54676_47af5332d12a983f86c22596d809b788 (842909), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

е. J =иx(tk).x(t0 )В случае когда минимизиру­tk- t0, можно считать, что Gk [ х (tk), tk)] = ОL(x, ii, t)= 1.Таким образом, условие(1. 77) принимает вид[:~ +1J =0.(1.79)t =tkДля того чтобы определить программу управления, миними­зирующую время перехода, требуется решить следующую двух­точечную краевую задачу:1х = (х, и, t),(1.80). :.(1 .81)р=-В(1.80)(дlJTдхр.задано п начальных условийдано, то pj(t0) = О. Вx(t0).Еслиxj(t0)не за­(1.81) задано п условий на правом конце:xj(tk),j = 1, ...

, l;PJ (tk)=О,}=l + 1, ... , п .При выполнении т условий оптимальности( диaJJт р- =о'(1.82)а при выполнении условия трансверсальности(1.83)Для определения2nренциальных уравненийграничных условий имеется(1.80)и(1.81),2nдиффе­для определения т управ­ляющих переменных имеется т условий оптимальности(1 .82).31Условие трансверсальностинечного значения времени= 1, ... , l,(1.83) служит для определения ко­tk. Неизвестные значения р1 (tk) j =которые ранее были обозначены черезv1,также нахо­дятся в процессе решения.По крайней мере одна из фазовых координат должна быть за­дана приt = t0 иприt = tk,в противном случае задача минимиза­ции времени не имеет смысла.1.2.4.Оптимизация по расходу энергии и ресурсовУправление с минимальным расходом топлива, т. е.

достиже­ние цели с минимальными затратами материальных средств, ак­туально для самого широкого класса объектов .Одна из задач оптимизации объектов в статических режимах-обеспечение минимума расхода топлива, в связи с чем используютэкстремальное управление.Другой задачей оптимизации по расходу топлива являетсяуправление объектами, исходя из условия минимума расходатоплива в динамике при переводе их из одного заданного поло­жения в пространстве в другое.

Задачи подобного типа возникаютпри управлении самолетами и космическими летательными аппа­ратами, когда требуется управлять положением спутника, обес­печивать встречу космических летательных аппаратов на орбитеи мягкое причаливание . При этом управляющие силы и моментысоздаются за счет расхода топлива или рабочего тела, запасы ко­торых ограничены.Задача обеспечения минимума расхода топлива может такжерассматриваться при переводе двигателей внутреннего сгорания содного режима работы на другой и т. д.Задачи оптимального управления с точки зрения минимиза­ции расхода топлива в значительной степени связаны с задачамиуправления движением систем с реактивными двигателями(са­молетов, ракет, космических аппаратов и др.).

Особенно это важ­но при маневрировании и поддержании ориентации космическогоаппарата на орбите в связи с большими материальными затрата­ми на доставку топлива на орбиту. Модуль реактивной силы, ко­торая является управлением в уравнении Мещерского, характери­зующем движение материальной точки переменной массы, про­порционален интенсивности расхода топлива (производной отмассы) . Поэтому расход топлива за время32[ t 0 ,tk ]составляетtkJ= fcтlи(t) l dt,toгде с-постоянный вектор (коэффициент пропорциональности).При управлении от источников энергии, ограниченных помощности, используют частный критерий в виде функционала,характеризующего расход энергии на управление. Для электриче­ского источника энергии, например ,tkJtk= f u(t)i(t)dt = f ru 2 (t)dt,toгдеu(t)иi(t) -(1 .84)toнапряжение и ток нагрузки источника;1r =Rкоэффициент пропорциональности;R-сопротивление электри­ческой цепи.Полученная из условия минимума функционала(1 .84)систе­ма является оптимальной по расходу энергии на управление .Функционал типа(1 .84)в ряде других случаев, когдахарактеризует стоимость управленияu(t) -координата управления, аr-весовой коэффициент.В механических системах для оценки энергии управленияиногда принимают функционал видаtkJ= f u(t)y(t)dt,toгде u(t) - координата управления;y(t) = dy dtпроизводная вы­ходной переменной объекта.В качестве критерия оптимальности, характеризующего рас­ход топлива, используют функционалtkJ= frI(1 .85)u(t) dt.1toПолученная из условия минимума функционала(1.85)систе­ма является оптимальной по расходу топлива.33Контрольные вопросы и задачи1.Как ставится задача нахождения оптимального управленияметодами классического вариационного исчисления?2.

Что характеризует критерий качества управления?3. Перечислите основные типы критериев качества управления.4. Выведите необходимые условия оптимальности при реше­нии задач методами классического вариационного исчисления.5.Как решить задачу оптимизации со свободным правым кон­цом методами классического вариационного исчисления?6. Как решить задачу Лагранжа при заданных значениях неко­торых переменных состояния и фиксированном интервале време­ни методами классического вариационного исчисления?7.

Как решитьзадачу оптимизации с подвижным правым кон­цом методами классического вариационного исчисления?8.Как выполнить оптимальный синтез при заданных значени­ях функций от фазовых координат в неопределенный моментокончания процесса методами классического вариационного ис­числения?9.Как изменятся условия трансверсальности, если моментокончания tk процесса не фиксирован?10.Как решить задачу оптимального быстродействия метода­ми классического вариационного исчисления?11.Как решить задачу обеспечения минимума расхода энер­гии или ресурсов методами классического вариационного исчис­ления?12.пениемОбъект управления описьшается дифференциальным урав-d2хdxJiT2 - 2- + (Ji + Т2 ) - + х = ku.dtdtМетодами классическоговариационного исчисления найдите оптимальный закон управле­ния и, переводящий объект из положения хположениеx(tk)=Xk,= О,х = О приt= О вх (tk) = О за минимальное время.

