1.2)непрерывно дифференцируемая вектор-функция, аto и tk заданы.Прибавив к выражениюных уравнений(1.1)дляJсистему дифференциаль­с некоторым множителем р (t), в результате(1 .2)получим вспомогательный критерий качестваtkJ1 = f{L(x,u,t) +J5T [J(x(t),u(t), t)-x]} dt+Gk[x(tk),tk], (1.3)toДля удобства введем вспомогательную скалярную функцию Н(гамильтониан) :Н(х, и, ]5,t) = L(x, u,t)+pт(t)f(x(t), u(t),t).Интегрируя по частям подынтегральное выражение в(1.4)(1 .3),получимtkf[Н(х, и, р, t) + рт (t) ]x(t)dt.+(1.5)toРассмотрим вариацию критерия качестващую вариациямзначениях t 0 и8иJ 1,соответствую­вектора управления и (t) при фиксированныхt k:+ ан 8и]dt.(1 .6)диОпределять непосредственно вариацииданными вариациями8 и (t),8 х (t),вызванные за­было бы довольно громоздко, поэтому7выберем множитель р (t) таким образом, чтобы коэффициентыпри вариациях 8 х (t) и8 х (tk) в (1.6) обратились в нуль.Тогда(1 .7)с граничным условием(1 .8)В этом случае уравнение(1.6) примет видtk8.!1 =рт (t0 ) 8х ( t0 ) + f~1; 8udt.(1.9)toВыражение(1.9) для 8J1 называется первой вариацией кри­терия качества J.

Из (1 .9) следует, что функция р \t0) - этоградиент критерия качества J, поскольку J 1 = J на решениях си­стемы (1 .2) по х (t0) при условии, что функция и (t) фиксирована(не варьируется , т. е. 8 и (t) = О) и удовлетворяет уравнению(1.2). Функция р (t) носит также название функции влияния накритерий J вариаций х (t) (или функции чувствительности кри­терия J к вариациям х (t)), поскольку она указывает на измене­ние критерия при изменениях (вариациях) х (t) в произвольныймомент времениt= t0 •Компоненты вектор-функции дН/д и называются импульсамиили импульсными переходными (или весовыми) функциями, по­скольку каждая компонента дН!дщ представляет собой изменениекритерияJпри вариации8ui,равной единичной импульснойфункции (функции Дирака, дельта-функцииной в моментt.8('t - t)),При этом величина х (t0) считается фиксирован­ной и удовлетворяющей уравнениюЕсли функционалJ(1 .2).достигает экстремума, то вариациядолжна быть нулем для произвольных выраженийнеобходимо, чтобы выполнялось условие8приложен­8 и (t).8JДля этогоан =ОУравнениячислении(1 .7), (1.8)t0 ~ t'аии(1 .10)как уравнения Эйлера -~(1.10)tk.известны в вариационном ис­Лагранжа.Итак, для того чтобы найти вектор управления и (t), при ко­тором критерий качестваJдостигает экстремального значения,нужно решить систему дифференциальных уравненийх = ](х, и, t)при х (to)=хо;_ ,_ -р--при р (tk) =где и(t)(1 .11)((д]Jт- (дLJтр-дi(1 .12)дiдGJтдik ,определяется из условияан- =О илиаи(дlJT- ( -дLJT =0.р+диГраничные условия для уравненийны: х (t0) заданы приt= t0,(1 .13)ди(1 .11)р (tk) заданы приtи(1 .12)разделе­= tk.

Такимобра-зом, приходим к необходимости решения двухточечной крае­вой задачи .Если функцииLиявно не зависят от времениft,то задачаимеет первый интеграл. Действительно,Если L и ](а следовательно, и Й) не являются явнымифункциями от времениусловие (дН / д и)t,а и (t)-оптимальное управление (т. е .= О выполнено), то9Й = О или Н= const(1.14)вдоль оптимальной траектории.Для того чтобы критерий качестваJдостиг локального мини­мума, недостаточно выполнения условия дН/ди =О . Необходимоеще, чтобы при вьmолнении условия х- J (х,ii, t)= О слагаемоевторого порядка c/J (вторая вариация J) в выражении для 8J бьшонеотрицательным для всех бесконечно малых значений8 и , т.е.д2 н-дх2х(1.15)д2Ндхдипри условии, что 8 ( х- J) = О, или(1.16)Уравнение(1.16) определяет 8:Хчерез 8и довольно сложно .Особенность задачи со свободным концом состоит, таким об­разом, в том, что на правом конце траектории полностью опреде­лен вектор импульса.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов книги