54676_47af5332d12a983f86c22596d809b788 (842909), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

рассмотрена методика выбора вектораq,основанная на требовании быстрейшего убывания функции Ляпу­нова-Белмана вдоль траектории замкнутой системы. ФункциюЛяпунова-Белмана можно трактовать как текущее расстояниемежду возмущенным состоянием замкнутой системы и невозму­щенным . Динамические свойства системы тем выше, чем быстрееубывает это расстояние в переходном процессе. Метод требуетзначительного объема вычислений в процессе его реализации,а также может приводить к весьма большим значениям коэффици­ентовусиленияоптимальногорегулятора,лым значениям весовых коэффициентовсоответствующихма-qi (i = 1 : п) .Таким образом, закон управления и реакция системы в значи­тельной степени зависят от выбора весовых коэффициентов пока­зателя качества.

Выбор этих коэффициентов представляет труд­ную задачу, так как взаимосвязь весовых коэффициентов и пара­метров оптимальной системы или ее реакцией в общем случаеочень сложная.63Контрольные вопросы и задачи1. Как ставится задача АКОР нахождения оптимального управ­ления?2. Изложите методику решения задачи АКОР.3. Какие основные проблемы возникают при решениизадачианалитического конструирования регуляторов?4.Как решаются проблемы, возникающие при решении зада­чи аналитического конструирования регуляторов?5.Какие условия накладываются на исходные данные присинтезе линейного квадратичного регулятора?6.Изложите основы теории синтеза оптимальных линейныхсистем по интегральному квадратичному критерию.7. Каково назначение матриц Q и R в критерии качества?8. Как задать элементы матриц Q и R в критерии качества,ис­пользуя прямые показатели качества, методом А. Брайсона?9.Как выбрать элементы матрицQиRв критерии качестваиRв критерии качестваметодом Эллерта?10.Как выбрать элементы матрицQметодом М.Е.

Салуквадзе?11 . Какой вид имеет оптимальное управление в задаче АКОР?12. В чем состоит особенность решения уравнения Риккати?13. Какова структура оптимальной системы в задаче АКОР?14. Для объекта, поведение которого описывают уравненияii = ,½,х2 = ах2+ Ьи,определите методами классического вариа­ционного исчисления оптимальное управление, обеспечивающеепереход из произвольного начального состояния в заданное ко­нечное состояние{x 1(tk) = x 2(tk) =О} так, чтобы критерий опти­мальностиtkJ=~f (a1.x; +а2 х~ +PииЗдесь а 1 , а2 , Р-2)dt.toнекоторые положительные постоянные.

Со­ставьте структурную схему оптимальной системы.Глава3Задачи оптимизации динамических системпри наличии ограничений на траекториюЗадачи оптимального управления являются задачами миними­зации на множестве функций. В отдельных случаях эти задачимогут быть решены методами классического вариационного ис­числения. Однако чаще всего задачи оптимального управленияставятся как задачи минимизации при ограничениях на состоянияили функцию управления.Ранее были рассмотрены задачи оптимизации нелинейныхдинамических систем при наличии ограниченной в конечнойточке траектории.В данной главе рассмотрены задачи с ограничениями на всютраекторию в целом, т.

е. при t0 ::;; t::;; tk, а не только в конечнойточке t =tk·При наличии дополнительных ограничений типа равенствC(x,u,t) = О, где составляющие вектора С функции ck, k = 1, . . ., r~ п дважды дифференцируемы, для определения экстремумафункционала можно использовать множители Лагранжа. В этомслучае , как всегда, при введенииlпеременных Лагранжа, кото­рые являются функциями от времени t:µ1(t) , ...

, µ 7 (t) ,задачунахождения минимизирующего решения для исходного функци­онала с ограничениями типа равенства можно рассматривать какзадачу минимизации функционала видабез учета ограничений.65Если минимизирующая траектория удовлетворяет требуемымграничным условиям, то функционалJ1не зависит от перемен­ных Лагранжа, и, следовательно, в выражениивариации функционалаµk (t)ла J 1J1(1.3)для первойкоэффициент при каждом множителеравен нулю, и поэтому стационарное значение функциона­соответствует стационарному значению функционалаJ.В этом и заключается идея метода множителей Лагранжа.3.1. Интегральные(изопериметрические) ограниченияПотребуем, чтобы некоторый интеграл вдоль оптимальнойтраектории принимал заранее заданное значениеtkfХп+1 (tk) = N(x,u,t)dt,(3.1)toгде xn+l (tk) -заданное число; N- заданная скалярная функция.Естественный подход к решению такой задачи состоит в при­соединении к исходной системе уравнений, описывающей дина­мику объекта, уравнения состояния, полученного из(3.1):.iп+l (t) = N(x,u,t)(3.2)с граничными условиями:(3.3)Xn+l (tk) задано.Пустьµ -функция влияния (множитель Лагранжа, функциячувствительности), соответствующая координате xn+l.Гамильтониан расширенной системы имеет видН=L+рУравнения Эйлера -т ­f+µN.(3.4)Лагранжа таковы:(3.5)66ан = aL + -Таиaf + aN = О·аи Раи µаи(3.6)'.

__ ан _0'µдх гдеµ -коэффициент чувствительности критерия качестваJк из­менению хп+~, т. е.aJµ=-- -(3.7)axn+lУравнения(3.6) и (3.1) можно рассматривать как системуразмерности т + 1 для определения т компонент вектора уравне­ния и (t) и постоянной величины µ .Итак, в задачах с ограничени­ямистванатраекторию(3.1)типавеличинаравен­N(x,u,t)присоединяетсяксмножителемпостояннымхгамильтониану--~Ла­гранжаµ .Класс задач, в которых в каче­стведополнительныхвыступаетклассоминтеграл ,tусловийназываетсяизопериметрическихРис.3.1. Изопериметрическаяза­задачадач по наименованию одной из них.

