54676_47af5332d12a983f86c22596d809b788 (842909), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Эти неявные соотношения можно представить в виде4hsec З 0 + tg З 02 (\ .- 1n - - - ~ 1 2 tg '7 0 ,sшЗ0sесЗ 0 -tgЗ 0.1С = 2tgЗ0т'откудаОчевидно, что безразмерная величинаh-2определяет зна-аТчениеv0 ,по которому затем можно найти постоянную С. Максимальная скоростьVx (1)max и конечное значение х(Т) находят изуравненияVx(T)max _ 2xk _ 1 sесЗ0 +tgЗ 0 /(\- - - - -- - n---2 tg\70 •2аТаТsec З0 - tgЗ0Программы управления углом тяги э(;) для перелета напрямолинейную траекторию представлены на рис.Зависимость максимальной конечной скорости4.3.Vx max от начального угла тяги З O и зависимость З O от безразмерной высоты выведения4h-2атпредставлены на рис.4.4.911'}, градV,, max laT90.----------.----------,60l ,0""""',----------------------,==--0,8301'}0 =0,6оо I---..J_----,--L-=-t=--::-L----,--1---,---=:1- 300,40,2-60-90' - - - - - ---'- - - - - - - - 1'}0 = 900Рис.0,2о4.3.
Программы управления4.3.= -tg -9-0 ,901'}0Рис.4.4. Зависимости максимальной скорости Vxmax и угла тяги Э- оуглом тяги э (;)Отметим, что V16030V2 =2tgЭ- 0тОптимальная траектория перелета на круговую орбитумаксимального радиуса за заданное времяРассмотрим решение задачи нахождения программы управления направлением Э-(t) вектора тяги КА для перелета КА массой тс заданной начальной круговой орбиты на круговую орбиту максимально возможного радиуса (рис.4.5).Конечная....•··········••"••"·орбита..................v ~•..············/...~ р..··· ------~...····•...···..,.·····..··НачальнаяоорбитаЦентрпритяженияРис.Р-4.5.
Схема перелета с орбиты на орбиту:вектор тяги; -9- -угол тяги;КА от центра притяжения;V,. -r -радиус; r -радиальное расстояниерадиальная компонента скорости; ~ -генциальная компонента скорости92танДвигатель КА развивает постоянную силу тяги Р, значениекоторой известно, время работы двигателя tk задано.Таким образом, задачу можно сформулировать так: найтифункцию Э{t), максимизирующуюr(tk), т.е.J = r(tk) = r k max,при удовлетворении связей(4.1)(4.2).Х3 =где х1_= r; х2 = Vr; х3 = V1:;янная величина) ;µ -V,.~РсоsЭ.Vt -- - - + - - - rт0 - 1 ni It 'т-(4.3)секундный расход топлива (постогравитационная постоянная притягиваю-щего центра, и граничных условийr =О, Vr = О; V1: = [i_ .v-;:;Таким образом, имеемЗапишем выражения для гамильтониана и для функциисоGответственно:н -_ Р1V + Р2 { V/rr- ~ PsinЭ.
}{_ VrVtРсоsЭ. }·2 ++Рз+rт - т trт - т t001·11·1,93Общие необходимые условия оптимальности имеют следующий вид:(4.4)приP1(tk) = 1+v2Jµ2[r(tk )] 312;(4.5)(4.6)=О(4.7)'откудаtgЭ = Р2 .РзШесть дифференциальных уравненийшаться с учетом шести краевых условий.(4.1 )-(4.6) должны реПри этом v 1 и v 2 выбираются так, чтобы удовлетворялись два дополнительных граничных условия: Ф1 (tk) = О, Ф2(tk) = О.Управляющая функция Э(t) определяется через р2 и р 3 из выраженияАмериканскиеученыеКоппиМакгиллрешилизадачунахождения траектории межорбитального перелета КА с двигателем малой тяги, обеспечивающим минимальное время перелетамежду Землей и Марсом.94Для выбранных значений тяги Рпокидающего орбиту, т 0 =значений Р/04,5т, расхода топлива т =l1h l~0,1405,=кН, массы КА,= const = 0,385=рµ ro2= 3,32 время перелета составило5,85кг/сут,и ~0,533ro2/ µпорядка193сут.Одна из минимальных по времени траекторий перелета КА сдвигателем малой тяги показана на рис .4.6.Орбита-----------//_______ I/1',Марса/\ \ \ --.,,::------,,,---------.:._ -~(О: Солнце _,,\"'- - - - - - - - - - /.,,.-----........
