54676_47af5332d12a983f86c22596d809b788 (842909), страница 3
Текст из файла (страница 3)
е. должны быть выполненыграничные условия:(1 .34)Ф[х(t), t] 1= tk = Ф[x(tk ), tk ] = о,где ФL = О,ивектор-функция размерности /, причем l ~ п-1, если/ ~ п , если L*О.Таким образом, задача состоит в отыскании управления, ко-тороепереводитФ[x(tk ), tk]=Осистемуизточкиx(t0 )наповерхностьза заданное время Т = tk -t0 .Как и в задачах, приведенных в предыдущих подразделах,присоединим систему(1 .34)к критерию качества, предварительно умножив ее на /-мерный векторv .
Кроме того, присоединим ккритерию и систему уравнений х = J(x,u,t).19В результате получимtkf+ {L[x(t),u(t),t]+ рт (f -x)}dt.(1.35)toЕсли определить функциюGкак~-т -G=Gk +v Ф,(1 .36)то дальнейшие рассуждения и выкладки, сделанные ранее, применимы без изменений и в данном случае. Однако окончательныевыражения для необходимых условий стационарности функционалаJпри удовлетворении граничных условий(1.34)должныбыть истолкованы следующим образом: имеется набор парамет-vi, i = 1, ... , l, которые следует выбрать так, чтобы удовлетворялись l уравнений (1.34). Необходимые условия стационарностировимеют видх = f(x, и, t)(1 .37)(п дифференциальных уравнений);дf JT _ (-дL JT. .
:. . -_ (-рр-дхдх(1.38)(п дифференциальных уравнений);(дН )т = ( дf Jт _+ ( дL )т = Одидирди(1 .39)(т алгебраических уравнений);x 1 (t0 )задано или(п начальных условий);20p 1 (t0 ) = О, j = 1, ... , п,(1.40)рт (t k ) = ( дG-k +V- т -дФ Jд.хд.х(1.41)t =tk(п граничных условий);(1.42)(lдополнительных условий) .Условия стационарности(1.39)определяют т-мерный векторu(t) . Система 2n дифференциальных уравнений (1.37) и(1 .38) с 2n граничными условиями (1.40) и (1.41) описываетдвухточечную краевую задачу с l параметрами v , которыедолжны быть найдены из(1.41) так,l дополнительных условий (1.42).чтобы были удовлетворены1.2.
Необходимые условия оптимальностина нефиксированном интервале времени1.2.1.Оптимизация задачи при фиксированных значенияхнекоторых переменных состоянияВажное отличие рассматриваемой задачи состоит в том, чтовремя tk окончания процесса движения не задано. Целесообразносчитать в этом случае время tk некоторым параметром, которыйдолжен быть выбран в дополнение кu(t) такимобразом, чтобыминимизировать критерий качества и удовлетворить ограничениям.Покажем, что здесь имеют место те же необходимые условия, чтои в случае заданного tk , но, кроме того, путем оптимального вы-бора tk должно быть удовлетворено дополнительное условие:Выразим критерий качества:tkJ1 = Gk[x(tk), tk] + f {L(x, и, t) + pт(t)[f(x, и, t)- x J}dt.to21Приращение8u(t),dJ1,возникающееи приращение значенияdJ1tkвариацииуправленияимеют вид=( 80k dtk + дGk dxJдtпри+L(x,u,t)I _ dtk +fJxt-tkt=tkk+ t[{(-J (дii р -J8идLдх + р- т ;ддL - т д& ++;--}р- т&--=-dt.Интегрируя это выражение по частям и группируя, получимl дХ р !х р Jk+t{(дL+Здесь величина 8хчении времени- тд--+(дii-J8и}.т дL - т д&++ ;р-dt.(1.43)вариация вектора при фиксированном знаt.Определим полное приращение вектора х в конечный мо-мент времениtkследующим образом:(1.44)гдеx(tk) вычисляется на оптимальной траектории.Из (1.44)Подставив это выражение в+tf {(-= + р22kдLtoдх(1 .43), получимJ (-=+р ~-J8и}~- +р.