Среди линий равной длинынайти такую, которая охватывает наибольшую площадь (рис.l3.1).Уравнение линии имеет видtkxl(tk)=f✓O+x2 )dt=l,toгде длина линииlизвестна.Площадь под линией определяют по формулеtkJ= f xdt.to67В качестве примера рассмотрим следующую задачу: средикривых, проходящих через точки А(О,О) и В(Ь,О) и имеющих за­данную длинуl,найти кривую у(х) , для которой площадь, за-ключенная между этой кривой и осью Ох, имеет максимальноезначение .Таким образом, в задаче требуется определить максимумфункционалаьfJ(y) = ydxопри условииььооfN(x,y)dx = f✓1 + у' dx = l2и граничных условияху (О)=О; у (Ь)О.=В соответствии с методикой решения задачи классическимвариационным исчислением составляем функционал:J1 (у) =ьf (у+ µ✓1 + у'2)dx.оУравнение Эйлера для функционалаJ 1(у)дLd дL _ 0дуdx ду'имеет вид-----'гдеПодынтегральная функция не зависит явно от х, поэтомуможно записать первый интеграл уравнения Эйлерау = µ✓1 + у'2 Решив это уравнение, получим68µу'2,J1 + у'2(х - С2 ) = µ sin <р;(у- С1 )= -µcos<p,откудаили с учетом граничных условий222( 2bJ +( ✓4µ 2-Ь J 2х- -Постояннаяµу- ----_µ2 .может быть найдена из граничных условий.Экстремаль представляет собой дугу окружности с центром вточке ( ~ , J43.2.µ: -ьz Jи радиусомµ.Ограничения в виде равенств на управлениеРассмотрим дополнительно ограничение на управляющие пе­ременные в виде равенстваC(u,t) = О,гдескалярная функция;C(u,t) -u(t) -(3.8)т-мерный управляю­щий вектор, т ~Условие2.т~2необходимо для того, чтобы задача представ­ляла интерес (при тфункциюu(t)= 1 ограничение (3.8)полностью определяети никакой проблемы оптимизации не возникает) .

Втех случаях, когда т ~2,влияние ограничения(3.8)сводитсяк уменьшению свободы выбора управляющих переменных и.Один из возможных подходов к решению этой задачи состоитв исключении с помощьюных и(3.8)одной из управляющих перемен­последующем решении задачи минимизации понию к оставшимся управляющим переменным,отноше­которые уже несвязаны никакими ограничениями. При таком подходе необходи­мые условия минимизации, выведенные для задач без ограниче­ний, остаются справедливыми и в этом случае.69Другой подход заключается в том, что выражениемножителем Лагранжаµ(t)(3.8)сприбавляется к гамильтониану. Приэтом получается расширенный гамильтониан(3.9)Такая форма гамильтониана вносит изменения только в усло­вие оптимальности(3.1 О)Это условие вместе суправления3.3.u(t)(3.8)определяет т компонент вектораи скалярную функциюµ(t).Ограничения в виде равенств на функции управленияи фазовых координатПусть оптимальное решениеx(t), ii(t)должно удовлетворятьограничениюC(x,ii,t) = О,причем-асаи=1:-одля лю(3 .11)б ого -и.Следуя принятой методике, добавим к гамильтониану вариа­ционной задачи без связи ограничениес множителем(3.11)µ(t).В результате получим гамильтониан(3 .12)Условие оптимальности в этом случае совпадает с(3 .10):(3.13)а уравнения Эйлера ---=-тр70Лагранжа должны быть модифицированы:анaLдхдх-Т= -- = - - - рaf --дхасµ-ах.(3.14)Все остальные уравнения необходимых условий остаются безизменений.Необходимое условие(3.13) и ограничение (3.11) составляютсистему т + l уравнений с т + 1 неизвестными величинами µ и и.Характерное отличие этой задачи от предыдущих появле­ние в уравненииЕслидС(3.14) слагаемого µ -дхC(x,u,t) = О.является вектор-функцией, число компо­нент которой меньше числа компонент вектора управления иуравнения(3 .12)-(3.14) соответственно примут видН= pTJ +L+r?c;дНди~трЗдесьµ-, то(3.15)= дL + _ т дf + _ т дС = О·ди рди µди'дН-Т дfдхдх=- - =-р-дL- -дх- т дС-µ - .дх(3.16)(3 .17)вектор множителей Лагранжа, размерность которыхсовпадает с размерностью вектора3.4.C(x,u ,t).Ограничения в виде равенствна функции фазовых координатЕсли функция, задающая ограничение, явно не зависит отуправляющих переменных, то в этом случае при решении задачивозникают дополнительные осложнения.Пусть задано ограничение в виде следующего равенства:S(x,t) = О.Если равенство(3.18)(3.18)справедливо для любого значенияt,t 0 ~ t < tk, то производная по времени от функции вдоль опти­мальной траектории должна обращаться в нуль:dSdt= дS + дS х = дS + дS 1(x,u,t) = о.дtдхдtдх(3.19)71Выражение(3 .19)может, в свою очередь, оказаться либоявно зависящим от и, либо снова не зависящим от и.

Характеристики

Список файлов книги