___'/_,,/_,,.,,,,.,,.--- -------------------------✓-.,,.-ОрбитаЗемлиРис.4.6. Направление тяги КА при перелете от Земли к МарсуКак видно на рис.4.6,первую половину пути тяга направленаот Солнца, а вторую половину пути4.4. Выведение на-к Солнцу.орбиту за минимальное времяПусть ракета-носитель КА находится под воздействием силытяги Р=та. Движение ракеты-носителя описывается теми жеуравнениями, что и в примере, рассмотренном в подразд.4.2,а именно:V = асоsЗ·'V =asinЗ·'хуТребуется перевести КА на прямолинейную траекторию, параллельную оси х и находящуюся от нее на расстоянииh = Узад•Время перехода должно быть минимальным, т. е.95tk=TJ=f dt,toа скорость КА в конце выведения должна равняться заданномузначениюVx зад и быть параллельной оси х.Значение дальности хв конце участка выведения интереса не представляет .Составим гамильтонианпH(x,ii,p,t)= L+ LPiJ;= 1 +p1acosЭ+p2asinЭ+pзx1 + р4х2,i=lв котором переменныеPiнайдем, решив сопряженную системууравнений, аналогичную примеру, рассмотренному в подразд..Р1 =-анах1.Рз;,анах2 = - р4;,Р2 = -.=-анРз=- ахз = О;Эти уравнения легко интегрируются:Р1 =- Рз t + С1;р2 = -р4t + С2;рз = Сз;р4 = С4 = V2,Запишем краевые условияVx(O)=O;Vx(T) = Vx зад;Vy(O)=O; Vy(T) = О;х(О)= О;так как конец х(Т) свободен;96Рх (Т) = О,4.2:у(О) = О; у(Т) = h = Узад·Условия оптимальности,в подразд.как и в примере, рассмотренном4.2, имеют видан =-p1 asinЭ-+ р2 асоsЭ-=0,83-откудаtgЭ-= Р2 = -p4t+C2 = -p4t+C2 .Р1-рзt + С1С1Поскольку х(Т) не задано, то р3 (Т)ция Р1== рх(Т) =С3=О и функС1 вдоль всей траектории.Оптимальным законом управления в этом случае является закон линейного тангенсасгде tgЭ- = ___1_ •ос1'Условие трансверсальности в задаче на максимальное быстродействиеиспользуется для определения конечного значения времениtk- t0 = Т:[ С1 а cos Э-(Т) + р2 (Т)а sin Э-(Т) ]t=tk = -1,илиДля случая, когда а= const,имеем следующие соотношения:V = ~ In tg Э-о + sec Э-о .х Сtg Э- + sec Э- 'аVY = -( sесЭ- 0 - sесЭ-);с97аtgЭ-0 sесЭ-0 J;+х= - ( sесЭ- 0 -secЭ.-tgЭ.ln ----СtgЭ.
+ sec Э.2у =-а2С2[ ( tg Э-()tgЭ-0 + sесЭ-0 ]0 - tg Э) sec Э-0 - sec Э-0 - sec Э. tgЭ. - ln- - - - ;tgЭ.+secЭР1 = Pvx =Р2cos э.аО;= Pvy = - sinаЭ.о (1-2i)·Т ,Рз= Рх = О;2sinЭ 0р4 =Ру =аТПостоянные величины Эо, С и конечное (минимальное) времяtk= Т определяются тремя граничными условиями на правом конце:Vx(T)= Vхзад;Vy(T)= О;у(Т) =h.Эти соотношения могут быть представлены в виде4ah _ tg Э-0 sec Э-0 - ln tg ( п / 4 + О, 5Э.0 ) .-2- -vхзад{ 1n tg ( 1t / 4 +атvхзадо, 5Э.о)}2'tg Э.о.ln tg( 1t 14 + О,5Э.0 ) '=-------CT=2tgЭ0 ,откудаБезразмерная величинаследовательно,ат-vхзад98(рис.4 ~h~зад4.8).определяет Э-0 (рис.4.
7)и,-д-0 ,90град1,251,20601, 151,1О301,05о0,5Рис.1,0о0,54. 7. Зависимость начальногоугла установки тяги Э0 от безраз-мерной высоты4 ~hvхзадслева от 1,01,00о0,5~зад-4ahо0,5Рис. 4.8. Зависимость минимальноговремени Тmin от безразмерной высотыаh4--v2слева отх зад2и1,0Vх~ад1,0 и - 4ahсправа:справа1aTmin. 2-vхзад ,2lTmin-Таким образом, граничные условия определяют характер поведения траектории при выводе КА на орбиту.4.5.Синтез ресурсо- и энергосберегающих системЕсли в качестве критерия оптимальности системы взять критерий минимизации расхода рабочего тела (ресурса), т. е.