т 8х- +- тддхдLди- тдди-dt.(1.45)Примем следующие условия:xi(tk) заданы, i = 1, ... , l.Тогда функциюGk можно(1.46)считать зависящей только от незаданных фазовых координат, т. е.(1.47)Выберем функции p(t) = p(J)(t) так, чтобы коэффициентыпри 8x(t) и пpиdx(tk) обратились в нуль:...:...(J)Р= -( aL JT -( а] JT ахахО,P?)(tk)=Тогда выражение(J) .(1.48)'}=1, ..., l;[aG J(1.45)Рkах.Jt=tkдляdJ1,j= l + 1, ... , п.(1.49)при таком выборе р (t) упрощается:где величина8 х (tk)считается равной нулю, так как х (t0) задано.Рассмотрим приращение координаты xiветствующейпроизвольнойвариации(tk), i = 1, ...
, l,8й(t),используясоотметодфункций влияния:(1.51)гдеp<I) определяется по формуле23~(/) -- -(8f- JTрдi- (J)(1 .52)рпри условии(J) -Р·]Отметим, что уравнениеем уравнения1 i-1··'- {о-'(1 .53). .l =1=- ] .'(1 .51) можносчитать частным случа(1 .50), если положить Gk = x/tk ) и L = О.Построим функцию времени 8й(t) и выберем значениеdtk так,чтобы приращениеdJ было отрицательным и удовлетворялисьусловия dxi(tk) = О, i = 1, ... , l.Умножим каждое из l уравнения (1 .51) на постоянный множитель vi и прибавим полученные выражения к (1.50), тогда(1 .54)Величиныdtk и8и выберем следующим образом:(1 .55)(1.56)гдеk1 и k2 -положительные числа.Подставив величины dtk и 8й в24(1 .54), получимЭто выражение отрицательно, если квадратичные формы не равны тождественно нулю.Выберем vi так, чтобы терминальные условиятворялись приdxi(tk)(1.56) в (1.51 ).Тогда получимdxJtk) = -k1= О,{h [дGkдti = 1, ...
, l.+L +(1.51)Для этого подставим*1(P(J))т J + ; =1v 1 1 ]}удовле(1 .55)иt=tkОбозначимQ ..lJ= tfk (-(!) )тtog;=l(p<n{рaJ ( дf JT -(J) dt·дидир':r(:~J +(:Jp<J)ldt;У;= {А д~k +L +(p<J) { 1]},=,sijТогда уравнение=(h,f1 )t=tk.(1.58) принимает видl- k1~ - k2gi -LVj ( k1Sij+ k2Qij) = О,} =125илиОтсюда ясно, что значения вектораvследует выбирать изусловия(1.59)Из(1 .57)следует, что критерий качества может быть уменьшен лишь в единственном случае , когда выполняются условия(1 .60)(1.61)Если эти два условия выполняются, то получено стационарноерешение, удовлетворяющее терминальным условиямвия вида(1.60)воляют найти неизвестные постоянныеИз уравнений(1.46).Услоназываются условиями трансверсальности.
Они поз(1.60)и(1 .58)vi всемействе экстремалей.следует, что для стационарного решения величины Yi не зависят от k 1 и k2 и определяются соотношением(1 .62)Здесь так же, как в случае задач с фиксированным конечнымвременем, требуется существование обратной матрицы Q - 1 (условие управляемости).Поскольку уравнения для функций чувствительности линейны, то необходимые условия(1 .60), (1 .61)могут быть представлены в вид е(aGkдt+нJдН=0ди'26= О;(1.63)to < t < t k .(1.64)t=tkЗдесьН=L+ рт-f,(1 .65)рт получается путем интегрирования следующих уравнений:---=-трдНдL-т дfдiдiдi=- - =- - -рj-(1 .66);= 1, ...
, !;(1 .67)Величиныviможно считать параметрами, которые должнывыбираться так, чтобы в конечный момент временикоординатыxi, i = 1, ... , !,tkфазовыеимели на допустимой траектории заданные значения .Точно так же tk является параметром, который обеспечивает ра-венство нулю выражения ( дGk + нJ для стационарного решения.дtt =tkДругой способ решения заключается в том, что задача с неопределенным временем окончания процесса может быть заменена последовательностью задач с фиксированным конечнымвременем .
