54676_47af5332d12a983f86c22596d809b788 (842909), страница 6
Текст из файла (страница 6)
е.получим уравнение оптимального регулятора22и =- (µ + v - ro~)x1 - 2(µ - ½ro0)x2.Таким образом, для оптимизации колебательного звена в смыслеквадратичного критерия необходимо замкнуть его отрицательной49обратной связью по выходной координате и ее производной с коэффициентами соответственно. Для случая1k1 = µ1µ2 - ro~; k2 = µ1 + µ2 - 2 ½roo.Для случая22k1= µ + v2ro~; k2 = 2(µ-½roo).-Структурная схема оптимальной замкнутой системы приведена на рис.2.3.Рассмотрим задачу Чаплыгина, которая формулируется следующим образом. Определить замкнутую кривую, по которойдолжен двигаться центр тяжести самолета, чтобы за время Т облететь наибольшую площадьветраS,если задана постоянная скоростьW.
Скорость самолета постоянна и равна V0 (рис . 2.4).у1ххРис.2.3.Структурная схемаРис.2.4. К постановке задачиЧаплыгиназамкнутой системы регулятораПри решении задачи требуется определить максимум функционалат(_1dydxJ - S= - f х--у- dt20dtdtJпри наличии связейdx- = v; cosa-W·dtоdyv; .=- 0 sша.dt-50'Имеем вариационную задачу на условный экстремум.
Составим гамильтониан:Н = [-(ху- ух)+ р1 (V0 cosa-W)- p 2V0 sina] .Уравнение Эйлера -Лагранжа для этого функционала имеет вид..анР2=--=-х .дуИнтегрируя эти уравнения, найдемПроизвольные постоянные выбраны равным нулю за счет параллельного переноса осей координат.Необходимое условие оптимальности :ан-диан=-да.=-p1Va sma- p 2V0 cosa= О,откуда_Р2tga - - -.Р1Подставив в последнее уравнение найденные значения р 1 , р2 , получимysin a-xcos а = О.Отсюда следует, что можно принятьу=rsш а;х=r cosа.Тогдаdrdt-W dyV0 dt--Интегрируя это уравнение, получим уравнение эллипса51✓х 2 + у 2W=-у+с1 •VoЕго можно привести к видух2 + (У-Уо)2 =1а2ь2'где малая полуось эллипсабольшая полуось эллипсааVac1= -----.====✓Vo2 -W2и смещение центра эллипсаРасстояние от центра до фокуса-.Jь2 -а 2 --с-уVaWc1 --Уо·Vo2 -W2Эксцентриситет эллипсасwЬVе=-=-Такимобразом,0•искомая траекторияпредставляет собой эллипс, один из фокусов которогохординат,F2расположен в начале кобольшаянаправлению ветралипса еРис.2.5.
Решениезадачи Чаплыгина52осьиперпендикулярнаэксцентриситет эл= W/V0 (рис. 2.5).Произвольная постоянная с 1 определяется временем полета Т.2.2. Выборвесовых коэффициентов показателя качестваЗакон управления и реакция системы в значительной степенизависят от выбора весовых коэффициентов показателя качестваматрицQиR. Выборэтих коэффициентов представляет труднуюзадачу, так как взаимосвязь весовых коэффициентов и параметров оптимальной системы или ее реакцией в общем случае весьма сложная.По-существуQиматрицы штрафов (весов) на компоненR-ты вектора состояния и вектора управления в критерии качества.Для неавтономной системы весовые коэффициенты этих матрицзависят от времени .2.2.1. Процедура БрайсопаДля получения допустимых уровней величин .хи(t)матрицыGk, Q(t)иR(t)(tk),.х(t)имогут быть выбраны, например, диагональными со следующими элементами :(2.33)(2.34а)или12- =x i шах (t) ;(2.346)q ii(2.35а)или(2.356)Таким образом, метод Брайсона использует характеристикипереходных процессов, т.е.