при необходимости синтезировать оптимальную ресурсосберегающую систему, нужно потребовать вьmолнение минимума функционалаt1 тfJ(u) = Z:c1u}dt,to J=1гдеCJ >О(j = 1, 2, . .. , т) -некоторые весовые коэффициенты.С физической точки зрения это означает следующее : чемменьше управляем, тем меньше тратим рабочее тело (ресурс).При.мер4.1.Пусть движение объекта описывается уравнениями:= 2112 + Зv;{111 = 112·~2Заданы следующие граничные условия:99ТJi (О)= 1;ri 1 (oo)=O;ri 2 (oo)=O.ri 2 (О)= 2;Функционал качестваt1 тfJ(v) = Z:cjv}dtto j=1представим в следующем виде:(Х)J(v) =f (v )at.2оЗапишем гамильтониани соответствующие уравнения Эйлера -Лагранжа:Вместе с уравнениями движения объекта получим следующую П-систему дифференциальных уравнений:111 =112;112 = 2112 - 4, 5Р1;Р1 = -2pl - Р2 ;Р2 =О.Решив данную систему с учетом заданных начальных условий, получим:100Искомое оптимальное управление имеет видv=-1,s((cз + 1с4 )e-2 t -1с4 ).(4.9)Постоянные с 3 и с4 определим из первых двух уравнений решения системы (4.8) подстановкой конечных условий: с4 = О, с3 = - ~.Выражение(4.9) для оптимального управления примет видV= +4e-2t.Оптимальная замкнутая система будет выглядеть так:= 211 2 + Зv;111 = 112;{v = +4e-2t.~2Пример4.2.Решим задачу конструирования системы управле-ния для объекта, описываемого следующей системой уравнений:Х1= -Р1х1 + k1x2;i-2 = -Р2х2 + k2x3;х3 = k 3u;У1= Х1 + Х2,Задачей управления поставим стабилизацию переменной у 1 науровне у1* =const.Тогда невозмущенное состояние объекта будет описыватьсяследующей системой уравнений:О= -f\x; + k1x;;О= -f32x; + k _x;;2О= k3 u;;Отсюда следует*YI * = Х1* + Х2,Введя ошибки переменных101запишем уравнения возмущенного движения объектаё1= Ь11е1 + Ь12е2;ё2 =Ь22е2 +Ь23е3;ёз= Ъз1v1;z1 = а11е1 + а12е2,гдеВ соответствии с поставленной задачей в качестве критерияоптимальности возьмем следующий функционал:OCJ= f(m1z; + vf )dt.JоПреобразовав его, получимOCJJ= f(с11 е; + с12 е1 е2 + c22 eI + vf )dt,огдеРешение задачи аналитического конструирования системыуправления по полученному функционалу приведет к следующему алгоритму оптимального управления:И1 =КР1 (lzi1X1 +h12X2 +/zi3X3 -t;).Здесьh _ 'У1111 -КPiгде 'У11, 'У12, у 13 при решенииуправления;102•,h_ 'У1212 -К•,Pih _ 'У1 з13 - кPi'коэффициенты, значения которых находятсязадачианалитическогоконструированиясистемыДля определения конкретных значений коэффициентов необходимо решить систему уравнений Гамильтона.Ниже приведен пример script-фaйлa в МАTLAB, моделирующего систему управления и выполняющего синтез оптимальногорегулятора с помощью процедуры% Параметрыdlqr:системыA=[l О; -2 1];8=[1 О; 1 О]';% Параметры критерия качества управленияQ=[l/2 О;О 1/2);R=[l/2 О; О 1/2);% Время регулированияT=l00;% Величина шагаSS=0.5;% Количество шаговN=T/55;% Вычислениепараметров регулятора[k ре]= dlqr(A, 8, Q, R)х = zeros{2, N);и= zeros{2, N-1);% Начальные условияx{l,1)=2;х{2,1)=1;% Построение графиков динамикиfor i=l:N-1,и( :, i)= - k*x(:, i);х(:, i+l)=A*x(:, i)+8*u(:, i);системыendxl= x{l,:);х2= х{2, : );t = 0 :55: Т-55;subplot{4, 1, 1);plot(t, xl, 'Ь');subplot{4, 1, 2);plot(t, х2, 'g');subplot{4, 1, З);plot(SS:55:T-55, и(l, :), 'у');subplot{4, 1, 4);plot(SS:55:T-55, и{2, :), 'r');103В результате проведенных вычислений получим значения параметров оптимального регулятора :k=0.8229 -0.17710.8229 -0.1771р=3.7343 -1.4114-1.4114 1.1614е=0.1771 + 0.1771i0.1771- 0.1771iГрафики динамики системы приведены на рис.4.9.- - - - - - - - - - - - - - - - -~[0][8]-) Figure No.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