Иными словами, можно рассматривать tk как дополнительный параметр и решать серию одинаковых задач оптимизации для различных значений tk. То значение tk из этой серии, прикотором критерий качества достигает минимума, и будет решением задачи с незаданным конечным временем. При этом должнобыть выполнено еще одно дополнительное условие для определения оптимального значения tk -1.2.2.условие(1.63).Оптимизация задачи с подвижным правым концомРассмотрим критерий качества видаtkJ= Gk[x (tk), tk] +f L(x, и, t)dt.to27Прибавим к этому выражению ограничения на терминальноесостояниеx(tk)Ф[x(tk ),где Ф-tk] = 0,!-мерная вектор-функция, и систему дифференциальных уравненийx(t) = f (х, и, t),гдеvиto задано с множителями Лагранжаp(t)соответственно.Тогда получим вспомогательный (расширенный) критерийкачестваtkJ=[ Gk +vTФ1=tk + fL(x, u,t)+1?[J(x,u ,t)-x]dt.toГамильтониан для этой задачи записывается в виде1н = L(x,u,t) + рт (х,и,t).Приращение критерия качества8u(t),J,возникающее при вариациии приращение конечного времениldtk имеют вид(а[ Gk +vтФ] ] aGd.J = lдt + L dt + ( а: -рт) d х ,-,, +r+1 (а;; 8х I\U - рт/5х )dt-[H],-to dt+::to0.Интегрируя по частям это выражение и принимая во внимание равенствополучим(1.68)где28-Gт-= Gk + vФ.Выберем функцииdx(tk)итак, чтобы коэффициенты приp(t)8x(t) ,dtk (так как tk не задано) обратились в нуль, т.
е. положим--=-тран-Т=- - =-рдх-теtk )-(дGJ- дi,af - -aL ;-дхдх-[дGk-т дФ]дi, + V дi,р-t =tkt =tk[ ~~ +L+ JЛ] =(:~ +LJ =0,t =tk(1 .69)t=tkгде~~~dGaGaG _:_dtatдх- = - + - х.В результате такого выборавыражение(1.68) упрощается:анf аи 8udt + рт (t )dx(t )-H(t )dttkdJ =p(t)0000.(1 .70)toЧтобы величинаJпринимала стационарное значение, должнывыполняться соотношения(1.71)Если xi(to) не задано, тоСоотношение(1.69) -p/t0 ) = О.дополнительное условие, необходимоедля определения времени tk окончания процесса.
Постоянные величины Vj .••vz должны быть определены так, чтобы удовлетворя-лись ограничения Ф[x(tk ),tk ] = О на терминальное состояниеобъекта управления.В итоге, для того чтобы критерий качестваонарное значение, должна выполнятьсяJпринимал стациследующая система необходимых условий:29х= f(x, и, t)(1.72)(п дифференциальных уравнений) ;(1 .73)(п дифференциальных уравнений) ;ан JT = -Т дf + дL = о( ди(т(1 .74)р ди диалгебраических уравнений);xito) задано или Pi (t0) = О(1.75)(п граничных условий) ;-( )Gktk = -(р- )Tt-tk--т дФ(1 .76)+V дхдх(п граничных условий) ;п_[ дGk- +v-т -дФ + (дGk-тдФJJ-+- - +v:!о.!.
-( однодtдtграничное условие длядхдхL] -0-(1 .77)t=tktk);(1 .78)(l граничных условий).Условие оптимальности(1 .74) определяет т-мерный векторуправления u (t). Далее 2n + 1 + l граничных условий (1.75) (1 .78) определяют решение 2n дифференциальных уравнений(1.72), (1 .73), l + 1 параметров vi, ..., v 1 и tk.Решить такую краевую задачу непросто .Если бы были заданы величиныже времясобойvвместо функции Ф, а такtk вместо (1 .77) для Q, то (1 .75) и (1 .76) представляли бы2n граничных условий для двухточечной краевойпорядка 2n с фиксированным конечным временем.30задачи1.2.3. Задачиоптимш,ьного быстродействияВо многих задачах критерием качества является время, за которое система переходит из заданного начального состоянияв заданное конечное состояниеется время tk- t0, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