Составьтеструктурную схему оптимальной системы.Глава2Управление с обратной связью по состояниюМногие объекты управления достаточно точно описываютсялинейными динамическими моделями. Во многих случаях схемыуправления возмущенным движением приводят к рассмотрениюлинейных систем с квадратичным критерием качества.Методы классического вариационного исчисления, как пра­вило, позволяют находить оптимальное управление как функциювремени.Путем разумного выбора квадратичных критериев качества иквадратичных ограничений удается синтезировать весьма удо­влетворительные управляющие устройства с линейной обратнойсвязью по состоянию.2.1.

Линейные системыс квадратичным критерием качестваЗадача синтеза закона управления для линейного объектауправления, минимизирующего квадратичный критерий, называ­ется задачей об аналитическом конструировании оптимальногорегулятора (АКОР). В этом случае оптимальный закон управле­ния является линейным . Таким образом, задачу об аналитическомконструированииоптимальныхрегуляторовможнорассматри­вать как метод синтеза линейных систем.Теория аналитического конструирования оптимальных регуля­торов впервые бьmа разработана А.М. Летовым. Заслуга А.М. Лето­ва состоит в том, что процесс синтеза оптимального управлениябыл поставлен на математическую основу, выраженную в анали­тической форме.

Для этого на основании математической моделиобъекта управления и выбранного критерия оптимальности ана­литическинаходилосьвыражениедляалгоритмаоптимального35управления или выражение для оптимального регулятора. Одно­временно с А.М. Летовым Р. Калманом бьm разработан метод,названный методом пространства состояния, подобный решениюзадачи АКОР, который является одной из основ современнойтеории управления.

Заслуга Р. Калмана состоит в том, что он раз­работал методы синтеза алгоритмов оптимального управления нетолько для детерминированных, но и для стохастических дина­мических систем.Различают терминальные управляющие устройства и терми­нальныерегуляторы.Терминальноеуправляющееустройствопредназначено для приведения системы в условия, близкие к же­лаемым, в момент окончания процесса (который либо можетбыть задан, либо может оставаться свободным). При этом одно­временно должно быть достигнуто приемлемое поведение систе­мы в течение всего процесса управления.Терминальный регулятор предназначен для удерживания от­клонений стационарной системы от заданных условий в допу­стимых пределах путем использования приемлемых значенийуправляющих воздействий.2.1.1.Терминальные управляющие устройстваПусть система описывается векторными дифференциальнымиуравнениями с переменными коэффициентами:х (t)= A(t) х (t) + B(t)и(t);(2.1)y(t) = C(t) х (t).Необходимо перевести систему из некоторого начального со­стояния х(t0)в заданное конечное состояние(2.2)используя допустимые функции управления и(t)и не выходя задопустимые пределы по фазовым переменным в процессе дви­жения.В постановке задачи АКОР очень важное место занимает вы­бор критерия оптимальности или выбор функционала качества.Рассмотрим три случая.36В первом случае в качестве критерия оптимальности выбираютжелаемый вектор выходных координат .Уж(t) и задача АКОР состо­ит в том, чтобы текущее значение выхода вектора бьmо близко кжелаемому:e(t) = Уж (t)- y(t),а приt ~ оо, e(t) •О.Тогда критерий оптимальности можно представить в общем виде:Критерий качества является суммой квадратичной формы отвектора ошибки в конечный момент времени и интеграла от сум­мы квадратичных форм вектора ошибки и вектора управления.В (2.За) Gk и Q(t) - положительно-полуопределенные матри­цы; R(t) - положительно-определенная матрица.Физический смысл слагаемых в критерии качества (см.

(2.За)):первое слагаемое под интегралом представляет собой просумми­рованную ошибку, а матрица Q(t) - матрицу квадратичной формыразмером п хп. Весовые коэффициенты этой матрицы выбирают стаким расчетом, чтобы в конечном итоге первое слагаемое имеломинимальное значение. Это слагаемое характеризует точность ра­боты системы. Второе слагаемое-квадратичная форма, физиче­ски характеризующая затраты энергии на управление.

Косвеннымобразом это слагаемое определяет и быстродействие системы: чембольше затраты энергии на управление, тем более быстродейству­ющей оказывается система. Выбирается компромисс между затра­тами энергии на управление и полученным быстродействием.Задача АКОР с критерием вида (2.За) называется задачейслежения.Во втором случае если в качестве функционала качества вы­братьJ}= [ - ут Gky2ацельюобъектаf]} tk+- [Ут (t)Q(t)y(t) + ит (t)R(t)u(t) ]dt,t=tkуправленияy(t)(2.Зб)2 toявляетсяудержаниевыходныхкоординат➔ О, то подобную задачу называют задачей о регу-лировании выхода.37Если начальное отклонение выходных координат относитель­но нуля велико, то управляющее устройство должно сначала вы­ходные координаты приблизить к нулю, а затем удерживать ихоколо нуля, при этом не расходуя много энергии на управление .Третий случай решения задачи АКОР связан с задачей удер­жанияоколонуляневыходногокомпонентов вектора состояниявектора иегокомпонентов,аx(t) ➔ О.Критерий оптимальности при этом будет выглядеть следую­щим образом:J-J= -1 [-TGХkX2t=tk- + И- TR-И )dt.+ -1 tfk (-TQХХ2(2.Зв)toВ этом случае оптимальное управление должно минимизироватькритерий вида (2 .

Характеристики

Список файлов книги