54676_47af5332d12a983f86c22596d809b788 (842909), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Это обстоятельство делает задачу со сво­бодным концом наиболее простой среди других задач для чис­ленного решения .В качестве примера рассмотрим принцип Гамильтона в ана­литической механике. Согласно принципу Гамильтона истинное(реально осуществляющееся) движение консервативной механи­ческой системы, переводящее ее из фиксированной в моментвремениt0 точкиq0 в другую заданную точку qk в течение за­данного промежутка времени10tk -t 0,отличается от всех возмож-ных (дозволяемых наложенными связями) достаточно близкихдвижений между указанными точками на интервале tk -t 0 тем,tkf L ( q, и) dt имеет стационарное значение, т.

е.что интеграл J =toвариация функционалаtk8 J= 8f L (q ,и) dt = О.toЗдесьL=Т ( q, и)И ( q)--лагранжиан системы, Т ( q, и)нетическая энергия системы, Исистемы,q-( q) --ки­потенциальная энергиявектор обобщенных координат (вектор состояниясистемы), и =q-Выведем извектор обобщенной скорости.принципа Гамильтона уравнение Лагранжа вобобщенных координатах.

Гамильтониан имеет видH=L (q, и) +y?u.Отметим, что в механике принято называть гамильтонианом вы­ражение -L + рти.Уравнения Эйлера -Лагранжа в нашем случае выглядят так:Учитывая, что и = q, а рт = - дL/ди= - дL/дq, получим из­вестное уравнение Лагранжа, описывающее движение консерва­тивной системы:дL - д~ =0.диЕслиLдqне зависит явно от времени, то система имеет первыйинтеграл Н =const, т.е.11ar u_ =Т-И - ат _и =const.Н=L- -Поскольку Т (q,и) -аиаиквадратичная функция от и, тоат и=2Т.аиСледовательно,Н = Т- И-2Т=-И- Т= const.Таким образом, сумма кинетической и потенциальной энер­гий в процессе движения системы остается постоянной.1.1.2.Оптимизация при фиксированных значенияхнекоторых переменных состоянияПредположим, что в задаче оптимизации, рассмотренной вподразд.1.1.1,некоторые компоненты вектора состояния х (t)должны принимать заранее заданные значения приt = tk (иногдатакие краевые условия называются терминальными) .Тогда вариация критерия качестваJ 1,соответствующая вари­ациям вектора управления и (t) при заданных значениях t0 ибудет определяться тем же выражением (1 .6), а именно:tk,(1 .17)Выберем множитель р (t) таким же образом, т.

е. чтобы ко­эффициенты присправедливо8 х (t)и8 х (tk) обратилисьсоотношение (1.7).в нуль. В этом случаеОднако в отличие от задачи со свободным правым концом,если i-я компонента вектора х задана при tпустимой вариации12= tk,то значение до­8xi(tk) в выражении (1 .17) равно нулю :Тогда граничное условие(1.8) запишем в виде[ дGk -р-]дх.=0lt=tklи оно уже не является необходимым.

По существу это граничноеусловие заменяется другим, а именноxi (tk), которое задано.Следовательно, и в этом случае имеется2nграничных усло­вий для решения задачи:х =f(x, ii, t)~трдНдL-т дfдхдхдх=- - =- - -р-при рт (tk) = ( дx(tk)~Gk J ,_t - tkгде и (t) определяется из условияандii =0или( а] Jт _дii(дL)т =0.р+ дiiЕсли величина х1 не задана в начальный момент временито отсюда уже не следует равенствоВ этом случае для величины8 х1 (t0) = О.xj(t0) существуетt = t0 ,оптимальноезначение х/ (to) такое, что 8J1 = О для произвольно малых вариа­ций 8x/t0 ) от значения x/t0 ) .

Чтобы условие 8J1 =О выполнялось,выберемp/to) = О.(1.18)Это означает, что влияние малых изменений величины х1на значение функционалаграничное условие, т. е .но условиемJ(t0)равно нулю . И в этом случае одноx/t0) задано,заменяется другим, а имен­(1.18).13Условия типа(1.18)называют иногда естественными гранич­ными условиями. Указанными различиями в формировании гра­ничных условий и отличается задача данного раздела от задачи,рассмотренной в предыдущем подразд.1.1 .1.Однако для задач оптимизации с фиксированными значениямифазовых координат в конечный момент времениусловия(1 .13) требуетводеэтого8 и (t)при t0дополнительного подтверждения.

При вы­условия< t < tktk необходимостьранеепредполагалось ,чтовариацииявляются произвольными. В рассматривае­мой задаче величины Бй(t) уже не являются полностью произ­вольными, так как допустимые значения ой(t) подчинены следу­ющим ограничениям :ox)(tk) = O,jгдеl-=1, . . . , l,(1 .19)число фазовых координат, заданных приt = tk.Таким образом, по определению допустимые вариации о и (t)в общем случае должны удовлетворять всем условиям задачи,в том числе и ограничениям(1 .19).Тем не менее и в этом случае можно определить функциивлияния для критерия качестваJточно так же, как это было сде­лано ранее.

Будем отмечать их верхним индексом р J_ Кроме того, поскольку координатыxi(tk)заданы дляi = 1, .. . , l,то спра­ведливо считать члентерия качества (см.Gk, не стоящий под знаком интеграла кри­( 1.1)), функцией лишь остальных координатxi(tk), i = l + 1, .. . , п, т.е.(1.20)Тогда для значений х (to)=О получим вариацию функционалаБJ 1 = pт(t0 )8x(t0 )+ f~1; oudt= ftototktk [Т: ~ +(p(J) ) :- ]8u(t)dt, (1.21)где вектор сопряжения переменных p(J) вычисляют по формуле(1 .22)14О,jJ = l + 1, ... , п.'дх.=1, ...