прямые показатели качества:времяпереходного процесса и его максимальное значение (перерегулирование) .532.2.2. Процедура ЭллертаДля стационарных систем метод выбора коэффициентов матрицыQпредложен Эллертом. Согласно процедуре Эллерта навыбор коэффициентов влияют степень устойчивости и полосапропускания системы, значение перерегулирования и точностныехарактеристики системы.Для объекта второго порядка, описываемого уравнением:~; ]х +[~ь~Jи,(2.36)с показателем качества1 tkJ=где tk = оо, а матрицыQ = Q = [q0112f СхтQx + ит Ru)dt,toQиR0 ]q22 ;(2.37)заданы в виде диагональных матриц:R = 'i 1[ о(2.38)закон управления выглядит так:(2.39)где коэффициентыSu определяются из решения системы нелинейных алгебраических уравнений Риккати (2.24) при S=О:q22+ 2а22 S22 + 2а12 S21 - ь;2 s;2 = О;(2.40)а векторv-из уравнения(2.29):(2.41)54Так как замкнутая система линейная стационарная, ее передаточная функция определяется так:W(s) = Х1 (s)u(s)=1(2.42)2 2T s + 2½Ts + 1'гдеОтсюда можно найти коэффициенты :(2.43)а следовательно, и значения весовых коэффициентовq11иq22 :(2.44)При выбранных значениях½иТ соотношения(2.44)определяют q11 и q22·Согласно процедуре Эллерта выбор коэффициента демпфирования½обеспечивает требуемуюстепень устойчивости системыпри условии, что ни одна из переменных системы не превышает55заданных пределов.
Постоянная времени Т выбирается в соответствии с требуемой полосой пропускания системы или ограничениями на составляющую управленияВзаимосвязь(2.43) ви Т получается из подстановки уравненияu2(t)соотношениеu2(t).(2.39):(2.45)Уравнениестановкевнаихудших(2.45)негоможно разрешить относительно Т при подмаксимальноиx 1(t), x 2(t)v 1(t),допустимого(2.41) относительно v;(t).После определения параметровтыu2(t),предварительно разрешив системудифференциальных уравненийq11значенияt;и Т весовые коэффициентыи q22 задаются уравнениями (2.44).Для выпуклости функционала качества весовые коэффициенq 11иq22должны быть неотрицательными. Это требованиеслужит проверкой непротиворечивости требований проектирования в предположении правомерности выбора квадратичного показателя качества с постоянными весовыми коэффициентами.После определения этих величин предположение о бесконечном tk отбрасывается (это является слабым местом методики Эллерта) и рассчитывается оптимальная система для заданногоtk.Для объектов, описываемых уравнениями более высокого порядка, передаточная функция замкнутой системы принимает видW s ( ) -Тп пsr+2~ п-lТN(s)r's + ...
+2~ 1Ts+ln-1 n-1(2.46)где N(s) =1, ~1 = ~; N(s) = 2~1Ts + 1, N(s) = 2 ~ 2 T 2s2+ 2 ~ 1Ts + 1 соответственно для систем первого, второго и третьего типа, т.е.систем соответственно с нулевой установившейся ошибкой при56единичном ступенчатом входном сигнале, единичном линейнонарастающем входном сигнале и т. д.Предложенная Эллертом процедура выбора весовых коэффициентов показателя качества применима и для этих объектов,если½i (i = 1, 2, ..., п - 1) можно определить за небольшое числопробных шагов.
В литературе существуют табулированные чис-ленныезначенияC,i ,называемыестандартнымиформами(например, стандартные формы характеристического уравненияУайтли, которые могут быть использованы для выбора½i, исходя из требуемого значения ошибки и максимального значенияперерегулирования (табл.2.1)).Таблица2.1Стандартные формы характеристического уравнения УайтлиСтандартные формыТип системыНулеваяапозиционнаяьошибкасНулеваяdскоростнаяеошибкаf~hНулеваяошибкапо ускореmпоНа рис.2.6ijklO"max,т 1т s2 + l,4Ts+ 1222Tз/ T зs3 +2T s2+ 2Ts+ 1Т 4/ T 4s4 + 2,6Тзs3 + 3,4T 2s2 + 2,бТ s + 122т 1т s2 + 2,sт s + 1Тз! Т зs3 + 5,lT 2s2 + 6,3Т s + 1Т 4/ T 4s4 + 7 2Т зs3 + 1 6T 2s2 + l2T s + 1''Т 5/ T 5s5 +9T 4s4 + 29Тзs3+ 38T 2s2 + 18Ts + 1Т 6/ T 6s6+ 11T 5s5 + 43T 4s4 + 83Т зsз ++73T 2s2+ 25Ts+ 1Тз! Т зs3 + 6,7T 2s2 + 6,7Т s + 1Т 4/ T 4s4 + 7 9Т зs3 + 15T 2s2 + 7 9Т s + 1' 4'2Т 5/ T 5s5 + 18T s4 + 69Тзs3 +69T s2 + 18Ts + 1Т 6! T 6s6 + 36T 5s5 + 25lT 4s4 + 485Т зs3 ++ 25lT 2s2 +36Ts + 1%5810101010101010202020приведены типовые переходные процессы в различных типах систем (см.