, !;(1.23)J t=tkПредположим, что критерий качества задачи вместоtkfJ 1 = Gk [x(tk ), tk] + L(x,u,t)dttoзадан в виде критерият. е. функционал равен i-й компоненте вектора состояния в ко­нечный момент времени tk·Функции влияния дляGk = xi(tk)t) = О.-Iверхним индексом: р .иL(x,и,xi(tk)можно определить, если положитьБудем отмечать такие функции влиянияАналогично уравнениям(1 .21)-(1.23) получимf (PU))tk8.12 =8xi(tk)=Т дjдu8u(t)dt,i=1, ... , !,(1.24)toгде уравнения(1.22) и (1 .23) примут вид~(I) -рр\/) (tk) =]--{(дlJT р-(I) '.дi(1.25)О, i * };.

. .1, l =], ] = 1, ... , n.В действительности следует определитьтаких функций влияния для всехl(1.26)различных системi = 1, ... , l .Предположим теперь, что вектор управления й(t), при кото­ромсистемаудовлетворяетзаданнымграничнымусловиям,15каким-либо образом определен. Тогда можно построить такиефункции времени 8й(t), которые уменьшаютющие им значения8J1 <J 1, т. е. соответству­О, и удовлетворяютlограничениям(1.19) 8xitk) = О .Для этого умножим каждое изрую константужениюvi(1 .21) для/уравнений(1.24)на некото­и прибавим полученные соотношения к выра­ЬJ1 • В результате получим(1 .27)Выберем вариацию управления в виде(1 .28)гдеk-положительная скалярная величина.Подставим выражение(1 .28) в (1 .27).

Тогдаl8J1 + L vi8xi(tk ) =i =1(1.29)Соотношение(1.29)строго отрицательно, если подынтеграль­ное выражение не обращается тождественно в нуль на всем ин­тервале интегрирования .Определим теперь значениякраевые условия(1.19).i, i = 1, 2, .. ., !, получимили16viПодставивтак, чтобы удовлетворились(1.28)в(1.19)для каждого(1.30)Введем обозначенияQLТ -дff,[P ]т дii- tkСоотношение- (I)(1.30)-(-JTдfдii р-(J)-.I,J-1, ..., 1,dt,является системой линейных алгебраиче­ских уравнений относительноvi:lL v iQij + g i = О,}=1или в векторной формеQv+g=O.Целесообразно теперь v i выбирать следующим образом:(1 .31)Существование обратной матрицы Q-1является условиемуправляемости системы.

Если Q- не существует, то невозможно1найти вариацию й(t), с помощью которой можно перевести си­стему в состояние, удовлетворяющее всемусловиями при t= tk одновременно, т.l , заданнымкраевымие . найдется, по крайней ме­ре, одно, а может быть, и несколько изlкраевых условий, кото­рые удовлетворить в данной задаче невозможно .Итак, построена функция времени й(t), уменьшающая значе­ние критерия качества и удовлетворяющая терминальным огра-17ничениям(1.19).Другими словами, вариация й(t) является допу­стимой и улучшающей в смысле изменения критерия качества.Из соотношениявытекает, что единственное условие, при(1 .29)удовлетворении которого дальнейшее уменьшение критерия ка­чества уже невозможно, состоит в следующем:-aL + [ p- (J) +аи"V-р-(1) ]та] = 0t l аи'z(1 .32)-Если это условие выполняется, то полученное решение явля­етсястационарнымиудовлетворяетзаданнымограничениямвконечный момент времени tk.

Так как уравнения для функцийвлияния линейны, необходимое условие(1.32)стационарностифункции Гамильтона может быть записано в видеан =Оаи'где Н = L(x, и, t) + рт (t)] (х, и, t),v1 ,j= 1, 2, ... , l;(1 .33), J=l+l, ... ,n.ах.1 t=tkИзложенный метод получения необходимых условий опти­мальностисоставляет основу современногоподхода к вариаци­онным задачам. В этом подходе можно отметить два ключевыхмомента.Сначала находится выражение для вариации критерия качестваtk анfы = аи ou(t)dt,toа гамильтониан Н определяется с помощью функцийжителей Yi.18pi(t)и мно­анЗатем доказывается, что если аи* О (не равно тождественнонулю), то всегда можно (в предположении выполнимости усло­вий управляемости, т.

е. существования Q- 1 ) выбрать такие зна­ченияvi,при которых вариация управленияформулой(1 .28),рий качества8 и (t),определеннаяоказывается допустимой и улучшающей крите­J.анВектор-функциюаиможно интерпретировать как градиентв функциональном пространстве критерия качестваJпо отноше­нию к переменной управления и (t) при условии, что конечныезначения величинxi, i = 1, ... , lостаются фиксированными и удо­влетворяется система дифференциальных уравнений.1.1.3.Оптимизация при заданных значениях функцийот фазовых координат (задача с подвижным правым концом)Рассмотрим еще более сложную задачу. В некоторых случаях,например при посадке самолета на движущийся корабль, пред­ставляетинтерессохранениезаданныхзначенийнекоторыхфункций от конечного (терминального) состояния системы в за­данный конечный момент времени, т.

Характеристики

Список файлов книги