табл.2.1 ).Так как передаточной функцией типа(2.46)обладают многиереальные системы управления, для определения весовых коэффициентов, удовлетворяющих объективным требованиям проектирования, можно использовать стандартные формы Уайтли совместно с процедурой Эллерта.57Однако следует отметить, что выбор коэффициентов показателя качества не самоцель , так как именно этот показатель определяет½i, а следовательно , и параметры регулятора.ьr(t)сJ ,О0,5о5dеgf1015202510152025101520h1,00,5о5i jkl1,00,5оРис.5852.6. Переходные процессы в различных типах систем2.2.3. Процедура М.Е.СалуквадзеПредложенный М.Е.
Салуквадзе метод выбора вектораq Е Gqоснован на идее синтеза парето-оптимального управления, обеспечивающего максимальную близость функционала качества ккаждому из аддитивно составляющих функционалов.Представим функционал качества системы в видеJ=J{tq; [x;(t) + tиJ(t)]}attoz=l(2.47)1=1и потребуем, чтобы весовые коэффициентыqiудовлетворялиограничению(2.48)во избежание тривиального решенияqi = О (i = 1 : п ).Задачу аналитического конструирования оптимального регулятора сформулируем в следующем виде: требуется отыскать вектордоставляющий на решениях системы(2.1) минимум(2.47) при ограничении (2.48).Представим функционал (2.4 7) такимu(t) Е И,функционалуобразом :пJ= "q~J~l'li=lгде(2.49)ОбозначимJi*минимальное значение функционала(2.49),получаемое в результате решения задачи АКОР при минимизации только функционала(2.49).При фиксированных значенияхзначение функционалаqiминимально возможное(2.47) составляет(2.50)59Найдем минимум функционала(2.50)поqiпри условии(2.48).Рассматриваемая задача представляет собой задачу на условныйэкстремум.
Для решения ее составим функцию Лагранжа:(2.51)гдеµ-множитель Лагранжа.Для отыскания минимума функциипроизводные по компонентам вектора-ддqi(2.51)q:приравняем нулю*F(q) = 2qiJ i -µ = 0, i = l, ... ,n,откуда получимi =1 :п.Векторqции Лагранжас компонентами(2.52)(2.52)доставляет минимум функ(2.51 ), поскольку гессианд2- 2 F(q)=2дqв силу положительности Ji*J1*оооJ;оооJ*п(i = 1 : п) является положительноопределенной матрицей.Подставив соотношения(2.52)в формулу(2.48),получим выражение для множителя Лагранжа2µ= п 1 'I -*i=l J i60(2.53)а подставивтора(2.53)вискомые значения компонент век(2.52) -q:1i =1 : п.(2.54)В качестве примера рассмотрим объект, возмущенное движение которого описывается уравнениямиТребуется отыскать управлениедоставляющее минимумu(t),интегральному квадратичному функционалутJ= f[qf xf + qixi + (qf + qi)u 2 ] dt,огде весовые коэффициенты(2 .48), т.е.q1иудовлетворяют условиюq2q1+ q2 = 1, и подлежат выбору.В соответствии с изложенным выше заданный функционалпредставим в виде суммы(2.50), причемтJ1=f[xf + и2]dt;отJ2=f[х1 + и2]dt.оМинимальные значения этих функционаловгде х(О) =[X1max =1,управления в моментрицыS1 и S2X2max =t=О ,l]т -вектор состояния объектаа квадратные симметрические матудовлетворяют матричным уравнениям Риккати61Ql +S1A+ATS1 -S1BBTS1 = О;Q2 +S2 A+AтS2 -S2 BBтS2 = 0.Матрицы, входящие в уравнения Риккати:Решения уравнений Риккати:Значения функционалов составляют11*= ✓2xl (О)+ 2х1 (О)х2 (О)+ ✓2х2 (О);Поскольку Х1 шах1;= х; (О).= х 2 шах = 1, тоПодставим полученные значения11*и12*в выражение(2.54).В результате получим искомые значения весовых коэффициентовфункционала :2+2✓21(Ji=Управлениеu(t),3+2✓2;q2 =3+2✓2.доставляющее минимум функционалу, запишем в виде(2.55)где матрицаS удовлетворяет матричному уравнению РиккатиQ+SA+Aтs_62sввтs=о,2q1 +q212а матрицаРешение уравнения Риккати приводит к следующей матрице S:где S11=q1✓q(+2q1 ✓q(+qi; S12=S21=q1✓q(+qi ; S22 =✓q(+qixx✓qi + 2q1 ✓q( + qi ·Подставив матрицуSв соотношение(2.55)дляu(t),получимформулу для оптимального управленияАлександровым Е.Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
